Méthode d'Euler en 1S

ben2510 a écrit:

retraitée a écrit:

ben2510 a écrit:

Oui, tout à fait !
Personnellement j'ai vu les identités remarquables en CM2, sous une forme simple bien sûr, simplement comme une astuce pour calculer p.ex  13²=(10+3)² et on dessine un carré qui fait 13*13, en e coupant en quatre morceaux : 10*10 + 3*3 + 10 * 3 +3 * 10, et on a 13²=100+60+9 (un gros carré, un petit et deux rectangles.
Sous forme algébrique, (10+3)²=110²+2.10.3+3²=169. Quand on fait le même dessin à des 1S, ils ouvrent des yeux écarquillés (ils découvrent le dessin qui va avec la formule, apparemment (mais bon on leur remontre deux mois après, ils découvrent à nouveau (le monde est un émerveillement continuel ( ))).

Dans le même ordre d'idée, avoir appris en cinquième comment tracer des parallèles et des perpendiculaires sur papier quadrillé a fait que le produit scalaire, les histoires de vecteurs directeurs et de vecteurs normaux au lycée m'ont paru triviales.

Les élèves sont toujours étonnés quand je leur dit qu'ils ont commencé les vecteurs en MS.

Ce qui manque, ce sont des programmes avec une certaine cohérence (mais aussi parfois des collègues plus exigeants, hélas).

Ce que tu dis des carrés/rectangles dessinés pour figurer les identités remarquables, je l'ai fait avec des 3e pour leur montrer à quoi cela correspondait (a+b)carré, (a-b) carré, (a+b)  x (a-b) ..Ils en sont restés baba.

Et je viens de le montrer aux 1S, pareil. Y compris les 8 que j'avais en seconde et à qui je l'ai montré à peu près 150  fois au cours de l'année... Qui plus est, tous les collègues de collège du coin le montrent (enfin tous ceux que je connais). C'est le genre de dessin qu'il faut refaire tous les ans.

Poser la multiplication "polynomiale" fait toujours son petit effet aussi.

Moonchild a écrit:

Zappons a écrit:On parle quand même des futurs étudiants de grandes écoles scientifiques. D'ailleurs je suis vraiment curieux de voir ce que ces dernières vont dire du niveau de leurs candidats aux concours d'entrée depuis la réforme.

Il est probable que les très grandes écoles (X, ENS, Centrale...), celles qui ont le plus de poids "politique", ne soit que peu impactées par cette évolution : une bonne proportion des étudiants qu'elles recrutent est passée par des établissements secondaires où on fait encore les programmes de maths d'il y a trente ans et où la dernière réforme en date sera aussi ignorée que les précédentes ; le vivier d'élite pré-sélectionnée ne devrait pas se tarir. En revanche, les grandes écoles "ordinaires" devront certainement s'adapter à leur nouveau public.

ben2510 a écrit:Bah Cauchy-Lipschitz n'est pas démontré en prépa non plus, hein...
Qu'on admette l'existence et l'unicité de la solution de y(1)=0 et y'=1/x sur ]0;+inf[ ou bien celle de y(0)=1 et y'=y, c'est un peu pareil...

Ça ne me choque pas d'admettre des théorèmes ; ce qui m'embête c'est de tout gober admettre tout le temps. Sur les 4 collègues de TS du lycée, pas un n'a démontré le TVI p.ex.

C'est mal.

En même temps, pour démontrer le TVI au lycée, il faut forcément admettre quelque chose (convergence des suites adjacentes ou théorème des segments emboîtés par exemple) donc il y a forcément un tour de prestidigitation. En définitive, je crois que je préfère encore qu'on admette un résultat qu'on ne peut pas vraiment prouver plutôt que de faire semblant tout en laissant des zones d'ombres comme on nous demande pour les probas continues par exemple (parce que là, c'est du foutage de gueule catégorie palme d'or).

La convergence des suites adjacentes s'appuie sur le théorème de convergence monotone, non ?
L'année dernière en TS, c'est le seul théorème que j'ai admis.

Evidemment, il faut aussi une vraie définition de la continuité ; mais l'intérêt de la démonstration est qu'elle met en évidence la nécessité d'une telle définition, surtout que le lien avec "ne pas lever le crayon" n'est pas évident  :lol:

Moonchild a écrit:
De toute façon la méthode d'Euler ne prouve pas l'existence d'une fonction qui vérifie y'=y et y(0)=1 (d'ailleurs, je ne vois vraiment pas comment on pourrait la justifier avec les outils du lycée), elle ne donne même pas les propriétés algébriques de cette fonction ; en fait elle permet simplement une construction approchée de la courbe de cette fonction une fois qu'on a admis son existence.
Bref, on dépense beaucoup d'énergie pour n'obtenir rien de plus qu'un simple graphique très imprécis ; et puis en plus, sans compter qu'une fonction ça ne se réduit pas au tracé de sa courbe, en admettant une valeur approchée de exp(1), avec les formules de exp(nx) pour n entier, on peut arriver sans trop de difficultés à faire visualiser aux élèves l'allure générale du graphique.
Du coup, je ne suis pas vraiment convaincu de la grande pertinence d'introduire la fonction exponentielle avec la méthode d'Euler dont la mise en oeuvre plutôt fastidieuse risque surtout de désorienter la plupart des élèves avant que les choses vraiment intéressantes aient commencé.

