Mathématiques, l'éternel débat : comprendre vs apprendre.

JPhMM a écrit:

infiniment a écrit:Juste un petit témoignage : un jour, au collège, mon prof de maths m'a dit très sèchement "Mais enfin, en maths, on ne te demande pas de comprendre, on te demande d'admettre". Eh bien, ça m'a fâché ad vitam avec cette discipline, qui ne m'avait jamais déplu.

Oui, je comprends.
Cela relève d'une forme de trahison, en somme. Car précisément, ce qui est agréable dans les mathématiques, c'est de comprendre. C'est le eurêka, l'honneur de l'esprit humain en action. Pour beaucoup c'est même la caractéristique principale des mathématiques.

Exactement ! Je n'aurais sans doute pas su si bien le dire, mais c'est précisément mon ressenti. Ce n'est pas propre aux mathématiques, d'ailleurs : il me semble que toutes les disciplines intellectuelles comportent cette dimension de plaisir sans cesse renouvelé, lorsque de nouvelles lueurs apparaissent. Or, là, on me demandait d'avaler toute crue une masse informe et inconnue...

Tinkerbell a écrit:Thalia, je pense qu'en mathématiques on peut apprendre sans forcément comprendre, comme une poésie qu'on apprendrait par coeur sans en comprendre le sens.

Il est extrêmement difficile d'apprendre une poésie sans en comprendre le sens.

Essaye d'apprendre une poésie en langue étrangère... ou même une poésie de type "inventaire", avec des énumérations, où tu ne peux pas t'appuyer sur la langue. Ca demande un effort énorme !

Igniatius a écrit:En effet, FD, ta démo est intéressante.
Ceci dit, pour montrer que le passage de la figure 3 à la 4 se fait "correctement", il faut bien maîtriser les cas de similitude des triangles.

J’ai juste fait des symétries axiales, mais sinon on pouvait aussi construire directement les triangles à l’intérieur, on ne suppose nulle part que les figures sont construites à l’extérieur du triangle. Enfin j’ai donné cette démonstration parce que je l’ai découverte assez récemment dans le livre dont j’ai donné la référence et que j’ai pensé que ça pouvait intéresser des gens. Comme les triangles semblables ne sont plus au programme même en seconde je ne sais pas si c’est vraiment utilisable en cours même s’il y a les agrandissements et réductions au collège (quand je vois que pour la démonstration de Thalès on propose souvent une démonstration utilisant des aires alors qu’on peut montrer en deux coups de cuiller à pot qu’on a deux triangles semblables en utilisant les angles, j’ai des doutes), mais ça peut toujours servir de connaître la généralisation quand même.

infiniment a écrit:Exactement ! Je n'aurais sans doute pas su si bien le dire, mais c'est précisément mon ressenti.

Dans une lettre du 2 juillet 1830 adressée à Adrien-Marie Legendre, Jacobi écrit : « M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question du système du monde. »

Ce qui me semble intéressant dans votre discussion (en dehors de tout le côté mathématique auquel je n'ai rien pigé ), c'est même si je ne remets absolument pas en cause le fait que les élèves doivent apprendre leurs leçons, je crois que certains gamins (je parle d'élèves de collège) ne comprennent "rien", ou plus exactement, sont incapables d'expliquer ce qu'ils ne comprennent pas. Pris un par un, tous les mots de la consigne (de l'énoncé) sont intelligibles, mais tous ensemble, ils semblent perdre tout sens.
C'est vrai pour pratiquement toutes les matières, nous pouvons presque tous dire : apprends la règle, applique la règle, épicétout. Sauf que pour certains, ça ne fonctionne pas comme ça. Ils ont appris la règle, ils peuvent la réciter, et ils sont incapables de l'utiliser. Donc, comme ils ne trouvent pas ce qui coince, ils n'ont "rien" compris, à leur avis. Parfois (très souvent - peut-être même presque toujours), cette excuse est bidon, parfois, c'est l'expression d'un vrai ressenti. Peut-être vous est-il arrivé d'avoir cette sensation (pas en maths, évidemment) quand vous étiez élève, celle d'être noyé dans un magma d'informations dépourvues de sens (en français, pendant une leçon d'orthographe ? ) et de ne pas trouver l'endroit où ça clochait ?
Pour ce qui est des lycéens, je ne sais pas, pour les élèves de collège, je crois que certains d'entre eux peuvent sincèrement penser n'avoir rien compris, parce qu'ils sont, d'une certaine façon, "immatures intellectuellement".

