Qu'est-ce qu'un nombre ?

J'ai lu avec le plus grand intérêt et plaisir ce post !

Merci ...

Merci

Qu'est-ce qu'«un nombre » ?
deux mots et neuf signes.

linkus a écrit:Un nombre est un élément de l'ensemble des nombres réels que l'on note:

Donc les éléments de C ne sont pas des nombres ?

Sinon j'aime beaucoup les taoïstes comme JPhMM. Dit sans aucune ironie.

Mais il me semble que cette position pose un problème : le langage est fondamentalement discret (cad le cardinal de l'ensemble des propositions énonçables est au plus dénombrable).
C'est beau de dire qu'on le tire du continu. Mais l'expression même de cette pensée est discontinue.

JPhMM a écrit:
Non, je ne crois pas que Dieu ait fait les nombres entiers. La nécessité pour l'esprit humain de comprendre en étendue, synthétiquement et de façon dénombrable un monde qui se déploie continument dans l'espace et le temps a créé les nombres entiers.

Pourquoi est-il évident de comprendre le monde de façon dénombrable ?

Dans sa demande, c'était sous-entendu nombre réel. :lol:

Spoiler:

Il y a sans doute un malentendu. Pardon.

Je ne crois pas avoir dit qu'on tire le langage du continu, mais plutôt que le langage dit de façon dénombrable (et sans doute fini d'ailleurs) le monde (et je comprends — id est je prends le monde à moi — le monde de façon dénombrable, puisqu'à mon sens nulle compréhension ne se fait hors langage). Mais le monde est continu. L'ensemble discret des "discours" veut épuiser en paroles un ensemble qui a au moins la puissance du continu, le monde, pour le comprendre. Ce qui est impossible. D'où le nombre, par itération des "discours". Ce que j'ai appelé en note la pixellisation du monde par le langage.

Pourquoi est-il évident de comprendre le monde de façon dénombrable ? Ce n'est en effet pas évident. Je n'ai pas de réponse simple — sauf celle du langage — je vais y réfléchir.

Tout de même, songeant à la récursivité (illimitée) de la pensée, je rencontre un problème : le cardinal non fini de l'ensemble des pensées.

Spoiler:

Bonsoir JPhMM ,
j'ai beaucoup aimé ton message précédent, je ne sais pas si tu es un lecteur de Tchouang-tseu (Zhuangzi) mais si ce n'est pas le cas, je crois qu'il t'intéressera.


Pour revenir sur le sujet, nous avons l'intuition que le monde est continu. René Thom a écrit pas mal de choses intéressantes sur l'émergence du discret à partir du continu : c'est la théorie des catastrophes.

Mais finalement, rien ne prouve que le monde est continu. Intuitivement, il est évident que la Terre est plate.

Tout de même, songeant à la récursivité (illimitée) de la pensée, je rencontre un problème : le cardinal non fini de l'ensemble des pensées.

Là je crois que tu fais une erreur, l'infinité des pensés est un infini potentiel, pas un infini actuel.
En d'autres termes, au cours de ta vie, que je te souhaite longue et heureuse, tu n'auras un nombre entier de pensées. Si le nombre de pensées que nous pouvons avoir n'est sans doute pas fini (à vu de nez je dirais aleph0) le nombre de pensées effectivement produites est fini. Même si il est grand.
La bibliothèque de Babel n'est pas infinie.

verdurin a écrit:Bonsoir JPhMM ,
j'ai beaucoup aimé ton message précédent, je ne sais pas si tu es un lecteur de Tchouang-tseu (Zhuangzi) mais si ce n'est pas le cas, je crois qu'il t'intéressera.


Pour revenir sur le sujet, nous avons l'intuition que le monde est continu. René Thom a écrit pas mal de choses intéressantes sur l'émergence du discret à partir du continu : c'est la théorie des catastrophes.

Mais finalement, rien ne prouve que le monde est continu. Intuitivement, il est évident que la Terre est plate.

Tout de même, songeant à la récursivité (illimitée) de la pensée, je rencontre un problème : le cardinal non fini de l'ensemble des pensées.

Là je crois que tu fais une erreur, l'infinité des pensés est un infini potentiel, pas un infini actuel.
En d'autres termes, au cours de ta vie, que je te souhaite longue et heureuse, tu n'auras un nombre entier de pensées. Si le nombre de pensées que nous pouvons avoir n'est sans doute pas fini (à vu de nez je dirais aleph0) le nombre de pensées effectivement produites est fini. Même si il est grand.
La bibliothèque de Babel n'est pas infinie.

Bonsoir verdurin.
Merci pour ton mot et ton conseil à lire René Thom.

Je connais Tchouang-tseu pour avoir lu



l'année dernière.