Encore une fois, dans ma pratique personnelle à moi (qui vaut ce qu'elle vaut), je fais Euler en 1S pour "primitiver", et en TS on se sert d'un outil à peu près maîtrisé (en fait je refais Euler en tout début de TS car je suis pas les élèves d'une année sur l'autre).

Et Euler me sert à problématiser, pas à prouver.

La méthode "relier les points d'un nuage de points d'une suite géo" est pas mal, à condition d'avoir travaillé moyenne arithmétique et moyenne géométrique ; on faisait comme ça en spé TL, dans le temps.

Il y a deux ans j'avais tenté de passer par les exposants fractionnaires, mais c'est un peu lourd (montrer que a/b=c/d => x^(a/b)=x^(c/d) p.ex ). Mais le côté fonction réciproque avait bien intéressé les élèves, et permis d'articuler ln et exp.

JPhMM a écrit:

ben2510 a écrit:

retraitée a écrit:


Ce que tu dis des carrés/rectangles dessinés pour figurer les identités remarquables, je l'ai fait avec des 3e pour leur montrer à quoi cela correspondait (a+b)carré, (a-b) carré, (a+b)  x (a-b) ..Ils en sont restés baba.

Et je viens de le montrer aux 1S, pareil. Y compris les 8 que j'avais en seconde et à qui je l'ai montré à peu près 150  fois au cours de l'année... Qui plus est, tous les collègues de collège du coin le montrent (enfin tous ceux que je connais). C'est le genre de dessin qu'il faut refaire tous les ans.

Poser la multiplication "polynomiale" marche fait toujours son petit effet aussi.

:lol: L'année dernière pour résoudre une équation du troisième degré en seconde, avec une racine évidente x=2, j'avais posé la division par (x-2) avec la potence. En fin de cours, avec quelques élèves qui étaient restés pour discuter. Un élève s'était exclamé "mais je suis c** de pas y avoir pensé tout seul"

cassoulet a écrit:Dans un vieux document d'accompagnement d'un programme de TS, il y a une vraie démonstration.
Il part de un(x)=(1+x/n)^n qui est le résultat de la méthode d'Euler pour un pas 1/n et par des encadrements (autour de l'inégalité de Bernoulli), tout est démontré : convergence, dérivabilité, solution de l'équation. C'est technique mais facile à suivre.
Peut-être ce document traîne sur le net.

Avec n relatif, pour l'encadrement ?
Est-ce que tu te rappelles de la méthode pour la convergence (ponctuelle, j'imagine) ?
Même question pour dérivabilité et y'=y (j'avais essayé de préparer un truc sur ce thème mais c'était vraiment trop technique... avec n -> +infini et h-> 0, ça commence à piquer ; je ne m'en étais pas servi en classe).

J'avais trouvé ça.
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/EDexp03.pdf

Dans le doc d'accompagnement, c'est exactement ce que costantini fait (il en a fait un problème !). La seule chose non triviale est le théorème sur les suites adjacentes donc la convergence des suites croissantes majorées donc la construction des réels et Bolzano Weierstrass ! Quand on creuse, on atteint les fondations !
Je ne pense pas que la construction des réels soit possible en TS ! Je me demande si on le fait en sup comme de mon (ancien) temps.
Enfin quand je vois comment mes gentils première se plantent dans une inéquation du second degré (un écrit : le discriminant est > 0, c'est du signe de a. "A l'extérieur, les racines" est oublié), je regarde la méthode d'Euler de loin (bien que je la faisais avec la génération précédente; la dernière réforme est un massacre !)

Pour le second degré, une méthode qui marche bien est de distinguer six cas en fonction du signe de a et du signe de delta, et de demander le petit croquis qui va bien, avec les éventuels zéros.
Je trouve que ça marche mieux que "du signe de a sauf entre les éventuelles racines", et c'est bien sûr utilisable avec les fonctions affines (et pour le signe de ln(q) pour la résolution de u0*q^n A).
Au fait, je ne savais pas que c'était Costantini qui avait fait les docs d'accompagnement. Je vais les lire, tiens.

Wanax, merci pour le lien, je l'avais déjà vu mais je l'ai relu avec intérêt !

ben2510 a écrit:La convergence des suites adjacentes s'appuie sur le théorème de convergence monotone, non ?

