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Spinoza1670
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Spinoza1670 Dim 17 Juin 2012, 12:09
Télécharger le texte ici : http://michel.delord.free.fr/chatelet/chat-multdiv.pdf

extrait :
La notation concrète de la multiplication enrichit à coup sûr, par une pratique constante, la notion que nos élèves peuvent avoir du sens de cette opération; elle rend certaines erreurs - unités qui ne concordent pas, facteurs intervertis - à peu près impossibles; elle facilite l'enseignement de la division (voir 2e partie).
Les objections qui pourraient être faites d'un point de vue théorique sont sans valeur au niveau de compréhension de nos élèves d'école primaire. La seule difficulté réelle est de rompre avec une ancienne habitude et d'en acquérir une nouvelle.
Pour les enfants, cet argument n'existe pas. Quant aux maîtres, ils se rendraient vite compte que l'effort à faire est insignifiant, mieux vaudrait dire nul.


Dernière édition par Spinoza1670 le Dim 17 Juin 2012, 19:51, édité 1 fois

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« Let not any one pacify his conscience by the delusion that he can do no harm if he takes no part, and forms no opinion. Bad men need nothing more to compass their ends, than that good men should look on and do nothing. » (John Stuart Mill)

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Clarinette
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Clarinette Dim 17 Juin 2012, 18:46
Très intéressant, merci. Je suis très sensible à ces questions et essaie de remédier au flou artistique de l'élève en situation de résolution de problèmes de plusieurs façons.
Pour je ne sais quelle raison, je répugne à faire écrire les unités de mesure dans l'opération en ligne, alors que, bien entendu, je l'exige absolument dans la phrase-réponse (j'exige systématiquement une phrase-réponse par ligne de calcul). Mais peut-être devrais-je revoir ma position.
Mes astuces : exiger l'écriture 13 x 4 (prononcé 13 multiplié par 4 ou 4 fois 13) et non l'inverse, lorsqu'il s'agit de 13 objets coûtant 4 euros.
Je fais également des problèmes commentés : chaque nombre d'une ligne de calcul doit être expliqué dans un cadre à part (13 est le nombre d'objets ; 4 est le prix de chaque objet exprimé en euros).
En présentant correctement le calcul, on peut être sûr que l'unité de mesure du premier nombre sera l'unité de mesure du résultat.

Pour la division, j'insiste bien sur ce que l'on cherche : pour avoir un prix au kilo, c'est à dire le prix pour un kilo (= prix par kg = €/kg), il faudra diviser des euros par des kilos.
Je propose de petits problèmes où l'on doit, par exemple, trouver le nombre de pas par mètre (nombre de pas divisé par distance parcourue), mais également la longueur d'un pas (distance parcourue divisée par le nombre de pas).
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par mathmax Dim 17 Juin 2012, 19:10
C'est bizarre, cette histoire d'unité, c'était très mal vu de les écrire dans les calculs il y a une dizaine d'années, et puis maintenant il me semble qu'on en a à nouveau "le droit", ou alors je me suis émancipée. C'était, à mon sens, un excès de purisme.

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Spinoza1670 Dim 17 Juin 2012, 20:10
Ecrire 13 euros X 3 ou 13 pommes X 3 est considéré comme non-mathématique.
Est-ce vraiment non-mathématique ?

MD a écrit:Le point principal de rupture en 1970 : L’abandon des opérations sur les grandeurs
Il ne s'agit pas d'une analyse que je ferais a posteriori mais de l'affirmation, en 1972, de l'APMEP, principale association des professeurs de mathématiques cheville ouvrière de la réforme des mathématiques modernes qui est publiée dans le numéro spécial consacré au Bulletin Officiel paru en Janvier 1970 qui introduit les maths modernes en primaire. Il s'agit donc d'une affirmation centrale et réfléchie : L’abandon des " opérations sur les grandeurs " est bien la mutation fondamentale apportée par les programmes transitoires, c’est lui qui transforme profondément les démarches de la pensée dans l’enseignement élémentaire.
Cet abandon du calcul sur les grandeurs - et donc des nombres concrets - dans le BO n'est pas argumenté en tant que tel mais figure sous la forme suivante :
Les phrases telles que 8 pommes +7 pommes = 15 pommes n’appartiennent pas au langage mathématique.
Ceci est bien sûr une absurdité certes pédagogique mais surtout mathématique puisque dès 1968, soit deux ans avant la publication du B.O. et quatre ans avant le commentaire de l'APMEP, le grand géomètre Hassler Whitney publiait un article qui donne un cadre mathématique axiomatique, "moderne", au calcul sur les grandeurs. Il s'agit de The Mathematics of Physical Quantities. Il y déclare notamment – et démontre en donnant une structure mathématique sous-jacente (rays and birays) - qu'il est tout à fait "mathématique" d'écrire :
5 cakes + 2 cakes = (5+2) cakes = 7 cakes ou bien 2 yd = 2 ( 3 ft) = 6 ft
Le contexte de l'introduction montre même qu'il vise explicitement les maths modernes en dénonçant notamment l'absurdité des obligations langagières du type "Complétez : 2 cm ont même longueur que … mm ; 80 mm ont même longueur que … cm."xii puisqu'il y est dit explicitement :
The fact that "2 yd" and "6 ft" name the same element of the model enables us to say they are equal; there is no need for such mysterious phrases as "2 yd measures the same as 6 ft."
Ceci prouve entre autres que la pratique du calcul sur les grandeurs est bien plus "moderne" que la réduction du calcul au calcul sur les nombres purs.