Merci pour ta remarque concernant mon erreur. Tu as évidemment raison. Le nombre de pensées que nous pouvons avoir est en effet probablement dénombrable (comme actualisation d'un infini potentiel).

Le nombre de pensées que nous pouvons avoir est en effet probablement dénombrable (comme actualisation d'un infini potentiel).

Mais la question porte sur le nombre de pensées que nous avons effectivement.
Et je crois qu'il est dénombrable car fini.

Sinon, je suis heureux de voir que nous avons des lectures communes.

J'ai commencé par Lao-Tseu, puis Tchouang-tseu et finalement je crois que mon préféré est le plus superficiel, Lie-tseu.
Les phénomènes se passent en surface, pas en profondeur.

Je remonte ce post trèès intéressant (merci à tous pour ce moment de délectation), et j'y ajoute quelques notes tirées des Principes généraux de la science et de la morale (programme ancien, troisième année des écoles normales, F.Challaye, 1928). Peut-être qu'en philosophie, cette façon de présenter les nombres serait plus accessible pour les élèves de lycée.

D'après mes notes sur ce livre:
Le "nombre" est une idée abstraite, qui demande un certain développement psychologique.
Binet a voulu montrer par une expérience avec des jetons que les enfants reconnaissent la masse et peuvent comparer deux "tas d'objets" en disant s'il y en a plus ou moins, sans avoir idée du nombre, donc sauf si cette idée est impliquée dans des objets concrets.
Selon ce livre, à l'origine, les premiers noms de nombres sont tirés des objets qui possèdent la propriété numérique à exprimer (exemple 1 "comme le soleil", 2 "comme les mains/les yeux", etc). Le mot zoulou pour dire "6" signifierait "prendre le pouce de l'autre main".
L'expérience suggère le nombre, mais c'est vraiment l'esprit qui le crée par l'abstraction.
L'unité numérique n'est plus une unité physique et concrète, mais un rapport.
Newton (selon ce livre toujours) définissait le nombre comme une expression du rapport d'une quantité à une autre quantité de la même espèce qu'on prend pour unité. Et de conclure "qu'il s'agisse de figure ou de nombre, c'est un monde idéal qu'étudie le mathématicien" (sans renier que ce monde idéal "coïncide" avec le monde réel).

Si un matheux passait par là, je veux bien qu'il corrige ou qu'il complète !

Noctuelle a écrit:Le "nombre" est une idée abstraite, qui demande un certain développement psychologique.

Les principaux mathématiciens de la fin du XIX° et du début du XX° (Bolzano, Boole, Frege, Cantor, Dedekind, Peano, Hilbert, Russell, Brouwer, Zermelo, Poincaré, etc.) se sont élevés contre cette interprétation psychologiste et ont montré que ce n'était pas le cas. Cf. Logique et Fondements des Mathématiques - Anthologie (1850-1914) (Payot, coll., 1992)

Noctuelle a écrit:Binet a voulu montrer par une expérience avec des jetons que les enfants reconnaissent la masse et peuvent comparer deux "tas d'objets" en disant s'il y en a plus ou moins, sans avoir idée du nombre, donc sauf si cette idée est impliquée dans des objets concrets.

Masse (ou volume), quantité et nombre sont trois notions différentes.

Noctuelle a écrit:Selon ce livre, à l'origine, les premiers noms de nombres sont tirés des objets qui possèdent la propriété numérique à exprimer (exemple 1 "comme le soleil", 2 "comme les mains/les yeux", etc). Le mot zoulou pour dire "6" signifierait "prendre le pouce de l'autre main".
L'expérience suggère le nombre, mais c'est vraiment l'esprit qui le crée par l'abstraction.

C'est l'inverse : le nombre suggère l'expérience (cf. qu'apportent les Mathématiques aux Sciences).

Noctuelle a écrit:L'unité numérique n'est plus une unité physique et concrète, mais un rapport.

L'insuffisance de cette approche est connue depuis les Grecs : seuls les nombres dits "rationnels" (l'ensemble Q) conviennent à cette définition. Quid des "irrationnels" (e.g. "pi") ? Quid des "imaginaires" (e.g. "i") ?

B

Mateo_13 a écrit:Bonsoir Verdurin,

verdurin a écrit:
Là je crois que tu fais une erreur, l'infinité des pensés est un infini potentiel, pas un infini actuel.
En d'autres termes, au cours de ta vie, que je te souhaite longue et heureuse, tu n'auras un nombre entier de pensées. Si le nombre de pensées que nous pouvons avoir n'est sans doute pas fini (à vu de nez je dirais aleph0) le nombre de pensées effectivement produites est fini. Même si il est grand.
La bibliothèque de Babel n'est pas infinie.

Le nombre de pensées humaines que l'on peut écrire est fini : en effet, avec une cinquantaine de caractères, on ne peut remplir qu'un nombre fini de feuilles A4. Toute la littérature mondiale passée ne remplit qu'un nombre fini de pages, et il en sera de même pour toute la littérature future.