Bein en fait c'est un peu l'oeuf ou la poule ; dans un de mes poly de DEUG, c'était à partir du théorème des suites adjacentes/segments emboîtés qu'on démontrait la convergence des suites croissantes majorées (en passant par la borne sup). Il me semble toutefois qu'en admettant les segments emboîtés plutôt que la convergence monotone, on est un peu plus proche de l'idée d'admettre la complétude de R et d'une certaine manière on est plus proche de la source du problème... mais en même temps, en terminale cela n'a strictement aucune importance à moins d'enseigner à des rejetons de médaillés Fields.

wanax a écrit:J'avais trouvé ça.
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/EDexp03.pdf

Joli mais absolument inenvisageable dans une classe de terminale ordinaire, à moins de se lancer dans une démarche expérimentale de suicide pédagogique en direct devant les élèves.

"à moins de se lancer dans une démarche expérimentale de suicide pédagogique en direct devant les élèves"

j'adore....

Dans le texte "ce qui prouve bien que la suite (Un) est croissante à partir d'un certain rang..."
J'imagine la tête convaincue du mec disant ça devant les élèves...et leurs têtes..

Balthazaard a écrit:"à moins de se lancer dans une démarche expérimentale de suicide pédagogique en direct devant les élèves"

j'adore....

Dans le texte  "ce qui prouve bien que la suite (Un) est croissante à partir d'un certain rang..."
J'imagine la tête convaincue du mec disant ça devant les élèves...et leurs têtes..

Bah il faut bien que les élèves entendent cette formulation un jour ; ce peut être dans le supérieur, bien sûr.
Personnellement, je pense que le bon moment est la classe de première, au moment où on introduit la notion de monotonie d'une suite (sur des choses triviales : construire un tableau de quelques valeurs initiales à partir d'un terme général, et constater que u1 < u2 < u3 < u4 avc cependant u0>u1, et dire qu'il se peut que (un) soit croissante à partir du rang 1 mais que u0>u1 suffit à empêcher de dire que (un) est croissante).

Les mathématiques sont parfois une langue étrangère (à certains), il me semble qu'entendre correctement certaines expressions permet de mieux pratiquer.

Ceci dit, je pense que la démonstration proposée par Costantini est effectivement un peu difficile pour des TS.

je parlais bien sur dans le cas de la démo de Costantitini et comme conclusion de son calcul...j'étais amusé par "ce qui prouve bien"

la notion en elle même est simple, j'en parle en 1ere dans toutes les classes suffit de prendre un= 0.2n²+n+1 par ex..

OK :lol:

Moi c'est le "d'où" page 2 ligne 2 qui me fait rigoler.

Pour mémoire, un échange de courriers entre Jean-Pierre Demailly et Pierre Arnoux à propos de l'exponentielle:
http://smf4.emath.fr/Enseignement/TribuneLibre/echange1.pdf

Passionnant

J'aime beaucoup le passage où JPD dit avoir enseigné les logarithmes à sa fille en 6e. Ce qu'il décrit est l'approche anglo-saxonne (c'est pile poil ce que je fais en 2de en MPS en ce moment).

Le fait de montrer que diverses définitions amènent au même objet, l'exponentielle, est fondamental. C'est ainsi que je procède en TS  d'ailleurs.

Tout le passage sur la définition d'un réel est intéressant, aussi. En 6e j'avais l'habitude de travailler ça sur un exo assez sympa : construire un carré d'aire 29 sur papier quadrillé. Au bout d'une demi-heure à peu près, on en était à chercher racine(29) par balayage décimal, et il se trouvait toujours un élève plus rusé ou plutôt plus rapide que les autres pour dire que la solution de x²=29 ne pouvait pas être décimale.

Oui, échange intéressant.
Chacun des intervenants dit des choses pertinentes, même si je penche globalement du côté de Demailly.

Les arguments visant les décideurs sont LE problème que l'éducation rencontre depuis 15 ans.

LE problème que l'éducation rencontre

Les collègues de collège qui envoient au lycée des élèves qui ne savent pas "nettoyer" un -6/-2,25 sans calculatrice sont assez près du haut de la liste, aussi.

ben2510 a écrit:LE problème que l'éducation rencontre

Les collègues de collège qui envoient au lycée des élèves qui ne savent pas "nettoyer" un -6/-2,25 sans calculatrice sont assez près du haut de la liste, aussi.

Je pense qu'on ne leur demande pas trop leur avis, en fait.

Pour la démonstration de Constantini, il est bien entendu qu'elle est absolument infaisable en cours.
En revanche, l'enchaînement existence de primitives -> construction de ln -> e^x comme réciproque, ça devrait encore passer, mais tard dans l'année, donc trop tard.
Mais c'est vrai que si l'on s'arrête et fait le point, de ce que l'on peut faire aujourd'hui et de ce que l'on pouvait faire il y a 11 ans... On en chiale ou on en rit, au choix.

