Qu'est-ce qu'un nombre ?

Pourriez-vous m'aider à élaborer une réponses synthétique pour des S (que je souhaite leur donner à titre d'information complémentaire) ?

qu'est-ce qu'un nombre ? voir même...qu'est-ce qu'une égalité ? qu'est-ce qu'un ensemble ? Qu'est-ce qui fonctionne dans une fonction ?

Qu'est-ce qu'un nombre ?
Aucune idée. D'ailleurs plus j'apprends, moins je sais.

Même pas vrai. :lol:

Bon, alors pour le dire avec des mots simples :
Le nombre est à la carte ce que la quantité est au territoire.

Reste à définir la quantité. Et à gérer le problème du nombre négatif, celui du zéro, celui du nombre complexe, etc. (ce "etc." contient beaucoup. Il contient par exemple les nombres hyperréels, dont les nombres infinitésimaux et les nombres infiniment grands... :shock: bref bref bref, qu'est-ce qu'un nombre ? :shock: )
Bref, reste l'essentiel.

Je recherche une explication plus...hum... simple, claire et synthétique pour les élèves

Une égalité : c'est la proposition logique. A ce titre elle n'est pas nécessairement vraie.

J'aime bien la définition de Leibniz que j'ai rappelée fort récemment :
(a=b) est équivalent à (pour toute propriété P, P(a) et P(b) sont équivalentes).

Prune a écrit:Je recherche une explication plus...hum... simple, claire et synthétique pour les élèves

Le nombre est la représentation d'une quantité.
Mais cela pose le problème de la définition de la quantité.

Définir un ensemble est à la fois facile et difficile.
Facile parce que c'est une notion primitive, donc une définition intuitive est suffisante (et nécessaire) : "Collection d'objets distincts, appelés éléments".
Difficile parce qu'avec une telle définition, on n'a absolument rien dit, d'autant qu'il existe l'ensemble vide.

Classiquement, une fonction entre les ensembles A et B est une relation entre A et B qui, pour chaque élément x de A, associe un seul élément y de B.
Le graphe de la fonction est l'ensemble des couples (x, y) ainsi définis, mais la distinction entre fonction et graphe de fonction n'est pas aussi claire chez tous les auteurs.

En latin, numerus désigne aussi le rythme.Un vers nombreux, en français classique, désigne un vers rythmé, où les temps forts sont bien marqués.
Si ça peut aider...
Il doit y avoir une question de retour réguler de la présence au cours d'un segment de temps délimité.

En français, un nombre est un mot qu'on peut écrire avec des chiffres, et que tu as intérêt à m'écrire en toutes lettres sinon je te les fais copier jusqu'à mille.

Un nombre est un élément de l'ensemble des nombres réels que l'on note:

Cowabunga a écrit:En français, un nombre est un mot qu'on peut écrire avec des chiffres

pi n'est donc pas un nombre.
"Cent deux" non plus (ce sont deux mots).

JPhMM a écrit:

Cowabunga a écrit:En français, un nombre est un mot qu'on peut écrire avec des chiffres

pi n'est donc pas un nombre.
"Cent deux" non plus (ce sont deux mots).

Ah ben non, pi... c'est une lettre !

Cowabunga a écrit:

JPhMM a écrit:

Cowabunga a écrit:En français, un nombre est un mot qu'on peut écrire avec des chiffres

pi n'est donc pas un nombre.
"Cent deux" non plus (ce sont deux mots).

Ah ben non, pi... c'est une lettre !

Ou deux, selon la langue.

Deux mots, deux lettres... mais je n'aurais pas un problème avec les nombres, moi ? (ou avec les chiffres ??? je ne sais plus !)

Ouais, vous avez drôlement avancé depuis ma proposition :lol!:

Ce ne sont pas des questions qui ont des réponses évidentes mathématiquement.

Prune a écrit:qu'est-ce qu'un nombre ?

Mathématiquement, nombre seul n’a pas de sens clairement défini, dans le langage courant il désigne le plus souvent un nombre entier naturel (0, 1, 2, …, 42, …), mais il y a aussi les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels, les nombres réels, les nombres complexes…
En mathématiques on ne dit jamais « soit x un nombre », il y a toujours un qualificatif qui permet de savoir de quoi on parle.

voir même...qu'est-ce qu'une égalité ?

