Ambiguités et approximations mathématiques

JPhMM a écrit:

Cripure a écrit:
Salut les matheux.
Je ne sais pas si je suis "dans les clous", mais il me vient un problème à l'esprit. Les notes !! Quand on écrit benoîtement "/20", ce n'est évidemment pas un nombre n de vingtièmes, non ?

En fait si.
Et c'est là tout le problème, bien plus... tragique, disons, pour les élèves.
Je m'en suis aperçu cette année, à l'occasion d'un devoir de Quatrième sur les opérations des nombres rationnels.

Supposons un devoir noté sur 20, composé des exercices suivants :
I) noté sur 4
II) noté sur 3
III) noté sur 5
IV) noté sur 8

Un élève a les notes suivantes :
I) 3/4
II) 1/3
III) 5/5
IV) 2/8

Cela signifie dans l'esprit de certains élèves que 3/4 + 1/3 + 5/5 + 2/8 = 11/20. Une horreur donc. Précisément ce que l'on ne veut surtout pas qu'ils fassent id est ajouter les dénominateurs entre eux, et ajouter les numérateurs entre eux.

Oui mais là, je ne comprends plus. 11/20, c'est la notation de 11 vingtièmes ? vingtièmes de quoi ? Avec un coef.1, au bac, il a 11 points, pas 0,55 ! Je ne pige que dalle ! Un collègue matheux m(avait dit, il y a très longtemps, que pour cette raison, il faut écrire la note non pas avec un trait horizontal de fraction, mais avec un slash. Vous en pensez quoi ?

Il faudrait peut-être parler de proportion, plutôt que de fraction, pour ne pas être induit en erreur avec la fausse égalité.

Cripure a écrit:Oui mais là, je ne comprends plus. 11/20, c'est la notation de 11 vingtièmes ? vingtièmes de quoi ? Avec un coef.1, au bac, il a 11 points, pas 0,55 ! Je ne pige que dalle ! Un collègue matheux m(avait dit, il y a très longtemps, que pour cette raison, il faut écrire la note non pas avec un trait horizontal de fraction, mais avec un slash. Vous en pensez quoi ?

Ah ça... c'est une question pour la docimologie, diraient nos amis (quant à moi je me surprends à penser à l'instant que cette question-là précise pourrait bien plutôt relever de la métrologie. Mais qu'importe...)
Pour le dire en peu de mots : 11 vingtièmes des critères d'évaluation.
Ou 11 vingtièmes du barème, c'est-à-dire, tautologiquement, 11 vingtièmes de 20.
Pour en être convaincu, je te propose de considérer la note 9. Tu me dirais immédiatement "oui, mais 9 sur combien ?", entendu que 9/10 n'est pas 9/20.

Bien sûr, cela implique (mais tout le monde le savait déjà) que 11 vingtièmes signifie la même chose que 55 centièmes (ou pour cent, si tu préfères). Comment mettre une note sans écrire énième ? Faire la division.
11/20 = 0,55 et si je dis donc "l'élève a réussi 0,55 des critères d'évaluation".

JPhMM a écrit:
11/20 = 0,55 et si je dis donc "l'élève a réussi 0,55 des critères d'évaluation".

D'où mon terme "proportion" ou l'utilisation de pourcentages.
Les notes à chaque exercice sont pondérées par le nombre de points de l'exercice.

Pierre_au_carré a écrit:

JPhMM a écrit:
11/20 = 0,55 et si je dis donc "l'élève a réussi 0,55 des critères d'évaluation".

D'où mon terme "proportion" ou l'utilisation de pourcentages.
Les notes à chaque exercice sont pondérées par le nombre de points de l'exercice.

Oui

En fait, cette fausse égalité m'intéresse beaucoup, parce qu'elle parle du conflit entre la vérité mathématique d'une notion et l'évidence que le sens commun s'en est forgé antérieurement à cette vérité, et dont nous, profs de maths, nous pouvons en oublier la force quasi-totalitaire tant nous sommes acquis à cette vérité (suis-je clair ).
En d'autres termes, écrire "3/4 + 1/3 + 5/5 + 2/8 = 11/20" est une évidence (fausse) si ancrée dans l'esprit, qu'acquérir la notion mathématique (juste cette fois) de somme de fractions relève, pour un élève, d'une épreuve de force, dont nous mesurons parfois mal la difficulté.

La preuve en est que "3/4 + 1/3 + 5/5 + 2/8 = 11/20" nous apparaît, à nous profs de maths, immédiatement incorrect, mais que l'expression mathématique correcte qui la substituerait ne nous est pas immédiate (il faut réfléchir un peu pour trouver comment exprimer la même chose de façon mathématiquement juste).

Pierre_au_carré a écrit:

JPhMM a écrit:
11/20 = 0,55 et si je dis donc "l'élève a réussi 0,55 des critères d'évaluation".

D'où mon terme "proportion" ou l'utilisation de pourcentages.
Les notes à chaque exercice sont pondérées par le nombre de points de l'exercice.

A y'est, j'ai pigé
Y'a de bons profs ici, merci !