Le nombre infini peut concerner les pensées que l'on ne peut pas décrire en mots.

Amicalement,

Bonsoir Mateo_13.
J'aime bien que l'on approuve ce que je dis. Mais j'ai impression que tu n'as même pas fait l'effort de lire ce que tu cites.

S

Mateo_13 a écrit:Le nombre de pensées humaines que l'on peut écrire est fini : en effet, avec une cinquantaine de caractères, on ne peut remplir qu'un nombre fini de feuilles A4. Toute la littérature mondiale passée ne remplit qu'un nombre fini de pages, et il en sera de même pour toute la littérature future.

Le nombre infini peut concerner les pensées que l'on ne peut pas décrire en mots.

Mais il en va de même pour les nombres, alors. Donc il n'y aurait pas d'infini numérique ?! Bizarre.

Ce qu'il y a de "bien" dans la présentation de Noctuelle, c'est qu'effectivement, c'est plus à portée des lycéens ET des enseignants qui ne sont pas des mathématiciens...C'est peut-être simplificateur et erronée mais dans ce cas, il serait appréciable que les mathématiciens puissent nous faire une présentation philosophique des nombres qui soit accessible aux non initiés...Avis aux intéressés !

Prune a écrit:Ce qu'il y a de "bien" dans la présentation de Noctuelle, c'est qu'effectivement, c'est plus à portée des lycéens ET des enseignants qui ne sont pas des mathématiciens...C'est peut-être simplificateur et erronée mais dans ce cas, il serait appréciable que les mathématiciens puissent nous faire une présentation philosophique des nombres  qui soit accessible aux non initiés...Avis aux intéressés !

Le post auquel vous faites référence est intéressant mais problématique :
- en tant que le nombre se voit définir comme un rapport
- en tant que le nombre se voir proposer un fondement psychologique
- en tant que le nombre se voit assigner le statut d'idéalité
- en tant que le nombre voit son origine dériver de l'expérience.
Autant d'affirmations de départ qui sont parfaitement respectables (et, effectivement, "à la portée" des élèves) mais auxquelles la philosophie ne s'est pas fait faute d'apporter quelques critiques, ce me semble ...

Et bien ce qu'il faudrait c'est la présentation que le nombre serait dérivé de l'expérience, puis la critique de cela par l'évolution des conceptions et où on en est maintenant...bref on en revient au même une synthèse mais abordable...

Merci Philippe Jovi pour vos critiques, même si je n'ai toujours pas les moyens de les comprendre faute de plus d'explications.
Effectivement les anciens programmes sont intéressants mais dépassés.

- en tant que le nombre se voit définir comme un rapport [1]
- en tant que le nombre se voir proposer un fondement psychologique [2]
- en tant que le nombre se voit assigner le statut d'idéalité [3]
- en tant que le nombre voit son origine dériver de l'expérience. [4]
Autant d'affirmations de départ qui sont parfaitement respectables (et, effectivement, "à la portée" des élèves) mais auxquelles la philosophie ne s'est pas fait faute d'apporter quelques critiques, ce me semble ...

Un mathématicien pourrait-il, comme le demande Prune, nous donner quelques indices sur comment dépasser ces considérations?

A propos de l'expérience de Binet:
La différence entre masse, quantité et nombre me semble incluse dans les notes que j'ai fournies, que je comprend comme "l'enfant peut estimer une masse, et par là comparer des quantités, mais sans avoir idée du nombre."

A propos de la deuxième proposition (fondement psychologique):

Les principaux mathématiciens de la fin du XIX° et du début du XX° (Bolzano, Boole, Frege, Cantor, Dedekind, Peano, Hilbert, Russell, Brouwer, Zermelo, Poincaré, etc.) se sont élevés contre cette interprétation psychologiste et ont montré que ce n'était pas le cas. Cf. Logique et Fondements des Mathématiques - Anthologie (1850-1914) (Payot, coll., 1992)

.
Quel était leur argument, leur raisons de se soulever contre cette interprétation? Leur conclusion?

A propos de la quatrième proposition (rapport expérience - nombre):
Philippe Jovi, je suis allé voir votre site, cette page est très intéressante, je me permets de vous citer pour donner un aperçu à Prune:
Les empiristes:

Mais, si ce que dit Hume est exact, alors, il va falloir dire aussi que nos idées mathématiques sont des copies affaiblies et estompées de nos impressions mathématiques. Ce qui veut dire que le nombre "deux" sera dérivé des diverses impressions de duos que j'ai eues dans mon existence, la notion d'égalité sera dérivée des diverses impressions d'indistinction que j'ai eues dans ma vie et l'idée de parallèles sera dérivée des diverses impressions de lignes qui semblent ne se rejoindre jamais.