Et trente après 1970, nous en sommes fondamentalement au même point puisqu'on lit dans le document officiel :
"Accompagnement des programmes de troisième de collège :
En effet, en mathématiques, on ne travaille pas sur les grandeurs (c’est l’objet d’autres disciplines, comme la physique, la technologie, les sciences de la vie et de la Terre ou la géographie et l’économie par exemple)"
A propos des nombres concrets et abstraits : Un témoignage historique sur l'école primaire française Michel Delord - Banff, 5 décembre 2004

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par JPhMM Dim 17 Juin 2012, 20:45
La citation ne répond pas à la question.

A titre d'exemple, il est fort possible d'écrire, la commutativité s'appliquant aussi sur les unités :
1 année-lumière
= 1 an X 365 j/an X 24 h/j X 60 min/h X 60 s/min X 300 000 km/s
= 1 X 365 X 24 X 60 X 60 X 300 000 an X j/an X h/j X min/h X s/min X km/s
= 9 460 800 000 000 km

PS : le nombre de jours de l'année sidérale et la célérité de la lumière ont été approchés, par simplification du propos.




En effet, la phrase
2 cm ont même longueur que … mm
n'a absolument aucun sens, pour plusieurs raisons.

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par verdurin Dim 17 Juin 2012, 22:13
Le problème que pose ce texte est, à mon avis, le suivant :
il considère que
2m/s x 3s = 6m est juste (je suis d'accord)
mais que
3s x 2m/s = 6m est faux (je ne suis pas d'accord)

En d'autres termes, il a le défaut de la plus part des «pédagogistes», il confond une méthode d'enseignement, qui peut-être utile, et ce qu'il faut enseigner.


On peut voir dans ce texte que les anciens pédagogues étaient aussi bêtement bornés que les actuels.

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par JPhMM Dim 17 Juin 2012, 22:16
En effet.
D'ailleurs on pourrait aussi écrire
X(2m/s, 3s) = 6m
X(3s, 2m/s) = 6m

:lol:

Mais ça, c'est une autre histoire.
Quoique...................... Wink

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par Clarinette Dim 17 Juin 2012, 22:17
Bon, et sinon, mes précautions oratoires mathématiques, z'en pensez quoi ?
verdurin
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par verdurin Dim 17 Juin 2012, 22:23
JPhMM a écrit:En effet.
D'ailleurs on pourrait aussi écrire
X(2m/s, 3s) = 6m
X(3s, 2m/s) = 6m

:lol:

Mais ça, c'est une autre histoire.
Quoique...................... Wink

Vive la notation polonaise ! yesyes

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Sapotille Dim 17 Juin 2012, 22:24
Clarinette a écrit:
Mes astuces : exiger l'écriture 13 x 4 (prononcé 13 multiplié par 4 ou 4 fois 13) et non l'inverse, lorsqu'il s'agit de 13 objets coûtant 4 euros.
Je fais également des problèmes commentés : chaque nombre d'une ligne de calcul doit être expliqué dans un cadre à part (13 est le nombre d'objets ; 4 est le prix de chaque objet exprimé en euros).
En présentant correctement le calcul, on peut être sûr que l'unité de mesure du premier nombre sera l'unité de mesure du résultat.
.

Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi... Razz
Clarinette
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Clarinette Dim 17 Juin 2012, 22:26
Ah oui, j'ai écrit une bêtise... Embarassed
Merci d'avoir rectifié ! Remarques pour enseigner la multiplication et la division 2252222100
Dhaiphi
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par Dhaiphi Dim 17 Juin 2012, 22:52
Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi... Razz
On peut très bien le penser et écrire l'inverse. Wink

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Sapotille Dim 17 Juin 2012, 22:57
Dhaiphi a écrit:
Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi... Razz
On peut très bien le penser et écrire l'inverse. Wink

C'est parce que tu es jeune...

De mon temps, on aurait écrit l'inverse, on se serait fait arracher les yeux !!! Remarques pour enseigner la multiplication et la division 2289946511
verdurin
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par verdurin Dim 17 Juin 2012, 22:59
Une remarque personnelle sur tout ça.

Cette année un de mes élèves, en terminale, a été classé au concours général de physique.
Je l'ai depuis deux ans et il tourne autour de 18 de moyenne en math.

Il m'a dit à la fin de cette année que c'était depuis la première qu'il dépassait 11 de moyenne en maths.

Pour médire des collègues, je dirais qu'ils appliquaient un peu trop des règles du genre de celles proposées par le lien de Spinoza1670.
Ou qui pensent que 4€ x 13 n'est pas la même chose que 13 x 4€.