A = B, ça veut dire que A et B sont identiques, mais le sens d’identique n’est pas forcément évident, si ce sont des nombres ça veut dire que si je calcule A et B j’obtiendrai le même résultat, si ce sont des ensembles ça veut dire qu’ils ont les mêmes éléments…
Quand on monte dans les études on a tendance à faire des abus d’écriture et à utiliser davantage le symbole = à des endroits où on faisait bien attention à ne pas l’écrire avant, par exemple pour les congruences en terminale on apprend « 3 ≡ 10 (mod 7) » (3 est congru à 10 modulo 7), plus tard on écrit « 3 = 10 (mod 7) » sans scrupules, et si deux objets A et B sont identiques à isomorphisme unique près (voire à isomorphisme pas unique près) on écrit aussi parfois A = B alors que A et B n’ont pas du tout les mêmes éléments (donc ils ne sont pas égaux au sens de Leibniz mentionné par JPhMM).

qu'est-ce qu'un ensemble ?

En théorie « naïve » des ensembles on dit qu’un ensemble est une collection d’éléments qui peut être définie :
– en extension : par la donnée de tous ses éléments, par exemple {1, 2, 4} ;
– en compréhension : par la donnée d’une propriété caractéristique des éléments, par exemple l’ensemble des nombres entiers naturels pairs.
En fait cette définition n’est pas satisfaisante car elle conduit à des paradoxes. Par exemple, si on définit P comme l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes, alors :
– si P appartient à P, il n’appartient pas à P ;
– si P n’appartient pas à P, il appartient à P.
Il existe une théorie des ensembles qui définit des axiomes qui résolvent ces problèmes, et aussi qui interdit d’appeler ensemble des choses qu’on voudrait bien appeler ensemble (par exemple, il n’y a pas d’ensemble de tous les ensembles), à la place on appelle ça classe (il y a une classe de tous les ensembles, et les ensembles sont aussi des classes).
Cette théorie n’est pas vraiment accessible au niveau terminale (il n’y a pas vraiment de pré-requis pour l’étudier, mais c’est très théorique) et n’est de toute façon pas du tout indispensable pour étudier tout le reste des mathématiques, donc il vaut mieux en rester à la définition naïve d’un ensemble sans soulever de questions.

Qu'est-ce qui fonctionne dans une fonction ?

Rien, ça s’appelle fonction parce qu’une quantité est fonction d’une autre quantité.

FD a écrit:Ce ne sont pas des questions qui ont des réponses évidentes mathématiquement.

Prune a écrit:qu'est-ce qu'un nombre ?

Mathématiquement, nombre seul n’a pas de sens clairement défini, dans le langage courant il désigne le plus souvent un nombre entier naturel (0, 1, 2, …, 42, …), mais il y a aussi les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels, les nombres réels, les nombres complexes…
En mathématiques on ne dit jamais « soit x un nombre », il y a toujours un qualificatif qui permet de savoir de quoi on parle.

voir même...qu'est-ce qu'une égalité ?

A = B, ça veut dire que A et B sont identiques, mais le sens d’identique n’est pas forcément évident, si ce sont des nombres ça veut dire que si je calcule A et B j’obtiendrai le même résultat, si ce sont des ensembles ça veut dire qu’ils ont les mêmes éléments…
Quand on monte dans les études on a tendance à faire des abus d’écriture et à utiliser davantage le symbole = à des endroits où on faisait bien attention à ne pas l’écrire avant, par exemple pour les congruences en terminale on apprend « 3 ≡ 10 (mod 7) » (3 est congru à 10 modulo 7), plus tard on écrit « 3 = 10 (mod 7) » sans scrupules, et si deux objets A et B sont identiques à isomorphisme unique près (voire à isomorphisme pas unique près) on écrit aussi parfois A = B alors que A et B n’ont pas du tout les mêmes éléments (donc ils ne sont pas égaux au sens de Leibniz mentionné par JPhMM).

qu'est-ce qu'un ensemble ?

En théorie « naïve » des ensembles on dit qu’un ensemble est une collection d’éléments qui peut être définie :
– en extension : par la donnée de tous ses éléments, par exemple {1, 2, 4} ;
– en compréhension : par la donnée d’une propriété caractéristique des éléments, par exemple l’ensemble des nombres entiers naturels pairs.
En fait cette définition n’est pas satisfaisante car elle conduit à des paradoxes. Par exemple, si on définit P comme l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes, alors :
– si P appartient à P, il n’appartient pas à P ;
– si P n’appartient pas à P, il appartient à P.
Il existe une théorie des ensembles qui définit des axiomes qui résolvent ces problèmes, et aussi qui interdit d’appeler ensemble des choses qu’on voudrait bien appeler ensemble (par exemple, il n’y a pas d’ensemble de tous les ensembles), à la place on appelle ça classe (il y a une classe de tous les ensembles, et les ensembles sont aussi des classes).
Cette théorie n’est pas vraiment accessible au niveau terminale (il n’y a pas vraiment de pré-requis pour l’étudier, mais c’est très théorique) et n’est de toute façon pas du tout indispensable pour étudier tout le reste des mathématiques, donc il vaut mieux en rester à la définition naïve d’un ensemble sans soulever de questions.