Et soyez certain que d'ici trois, quatre ans, la trigonométrie et les complexes auront disparu.

Les équations différentielles font parties des antiquités inutiles au même titre que le grec ancien ou le latin au lycée

mais.. latin et grec sont très utiles pour la culture générale !

P.S.: on ne m'a pas appris au cours de français qu'il fallait écrire "font parties" quand le verbe est au pluriel...

Les équations différentielles font parties des antiquités inutiles au même titre que le grec ancien ou le latin au lycée

:lol: :lol: :lol: :lol: :lol:

Igniatius a écrit:Oui, échange intéressant.
Chacun des intervenants dit des choses pertinentes, même si je penche globalement du côté de Demailly.

Les arguments visant les décideurs sont LE problème que l'éducation rencontre depuis 15 ans.

Après 10 ans de recul , puisque cela date de 2003, on peut peut-être avoir une idée de qui pensait juste...moi je crois....

Au passage, je crois que l'intégration par partie est en voie d'éradication non? sans parler des limites "complexes"...ce n'était pas des éléments dans les arguments de Pierre Arnoux pour justifier l'étude des stats?

IPP déjà portée officiellement disparue.

Tu ne l’as pas vu ? C’est normal ! Personne ne l’a vu : ce n’est pas en
> terminale S que nous l’avons fait, mais en spécialité de terminale ES
> (Economique et Sociale). En terminale S, c’est trop dangereux, tout le monde
> aurait hurlé. Quand ce sera bien entré dans les moeurs en ES, on pourra le
> faire passer en Technologie, en L, et peut-être que dans 15 ans les S
> auront droit à des automates finis et des chaines de Markov...

surtout que les graphes en ES cela revient souvent (élèves dixit) à compter les nœuds et à faire du coloriage

Je suis surtout écoeuré par l'aveu qu'il s'agissait d'une politique délibérée, destinée à faire place à certains secteurs des mathématiques alors à la mode, sans se poser la question de savoir si les sujets relégués n'étaient pas nécessaires à la formation mathématique d'adolescents.
La charrue, les boeufs, les guerres picrocholines entre les départements de proba-stats et ceux d'analyse de certaines universités... Mélangez, touillez, goûtez, vomissez.

wanax a écrit:

ben2510 a écrit:LE problème que l'éducation rencontre

Les collègues de collège qui envoient au lycée des élèves qui ne savent pas "nettoyer" un -6/-2,25 sans calculatrice sont assez près du haut de la liste, aussi.

Je pense qu'on ne leur demande pas trop leur avis, en fait.

Pour la démonstration de Constantini, il est bien entendu qu'elle est absolument infaisable en cours.
En revanche, l'enchaînement existence de primitives -> construction de ln -> e^x comme réciproque, ça devrait encore passer, mais tard dans l'année, donc trop tard.
Mais c'est vrai que si l'on s'arrête et fait le point, de ce que l'on peut faire aujourd'hui et de ce que l'on pouvait faire il y a 11 ans... On en chiale ou on en rit, au choix.

Et soyez certain que d'ici trois, quatre ans, la trigonométrie et les complexes auront disparu.  

Septembre : des suites (et plein d'études de fonction "simples" polynômes et fonctions rationnelles, y compris dérivées successives et primitivation), y compris des suites adjacentes (en exo, bien sûr , pas dans le cours), et le TVI prouvé par la dichotomie.
Octobre : fonctions puissances et fonctions racines, dérivation des fonctions composées, limites de fonction et levage des FI en factorisant par le terme de plus haut degré, log "à l'anglaise", et un peu d'Euler pour primitiver ; complexes sous forme algébrique
Novembre : définition de ln comme primitive, étude algébrique (en lien avec log "à l 'anglaise"), e est l'unique antécédent de 1 par ln, et ln(e^n)=n ; Euler et ED ; définition de exp comme fonction réciproque de ln ; dérivation de ln o exp et y'=y ; propriétés algébriques ; une semaine sur complexes et géométrie
Décembre : des probas conditionnelles (et quelques va) ; des études du genre f(x)=ln(x)/sqrt(x) pour les FI du cours.

Janvier : complexes sous forme trigo et sous forme exponentielle

Février : intégration

Donc au bout de trois mois c'est plié pour ln et exp. Evidemment c'est déjà trop tard pour les physiciens et la SVT, qui auraient voulu que le collègue de math ait traité ln et exp avant le 2 septembre.

Balthazaard a écrit:surtout que les graphes en ES cela revient souvent (élèves dixit)  à compter les nœuds et à faire du coloriage

A compter les arêtes