En mathématiques, les élèves peuvent très rapidement souffrir d'encombrement cognitif s'ils n'ont pas transformé certaines compréhensions en automatismes.

Par exemple, supposons des élèves de quatrième qui ne connaîtraient pas bien leurs tables de multiplication. Je leur demande de faire le produit de deux fractions. Et ils échouent car ils doivent mobiliser simultanément trop de ressources différentes non automatisées pour réussir.
Apprendre permet cela. Transformer une compréhension en automatisme qui ne demandera plus d'investissement cognitif, et évitera l'encombrement.

Un exemple fréquent est l'élève qui ne connait pas ses propriétés géométriques et ne peut donc pas comprendre une démonstration de quelques chaînons car le fait de se rappeler le sens de chaque propriété utilisée ne lui permet pas d'avoir la perspective générale nécessaire à la compréhension de l'ensemble de la démonstration. Comme pour un appareil photographique, il ne peut pas focaliser sur chacune des propriétés et sur une vue d'ensemble en même temps.

Nita a écrit:Ce qui me semble intéressant dans votre discussion (en dehors de tout le côté mathématique auquel je n'ai rien pigé ), c'est même si je ne remets absolument pas en cause le fait que les élèves doivent apprendre leurs leçons, je crois que certains gamins (je parle d'élèves de collège) ne comprennent "rien", ou plus exactement, sont incapables d'expliquer ce qu'ils ne comprennent pas. Pris un par un, tous les mots de la consigne (de l'énoncé) sont intelligibles, mais tous ensemble, ils semblent perdre tout sens.
C'est vrai pour pratiquement toutes les matières, nous pouvons presque tous dire : apprends la règle, applique la règle, épicétout. Sauf que pour certains, ça ne fonctionne pas comme ça. Ils ont appris la règle, ils peuvent la réciter, et ils sont incapables de l'utiliser. Donc, comme ils ne trouvent pas ce qui coince, ils n'ont "rien" compris, à leur avis. Parfois (très souvent - peut-être même presque toujours), cette excuse est bidon, parfois, c'est l'expression d'un vrai ressenti. Peut-être vous est-il arrivé d'avoir cette sensation (pas en maths, évidemment) quand vous étiez élève, celle d'être noyé dans un magma d'informations dépourvues de sens (en français, pendant une leçon d'orthographe ? ) et de ne pas trouver l'endroit où ça clochait ?
Pour ce qui est des lycéens, je ne sais pas, pour les élèves de collège, je crois que certains d'entre eux peuvent sincèrement penser n'avoir rien compris, parce qu'ils sont, d'une certaine façon, "immatures intellectuellement".

Voilà où est le problème. Par exemple les profs de lettres, que diriez-vous à un élève qui n'a "rien compris" à la conjugaison au passé simple ?
Ce sont vraiment des choses qui m'intéressent, j'ai rarement été en situation de "ne rien comprendre" dans ma scolarité.
Par contre je ne savais rien faire de mes dix doigts, j'aurais dû me filmer pendant les TP en sciences physiques, c'était digne de vidéo-gag

Rikki a écrit:

Tinkerbell a écrit:Thalia, je pense qu'en mathématiques on peut apprendre sans forcément comprendre, comme une poésie qu'on apprendrait par coeur sans en comprendre le sens.

Il est extrêmement difficile d'apprendre une poésie sans en comprendre le sens.

Essaye d'apprendre une poésie en langue étrangère... ou même une poésie de type "inventaire", avec des énumérations, où tu ne peux pas t'appuyer sur la langue. Ca demande un effort énorme !