Qu'est-ce qui fonctionne dans une fonction ?

Rien, ça s’appelle fonction parce qu’une quantité est fonction d’une autre quantité.

Merci de vos contributions, reste quand même la synthèse et mise en perspective philosophique...

Il me suffira en effet de dire Pythagore pour être compris, je présume.

Une citation de Leopold Kronecker (mathématicien allemand du XIXème siècle) :

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Hors-sujet pour Linkus : le forum permet-il maintenant d'écrire du LaTeX sans tricher ?

Filnydar a écrit:Une citation de Leopold Kronecker (mathématicien allemand du XIXème siècle) :

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Hors-sujet pour Linkus : le forum permet-il maintenant d'écrire du LaTeX sans tricher ?

Non, si tu veux écrire en latex sur ce forum tu es obligé d'utiliser ce site qui génère des images.
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Prune a écrit:Pourriez-vous m'aider à élaborer une réponses synthétique pour des S (que je souhaite leur donner à titre d'information complémentaire) ?

qu'est-ce qu'un nombre ? voir même...qu'est-ce qu'une égalité ? qu'est-ce qu'un ensemble ? Qu'est-ce qui fonctionne dans une fonction ?

Il n'y a aucune façon synthétique de définir tout ça, laisse tomber. (ou, plus drôle, renvoie-les à leur prof de maths, il va te bénir).

Filnydar a écrit:Une citation de Leopold Kronecker (mathématicien allemand du XIXème siècle) :

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Es-tu d'accord avec Kronecker ?

Hier après-midi, comme à chaque fois je suis rentré du collège en passant par un petit chemin dans un petit bois. J'y ai croisé une branche cassée sur le sol au milieu de branchages et de feuillages, puis une autre un peu plus loin. Et songeant à la question de Prune, je me suis dit, "tiens, deux branches cassées".
Vous devinez la suite. Quel rapport entre ces objets, quelle unicité qui me permettrait de dire qu'ils relèvent du même mot, du même ensemble, et donc me permettrait de les compter 2. Il n'y a pas de critère défini à cette caractérisation d' "une branche cassée".
Peut-être ces deux branches cassées ont été cassées d'arbres d'espèces différentes. Qu'est-ce qui me permet de les mettre dans un même ensemble ? Le langage. Que le monde a au moins la puissance du continu et que le lexique est fini. Où commence la branche, quand finit la branche, où commence la brindille ?
Mieux, j'ai compté deux branches cassées, mais il est fort possible que ces deux branches cassées n'en soient qu'une. Pourquoi les dire deux ?
Je n'ai pas pris ces branches cassées en main. Le monde étant continu, peut-être l'une de ces branches prenait racine et était déjà arbre. Mais cela relève de la logique floue, car il n'y aucune coupure nette dans le monde*, à part celle de la mort.

Je concevais ainsi que le lexique découpe en objets un monde continu mais hétérogène (et graduellement hétérogène), pour regrouper ces objets en ensemble artificiellement homogènes. Preuve en est donc que, si je dis deux branches cassées, je signifie une multiplicité qui n'existe que par l'unicité que je lui impose, alors que ces objets (mais déjà disant cela, je les arrache de la continuité du monde pour les distinguer comme objets) n'ont peut-être pas la même composition, ni la même couleur, ni la même taille, ni la même origine, ni la même forme, etc.

Mais découper le monde en objets demande de découper soit l'espace (les branches cassées n'étaient pas au même lieu, sinon elles n'étaient qu'une) soit le temps (en parlant de deux rois de France, qui ont occupé les mêmes lieux, mais en des temps différents), mais surtout de les découper en usant d'instants différents. En effet, pour compter deux branches cassées, il faut en distinguer une puis une autre. Pour compter deux chaises, il me faut au minimum deux instants (plus de deux, à l'évidence, puisqu'il faut aussi les mettre dans le même ensemble). Ceci fait, peut naitre alors le nombre, de ce qu'un instant et un autre instant sont synthétisés en deux instants, et les branches cassées en deux branches cassées.

Non, je ne crois pas que Dieu ait fait les nombres entiers. La nécessité pour l'esprit humain de comprendre en étendue, synthétiquement et de façon dénombrable un monde qui se déploie continument dans l'espace et le temps a créé les nombres entiers.

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*Anecdote symptomatique : furent trouvées quelques molécules de l'atmosphère terrestre sur la face cachée de la Lune. Car l'atmosphère terrestre est comme le monde, et n'a aucune coupure franche. Elle existe encore de façon extrêmement ténue même à plus de 300 000 km de la Terre. Le monde relève d'une logique floue, et notre esprit le pixelise, créant des itérations de pixels.

J'ai lu avec le plus grand intérêt et plaisir ce post !

Merci ...