La synthèse de Kant:

Pour Kant comme pour les empiristes, en effet, les idées mathématiques, comme toutes les idées, permettent de mettre de l'ordre dans nos impressions sensibles en les classant et en les reliant. Mais pour Kant comme pour les dogmatiques, l'application des mathématiques se fait entièrement a priori, c'est-à-dire indépendamment de l'expérience sensible.

Je concevais ainsi que le lexique découpe en objets un monde continu mais hétérogène (et graduellement hétérogène), pour regrouper ces objets en ensemble artificiellement homogènes. Preuve en est donc que, si je dis deux branches cassées, je signifie une multiplicité qui n'existe que par l'unicité que je lui impose, alors que ces objets (mais déjà disant cela, je les arrache de la continuité du monde pour les distinguer comme objets) n'ont peut-être pas la même composition, ni la même couleur, ni la même taille, ni la même origine, ni la même forme, etc.
[...]
Non, je ne crois pas que Dieu ait fait les nombres entiers. La nécessité pour l'esprit humain de comprendre en étendue, synthétiquement et de façon dénombrable un monde qui se déploie continument dans l'espace et le temps a créé les nombres entiers.

J'ai l'impression que l'anecdote de JPhMM nous donne quelques éléments...
Peut-on commencer par définir le nombre comme étant "arraché à la continuité du monde"?
Peut-on considérer vrai le fait qu'un nombre entier soit un rapport? (ce qui n'est pas vrai pour les irrationnels, les imaginaires).

Noctuelle a écrit:Merci Philippe Jovi pour vos critiques, même si je n'ai toujours pas les moyens de les comprendre faute de plus d'explications.
Effectivement les anciens programmes sont intéressants mais dépassés.

- en tant que le nombre se voit définir comme un rapport [1]
- en tant que le nombre se voir proposer un fondement psychologique [2]
- en tant que le nombre se voit assigner le statut d'idéalité [3]
- en tant que le nombre voit son origine dériver de l'expérience. [4]
Autant d'affirmations de départ qui sont parfaitement respectables (et, effectivement, "à la portée" des élèves) mais auxquelles la philosophie ne s'est pas fait faute d'apporter quelques critiques, ce me semble ...

Un mathématicien pourrait-il, comme le demande Prune, nous donner quelques indices sur comment dépasser ces considérations?

De telles affirmations ne sont pas "dépassées", encore moins fausses. Elles sont juste problématiques. Au sens philosophique du terme. Il convient donc d'en questionner et, éventuellement, d'en critiquer l'évidence apparente. Vous n'avez donc nullement besoin de références mathématiques supplémentaires qui vous apporteraient une très improbable définition synthétique du concept de 'nombre", mais, plutôt, de références philosophiques afin de les problématiser. A ce propos, le petit GF-Corpus intitulé les Mathématiques n'est pas mal fait.

Noctuelle a écrit:A propos de la deuxième proposition (fondement psychologique):

Les principaux mathématiciens de la fin du XIX° et du début du XX° (Bolzano, Boole, Frege, Cantor, Dedekind, Peano, Hilbert, Russell, Brouwer, Zermelo, Poincaré, etc.) se sont élevés contre cette interprétation psychologiste et ont montré que ce n'était pas le cas. Cf. Logique et Fondements des Mathématiques - Anthologie (1850-1914) (Payot, coll., 1992)

.
Quel était leur argument, leur raisons de se soulever contre cette interprétation? Leur conclusion?

Il m'est impossible de résumer en quelques lignes un pavé de 500 pages. Sachez simplement que tous ces mathématiciens (qui ont, en même temps, fait oeuvre philosophique, puisqu'ils se sont interrogés sur leurs pratiques) se sont révoltés contre le psychologisme ambiant de la fin du XIX° (dû à l'audience de figures comme Wundt, Broca, Charcot, Freud, etc.) et contre l'idéalisme post-kantien et post-hégélien afin de préserver, tout à la fois, la prétention des sciences (au sort desquelles les mathématiques sont, de facto, indissolublement liées depuis Galilée et Newton) à l'objectivité et au réalisme. En gros, ils réagissent comme Kant l'avait fait un siècle plus tôt à l'égard de l'empirisme, mais sans, bien entendu, abonder dans le sens de l'idéalisme transcendantal kantien. C'est la raison pour laquelle ils ont, peu ou prou, tenté de donner de nouveaux fondements aux mathématiques en les faisant dériver de la logique plutôt que de l'empirie et de la psychologie. Programme grandiose qui va se révéler être un échec retentissant (et définitif après les théorèmes de Gödel de 1931) quoique très riche en enseignements philosophiques. Malheureusement, mis à part l'anthologie à laquelle j'ai fait allusion et le petit GF, il n'y a pas grand-chose de publié en français sur ce sujet.