Rikki a écrit:

Tinkerbell a écrit:Thalia, je pense qu'en mathématiques on peut apprendre sans forcément comprendre, comme une poésie qu'on apprendrait par coeur sans en comprendre le sens.

Il est extrêmement difficile d'apprendre une poésie sans en comprendre le sens.

Essaye d'apprendre une poésie en langue étrangère... ou même une poésie de type "inventaire", avec des énumérations, où tu ne peux pas t'appuyer sur la langue. Ca demande un effort énorme !

Je parlais du sens réel du texte.
En prépa, on a étudié les Fables de Jean de La Fontaine, j'étais vraiment surprise de l'analyse que l'on en avait faite. J'en ai appris pas mal étant petite, sans en connaître le sens profond, et pourtant je les savais par coeur.
En mathématiques, on peut très bien ne pas comprendre pourquoi on a tel résultat, mais le connaître et être capable de l'appliquer.
Exemple : en terminale S, on a commencé le programme de physique par la radioactivité, le prof nous a donné les formule, la méthode pour les calculs de durée de vie dès la 2ème semaine de septembre : on utilisait donc l'exponentielle et le logarithme népérien...alors qu'on ne l'avait pas fait en cours de maths (on a du le voir en décembre ou janvier...). Je ne savais pas pourquoi on devait utiliser ces objets, je ne connaissais pas leurs propriétés mais je savais appliquer la méthode...

Je n'ai jamais été capable de mémoriser durablement une notion que je n'avais pas comprise. A la place de tes élèves, je me révolterais aussi. J'ai l'impression que tu leur demandes d'être bêtes, d'apprendre bêtement et d'appliquer bêtement, alors que l'école est justement un lieu on l'on s'instruit, où l'on s'élève. J'assiste à un cours pour en ressortir enrichie d'un nouveau savoir qui nourrira ma réflexion. Agir comme une machine, dans laquelle on entre des données et qui ressort bien gentiment le résultat attendu, ne m'a jamais intéressée et ne m'intéressera jamais.

JPhMM a écrit:En mathématiques, les élèves peuvent très rapidement souffrir d'encombrement cognitif s'ils n'ont pas transformé certaines compréhensions en automatismes.

Cela pose la question : à quel moment l'automatisme doit-il se déclencher ?
Je prends un exemple concret :
On a souvent besoin de calculer des sommes géométriques. Mes élèves ont, en première, appris toutes sortes de formules qui couvrent divers cas : quand le terme initial n'est pas 1, quand on calcule la somme du n-ième au m-ième terme... Devant une situation concrète, leur question est "j'utilise quelle formule ?", le résultat étant que, souvent, ils se trompent.
Ne vaut-il pas mieux avoir compris comment est structurée une telle somme, et ne retenir que la formule donnant 1+q+...+q^n ?

Filnydar a écrit:

JPhMM a écrit:En mathématiques, les élèves peuvent très rapidement souffrir d'encombrement cognitif s'ils n'ont pas transformé certaines compréhensions en automatismes.

Cela pose la question : à quel moment l'automatisme doit-il se déclencher ?
Je prends un exemple concret :
On a souvent besoin de calculer des sommes géométriques. Mes élèves ont, en première, appris toutes sortes de formules qui couvrent divers cas : quand le terme initial n'est pas 1, quand on calcule la somme du n-ième au m-ième terme... Devant une situation concrète, leur question est "j'utilise quelle formule ?", le résultat étant que, souvent, ils se trompent.
Ne vaut-il pas mieux avoir compris comment est structurée une telle somme, et ne retenir que la formule donnant 1+q+...+q^n ?