Je crois que l'on confond trop souvent la présentation des résultats et la capacité à les obtenir, même si la méthode n'est pas celle prévue.

Ceci étant dit, je crois que c'est une bonne chose d'écrire les unités dans les calculs. Même si, instructions officielles oblige, je fais écrire :
soit v la vitesse en m/s et t le temps en s ; la distance d parcourue en m est d=vt.

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par JPhMM Dim 17 Juin 2012, 23:02
Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi... Razz
Je ne trouve pas cela très cohérent, pour être honnête.

Ainsi :
Si chacun des 13 stylos coûte 4 euros :
13 "prix de stylo" = 13 x 4 euros
me semble plus... "naturel", disons.

En d'autres termes :
f(13) = f(13 X 1) = 13 X f(1) = 13 X 4 euros

Bien sûr, écrire f(1) X 13 est tout aussi correct, mais je ne l'écrirais pas ainsi, par habitude.

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Clarinette Dim 17 Juin 2012, 23:07
Oui, JPh, c'est pour cela que j'avais écrit 13 x 4, mais si on reste cohérent, on doit indiquer d'abord le nombre dans l'unité duquel le résultat sera exprimé.
Cela permettra peut-être aussi de préparer le terrain pour km/h, par exemple : si tu veux des km/h, tu places les km en premier, et pas l'inverse.
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Sapotille Dim 17 Juin 2012, 23:08
JPhMM a écrit:
Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi... Razz
Je ne trouve pas cela très cohérent, pour être honnête.

Ainsi :
Si chacun des 13 stylos coûte 4 euros :
13 "prix de stylo" = 13 x 4 euros
me semble plus... "naturel", disons.

En d'autres termes :
f(13) = f(13 X 1) = 13 X f(1) = 13 X 4 euros

Bien sûr, écrire f(1) X 13 est tout aussi correct, mais je ne l'écrirais pas ainsi, par habitude.

J'entends bien, mais je pense que cela dépend de la façon dont on lit le fameux "X".
Quand j'écris 4 euros X13 je dis 4 euros multiplié par 13 ou 13 fois 4 euros.
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par JPhMM Dim 17 Juin 2012, 23:09
Clarinette a écrit:Cela permettra peut-être aussi de préparer le terrain pour km/h, par exemple : si tu veux des km/h, tu places les km en premier, et pas l'inverse.
Parce que la division n'est pas commutative.

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Clarinette Dim 17 Juin 2012, 23:11
Certes, mais le sens (la signification des nombres, je veux dire) compte beaucoup, même si la multiplication l'est. Non ?
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par verdurin Dim 17 Juin 2012, 23:29
Pour défendre un peu ce que l'on a appeler «maths modernes»
Les nombres n'ont pas de signification.
On peut faire des modèles dans les quels on leurs en donne une.

Et il est prudent de ne pas confondre le modèle et la réalité.

Ps : les gens qui pensent qu'il faut distinguer
quatre euro fois treize de treize fois quatre euro me semble être des maniaques dangereux. professeur


Dernière édition par verdurin le Dim 17 Juin 2012, 23:35, édité 1 fois

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Clarinette Dim 17 Juin 2012, 23:33
Je crois que je bute ici sur mes limites conceptuelles. Pour nous, au primaire, les nombres sont justement étroitement reliés à la réalité concrète qu'ils représentent.
Les équations, c'est au collège, et j'ai peur qu'il soit prématuré d'expliquer à un élève de 10 ans que les nombres n'ont pas de signification.
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par JPhMM Dim 17 Juin 2012, 23:35
Clarinette a écrit:Certes, mais le sens (la signification des nombres, je veux dire) compte beaucoup, même si la multiplication l'est.
Je peux te dire un secret ?
Les mathématiques ne s'occupent pas du sens des nombres. Personne ne sait vraiment ce qu'est un nombre. Wink Je peux t'expliquer quelques trucs marrants là-dessus, mais ce n'est peut-être pas le lieu ni le moment.

Clarinette a écrit:Non ?
Non.

D'ailleurs, le problème que collectivement vous soulevez n'a pas grand chose à voir avec la multiplication en tant que loi. Elle concerne surtout les propriétés de linéarité de la proportionnalité. "Si j'achète 13 fois plus de stylos, je paie 13 fois plus cher" (sous-entendu, "13 fois le prix d'un stylo").

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par Clarinette Dim 17 Juin 2012, 23:37
Punaise, les gars, je sais que je suis plus littéraire que scientifique, mais là, j'ai l'impression qu'en fait, je n'ai jamais rien compris aux maths... No
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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par JPhMM Dim 17 Juin 2012, 23:38
Pourquoi ?

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Remarques pour enseigner la multiplication et la division Empty Re: Remarques pour enseigner la multiplication et la division

par JPhMM Dim 17 Juin 2012, 23:42
Clarinette a écrit:j'ai peur qu'il soit prématuré d'expliquer à un élève de 10 ans que les nombres n'ont pas de signification.
Si le nombre 3 a un sens, quel sens précis lui donner qui serait identique dans les phrases "je vois 3 tables" et "dehors, il fait 3°" ???

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