Quelle formule utiliser ? Bosse ton cours... (et tu comprendras d'où vient la formule)

Igniatius a écrit:
Sinon,pour revenir à l'aspect pragmatique du pb de Tinkerbell : je pense qu'elles se foutent de toi !
Moi j'interdis à mes élèves de dire "Je ne comprends rien" : il leur faut préciser. On n'a jamais RIEN compris si on fait un petit effort (surtout avec ce qu'on leur demande aujourd'hui) : dans le cas que tu cites, il n'y a rien à apprendre ni à comprendre, appliquons une règle, c'est tout.
Pour les éléments plus complexes, je suis d'accord avec Filnydar : j'ai tjrs mieux pigé les théorèmes en les appliquant (mais j'apprenais mon cours pour les kholles ! ).
Mais que l'on soit matheux "naturel" ou pas, dans le secondaire, il faut commencer par apprendre à appliquer : la compréhension vient souvent par suite à mon avis.
Et autant dire que je n'ai compris la dérivation qu'en sup, pas en première S.

Je rencontre le même souci cette année avec des élèves d'une classe. Dès que j'ai fini d'écrire une propriété, ils me disent "j'ai rien compriiiiiiiiiiiiiiiiiiis". Par exemple, la propriété d'équidistance de points de la médiatrice en 5eme (oui, programme de 6eme ...).
Je leur interdis de le dire immédiatement, car ils n'ont pas encore fait l'effort de réfléchir sur ce que l'on vient d'écrire. Ils doivent repérer le vocabulaire qui pose problème, la partie de la phrase qui pose problème etc etc et là, on peut travailler.

snoop a écrit:Je n'ai jamais été capable de mémoriser durablement une notion que je n'avais pas comprise. A la place de tes élèves, je me révolterais aussi. J'ai l'impression que tu leur demandes d'être bêtes, d'apprendre bêtement et d'appliquer bêtement, alors que l'école est justement un lieu on l'on s'instruit, où l'on s'élève. J'assiste à un cours pour en ressortir enrichie d'un nouveau savoir qui nourrira ma réflexion. Agir comme une machine, dans laquelle on entre des données et qui ressort bien gentiment le résultat attendu, ne m'a jamais intéressée et ne m'intéressera jamais.

Si je me contentais de ça, je n'ouvrirais pas un topic sur le forum pour en parler.
Je leur dis par contre qu'il y a des parties du cours dont le but est de "savoir-faire", plutôt que de les comprendre, au vrai sens du terme. On peut expliquer, décrire une formule et parfois la démontrer. Mais s'ils veulent vraiment la comprendre, on dépasse de loin le cadre de l'enseignement du secondaire. C'est exactement ce que disait JPhMM au sujet du théorème de Pythagore. Un élève de collège peut retenir la formule,savoir l'appliquer et comprendre sa démonstration (qui nous permettra prouver que le théorème est vrai) mais ne peut pas comprendre pourquoi il est vrai.
Je pense aussi que pour certains élèves, c'est rassurant de voir qu'ils sont capables d'appliquer une formule, ça leur donne confiance, ils osent s'attaquer aux choses complexes qui demandent beaucoup de réflexion. Et c'est à partir de ce moment là qu'on peut amener certains à s'interroger sur le vrai "pourquoi".
C'est difficile à imaginer lorsqu'on n'a pas fait d'études en mathématiques, mais derrière les résultats les plus anodins se cachent des concepts mathématiques très puissants.

snoop, quelle matière enseignes-tu?

J'allais justement commencer un sujet sur ce thème là. C'est ma première année comme prof de math et je suis sidéré de certains comportements :

- des élèves qui se mettent à brailler "je comprend rieeeeen !" alors que je n'ai même pas fini mon explication et encore moins traité un exemple.
- des parents qui protestent bruyamment lorsque je leur demande en réunion de faire apprendre par cœur à leur enfant les textes encadrés en rouge dans le cahier.
- le constat que la moitié de mes troisièmes n'a pas appris les identités remarquables.
- le perpétuel reproche, formulé plus ou moins explicitement : "si je ne comprends pas, c'est votre faute".

En écoutant bien les uns les autres j'ai le sentiment qu'il existe dans une partie de la population la croyance suivante : la "compréhension" des mathématiques serait une sorte d'illumination qui descendrait sur l'heureux élu telle la grâce divine. Il suffirai d'attendre le prophète c'est à dire le "bon" professeur, celui qui va donner la "bonne" explication.
S'il en est ainsi, alors pourquoi apprendre les règles de calculs et les théorèmes, faire des exercices d'applications et autre basse besognes. N'est il pas plus confortable d'attendre patiemment l'"élu" ?

L'origine de cette croyance ? A mon humble avis, la figure populaire du savant véhiculée par la tradition et les médias, depuis Archimède dans sa baignoire jusqu'à Einstein.

Le remède ? Rappeler inlassablement que : "Le génie est fait d’un pour cent d’inspiration et de quatre-vingt-dix-neuf pour cent de transpiration" ( Thomas Edison).

neomath a écrit:J'allais justement commencer un sujet sur ce thème là. C'est ma première année comme prof de math et je suis sidéré de certains comportements :

- des élèves qui se mettent à brailler "je comprend rieeeeen !" alors que je n'ai même pas fini mon explication et encore moins traité un exemple.
- des parents qui protestent bruyamment lorsque je leur demande en réunion de faire apprendre par cœur à leur enfant les textes encadrés en rouge dans le cahier.
- le constat que la moitié de mes troisièmes n'a pas appris les identités remarquables.
- le perpétuel reproche, formulé plus ou moins explicitement : "si je ne comprends pas, c'est votre faute".

En écoutant bien les uns les autres j'ai le sentiment qu'il existe dans une partie de la population la croyance suivante : la "compréhension" des mathématiques serait une sorte d'illumination qui descendrait sur l'heureux élu telle la grâce divine. Il suffirai d'attendre le prophète c'est à dire le "bon" professeur, celui qui va donner la "bonne" explication.
S'il en est ainsi, alors pourquoi apprendre les règles de calculs et les théorèmes, faire des exercices d'applications et autre basse besognes. N'est il pas plus confortable d'attendre patiemment l'"élu" ?

L'origine de cette croyance ? A mon humble avis, la figure populaire du savant véhiculée par la tradition et les médias, depuis Archimède dans sa baignoire jusqu'à Einstein.

Le remède ? Rappeler inlassablement que : "Le génie est fait d’un pour cent d’inspiration et de quatre-vingt-dix-neuf pour cent de transpiration" ( Thomas Edison).

+ 1
Et ce préjugé sur la matière : " Ça ne sert à rien !". Même quand tu leur fais la liste de tout ce qui est possible grâce aux mathématiques...tous ne sont pas forcément convaincus !

Ce n'est pas un préjugé, les Mathématiques sont inutiles. Tout comme la plupart des matières d'ailleurs.

Tinkerbell a écrit:

Nita a écrit:Ce qui me semble intéressant dans votre discussion (en dehors de tout le côté mathématique auquel je n'ai rien pigé ), c'est même si je ne remets absolument pas en cause le fait que les élèves doivent apprendre leurs leçons, je crois que certains gamins (je parle d'élèves de collège) ne comprennent "rien", ou plus exactement, sont incapables d'expliquer ce qu'ils ne comprennent pas. Pris un par un, tous les mots de la consigne (de l'énoncé) sont intelligibles, mais tous ensemble, ils semblent perdre tout sens.
C'est vrai pour pratiquement toutes les matières, nous pouvons presque tous dire : apprends la règle, applique la règle, épicétout. Sauf que pour certains, ça ne fonctionne pas comme ça. Ils ont appris la règle, ils peuvent la réciter, et ils sont incapables de l'utiliser.

Voilà où est le problème. Par exemple les profs de lettres, que diriez-vous à un élève qui n'a "rien compris" à la conjugaison au passé simple ?
Ce sont vraiment des choses qui m'intéressent, j'ai rarement été en situation de "ne rien comprendre" dans ma scolarité.
Par contre je ne savais rien faire de mes dix doigts, j'aurais dû me filmer pendant les TP en sciences physiques, c'était digne de vidéo-gag

En général les élèves n'ont pas appris le passé simple , mais souvent, ils me disent, en recevant une copie, sur laquelle j'ai noté mauvais emploi des temps du récit : "ouais, mais je comprends rien". Alors qu'il y a des "règles" qui régissent l'emploi de ce temps et de l'imparfait dans le récit, qu'ils devraient savoir - et que, bizarrement, certains gamins très en difficulté, qui sont incapables de conjuguer correctement un verbe au passé simple, connaissent de façon intuitive, ce qui donne des textes truffés de barbarismes, mais avec un passé simple (faux) employé à bon escient. Ceux-là se font remonter les bretelles pour ne pas avoir appris leurs conjugaisons, et féliciter pour leur emploi des temps...

Mais pour revenir à quelque chose de plus clair, j'ai vu une fois une gamine très sérieuse, très "scolaire", être incapable de faire un exercice dont la consigne était : "classez ces verbes dans un tableau selon leur groupe".
Moi, je ne voyais pas de difficulté, et j'ai cru un moment que la gamine se foutait de ma gueule, mais ce n'était pas son genre, et elle était perturbée à la fois par son échec et par mon engueulade (façon Taz). Bref, j'ai fini par lui demander ce qu'elle n'arrivait pas à faire, et elle m'a dit qu'elle ne comprenait rien, et je lui ai demandé ce que voulait dire classer (elle savait), combien il y avait de groupes de verbes, etc. Une fois les éléments de la consigne isolés, elle a fini par trouver ce qu'il fallait faire - et moi, je n'ai pas compris qu'elle ne comprenne pas, - mais je suis bien obligée d'admettre que c'était le cas.
Du coup, je me pose toujours la question en classe - et quand je fais de l'ATP (destin du TZR) (lard ou cochon ?), je suis confrontée à des élèves qui ne voient pas ce qu'ils doivent faire en maths, qui disent qu'ils ne comprennent rien, et c'est souvent lié à des difficultés de langage : ils ne comprennent pas ce qu'ils lisent, et n'arrivent pas à donner du sens à deux tâches successives.

Nita a écrit:

Tinkerbell a écrit:

Nita a écrit:Ce qui me semble intéressant dans votre discussion (en dehors de tout le côté mathématique auquel je n'ai rien pigé ), c'est même si je ne remets absolument pas en cause le fait que les élèves doivent apprendre leurs leçons, je crois que certains gamins (je parle d'élèves de collège) ne comprennent "rien", ou plus exactement, sont incapables d'expliquer ce qu'ils ne comprennent pas. Pris un par un, tous les mots de la consigne (de l'énoncé) sont intelligibles, mais tous ensemble, ils semblent perdre tout sens.
C'est vrai pour pratiquement toutes les matières, nous pouvons presque tous dire : apprends la règle, applique la règle, épicétout. Sauf que pour certains, ça ne fonctionne pas comme ça. Ils ont appris la règle, ils peuvent la réciter, et ils sont incapables de l'utiliser.

Voilà où est le problème. Par exemple les profs de lettres, que diriez-vous à un élève qui n'a "rien compris" à la conjugaison au passé simple ?
Ce sont vraiment des choses qui m'intéressent, j'ai rarement été en situation de "ne rien comprendre" dans ma scolarité.
Par contre je ne savais rien faire de mes dix doigts, j'aurais dû me filmer pendant les TP en sciences physiques, c'était digne de vidéo-gag

En général les élèves n'ont pas appris le passé simple , mais souvent, ils me disent, en recevant une copie, sur laquelle j'ai noté mauvais emploi des temps du récit : "ouais, mais je comprends rien". Alors qu'il y a des "règles" qui régissent l'emploi de ce temps et de l'imparfait dans le récit, qu'ils devraient savoir - et que, bizarrement, certains gamins très en difficulté, qui sont incapables de conjuguer correctement un verbe au passé simple, connaissent de façon intuitive, ce qui donne des textes truffés de barbarismes, mais avec un passé simple (faux) employé à bon escient. Ceux-là se font remonter les bretelles pour ne pas avoir appris leurs conjugaisons, et féliciter pour leur emploi des temps...

Mais pour revenir à quelque chose de plus clair, j'ai vu une fois une gamine très sérieuse, très "scolaire", être incapable de faire un exercice dont la consigne était : "classez ces verbes dans un tableau selon leur groupe".
Moi, je ne voyais pas de difficulté, et j'ai cru un moment que la gamine se foutait de ma gueule, mais ce n'était pas son genre, et elle était perturbée à la fois par son échec et par mon engueulade (façon Taz). Bref, j'ai fini par lui demander ce qu'elle n'arrivait pas à faire, et elle m'a dit qu'elle ne comprenait rien, et je lui ai demandé ce que voulait dire classer (elle savait), combien il y avait de groupes de verbes, etc. Une fois les éléments de la consigne isolés, elle a fini par trouver ce qu'il fallait faire - et moi, je n'ai pas compris qu'elle ne comprenne pas, - mais je suis bien obligée d'admettre que c'était le cas.
Du coup, je me pose toujours la question en classe - et quand je fais de l'ATP (destin du TZR) (lard ou cochon ?), je suis confrontée à des élèves qui ne voient pas ce qu'ils doivent faire en maths, qui disent qu'ils ne comprennent rien, et c'est souvent lié à des difficultés de langage : ils ne comprennent pas ce qu'ils lisent, et n'arrivent pas à donner du sens à deux tâches successives.

Merci pour ta réponse

Filnydar a écrit:Ne vaut-il pas mieux avoir compris comment est structurée une telle somme, et ne retenir que la formule donnant 1+q+...+q^n ?

Oui, c'est la seule qui compte vraiment.

pk a écrit:Ce n'est pas un préjugé, les Mathématiques sont inutiles. Tout comme la plupart des matières d'ailleurs.

C'est même la raison de leurs grandeurs.

Pour une pause "humour" dans ce fil sérieux, c'est ici

J'ai un gros faible pour la réponse 26....

Je suis une fois de plus complètement d'accord avec Ignatius à propos de la question de Tinkerbell.

Le fameux "besoin de comprendre pour apprendre" me semble tout à fait hors de propos... même en français, je suis désolé, j'ai appris des poésies avec des mots inconnus, j'ai lu des livres avec des termes qui ne m'avaient jamais été expliqués.
Et puis, magie, un jour, après avoir croisé trois-quatre fois le même mot, pouf, le contexte aidant peut-être, on comprend. Aujourd'hui encore, je viens de regarder pour la première fois dans le dictionnaire le mot "Moloch" : j'avais très bien compris de quoi il retournait.

C'est l'effort qui prime, la compréhension vient après. En exagérant un peu, on peut dire que c'est vrai pour la totalité des apprentissages.

Tinkerbell a écrit:Pour une pause "humour" dans ce fil sérieux, c'est ici

Pas mal! Il me faudrait l'équivalent pour la question "à quoi ça sert le latin"?

snoop a écrit:Je n'ai jamais été capable de mémoriser durablement une notion que je n'avais pas comprise. A la place de tes élèves, je me révolterais aussi. J'ai l'impression que tu leur demandes d'être bêtes, d'apprendre bêtement et d'appliquer bêtement, alors que l'école est justement un lieu on l'on s'instruit, où l'on s'élève. J'assiste à un cours pour en ressortir enrichie d'un nouveau savoir qui nourrira ma réflexion. Agir comme une machine, dans laquelle on entre des données et qui ressort bien gentiment le résultat attendu, ne m'a jamais intéressée et ne m'intéressera jamais.

C'est sans doute faux : tu as mémorisé les conjugaisons alors même que tu ne maîtrisais que très peu la concordance des temps, tu as maîtrisé les tables de multiplication alors même que tu ne sais peut-être pas pourquoi a*b=b*a.
C'est le niveau dont l'on discute ici, pas de comprendre l'importance des métaphores chez Lamartine ou celle de la compacité pour la définition de l'intégrale de Riemann.

D'autre part, tu devais être une élève dont on rêve tous : pour ma part, bien que premier de ma classe du CP à la TC (et pas trop mauvais ensuite), je ne suis jamais allé assisté à un cours "pour en ressortir enrichi d'un nouveau savoir qui aurait nourri ma réflexion".
C'est trop de maturité pour un branleur comme moi.