La proposition du jour : la définition des couples

On dit que le terme {{x},{x,y}} est le couple formé de x et de y, et on le note de façon abrégée (x, y), de sorte que la relation (x, y) = (x', y') est équivalente à " x = x' et y = y' ".

Nicolas Bourbaki, Éléments de Mathématiques, Théorie des Ensembles, E II.7

Vous savez fort bien ce qu'est un couple (x, y), intuitivement, une paire ordonnée.
La notion de couple connaît plusieurs définitions dans la théorie des ensembles. La plus couramment admise est celle de Kuratowski, reprise par N. Bourbaki.

Mais cette définition implique quelques subtilités étonnantes, dès que x = y.

Ainsi :
Pour x nombre quelconque, (x, x)={{x}, {x, x}}={{x}, {x}}={{x}}

Concrètement, demandez-moi de vous montrer du doigt la première composante de (0, 0) et il m'est impossible de vous répondre, cette distinction n'existant plus.

Ce qui n'est pas un drame en soi, mais ce que je trouve suffisamment cocasse pour trouver sa place ici.

Autre proposition (inspirée par un élève) : ((A ou B) ?) ou ((A ?) ou (B ?))

Moi, à l'oral — Ainsi le triangle MNP est-il rectangle en P ou pas ?
Lui, sourire en coin — Oui.
Moi, levage de sourcil.
Lui, après un temps — Oui, il l'est... ou pas.

Il répondait à la question : "MNP est un triangle rectangle en P ou n'est pas un triangle rectangle en P" est-elle une proposition vraie ?
J'avais mal exprimé ma question, qui était en substance : "MNP est un triangle rectangle en P" est-elle une proposition vraie ?

Le "ou pas" était en trop. Cet élève, brillant, l'a compris immédiatement.

Car les questions
(A ou B) ?
(A ?) ou (B ?)
ne sont évidemment pas synonymes.

Ce petit mot "ou" m'a aussi beaucoup posé problème lors de soutien avec des élèves en mathématiques, puisqu'il est différent du sens français.

Dryss a écrit:Ce petit mot "ou" m'a aussi beaucoup posé problème lors de soutien avec des élèves en mathématiques, puisqu'il est différent du sens français.

Oui. Important problème didactique.
Le "ou" français peut avoir un sens exclusif. Il correspond alors au connecteur XOR et non au connecteur OU.

Classiquement :

— Un nombre est positif ou négatif.
— Et zéro ?
— Zéro est un nombre positif et négatif.
— Mais vous avez dit "positif ou négatif", il est soit l'un soit l'autre, pas les deux.
— OU en mathématiques signifie qu'il est au moins l'un des deux. Cela ne l'empêche pas d'être les deux.
etc.

Rikki a écrit:Pour aggraver le cas du mot "moins", tu peux rajouter la locution "au moins", qui veut dire... complètement autre chose !

Dialogue rapportée par une collègue : en CP, elle explique une règle du jeu.
"Tu peux avancer ton pion si tu as au moins 3".

La gamine ne comprenait pas, ne comprenait pas, ne comprenait pas... à la fin, elle s'est mise à pleurer : "Mais je ne sais pas faire les moins, moi !"

La pauvre... oui, les enfants connaissent les nombres négatifs très tôt. Ne serait-ce que parce qu'ils regardent la météo.

Et ils rient intérieurement si on leur dit au collège un truc comme : "aujourd'hui on va faire une activité pour découvrir de nouveaux nombres, les nombres... *roulement de tambour* négatifs !!!!"

Cinquième sens du mot "moins" : inférieur strictement ("Richard a moins de billes que [n'en a] Toni") (PS : pourquoi le négatif "n'en a" ???)
"Placer au moins trois points." :diable: (sauf que là, bien sûr, "au moins" signifie un nombre supérieur ou égal à 3...)

C'est ça, le problème. C'est que quand tu dis "au moins"... tu en veux plus !

Y'a des gamins au CP qui souffrent sur ce coup-là ! Surtout dans les familles africaines, où la notion de nombre n'est manifestement pas la même que chez nous.

"tu en veux plus ou autant".
A mon sens, ce n'est pas une question de notion de nombre ici, mais une question de langue française. Pour une cause que j'ignore, "au moins" signifie "pas moins que".

JPhMM a écrit:"tu en veux plus ou autant".
A mon sens, ce n'est pas une question de notion de nombre ici, mais une question de langue française. Pour une cause que j'ignore, "au moins" signifie "non moins que".

Oui.

"plus ou autant". Mais la notion de "autant que" n'est pas aussi intuitive qu'il pourrait y paraître. On la travaille dans les petites classes, et ça ne passe pas tout seul.

Rikki a écrit:Mais la notion de "autant que" n'est pas aussi intuitive qu'il pourrait y paraître. On la travaille dans les petites classes, et ça ne passe pas tout seul.

Je veux bien te croire. Il s'agit d'une mise en bijection entre deux ensembles, par ailleurs différents. Les deux ensembles ont le même cardinal. Mais cela ne signifie pas exactement "avoir le même nombre de", dans tous les cas.
Car que signifierait alors : "J'ai quinze billes, il fait quinze degrés dehors. J'ai autant de billes que les degrés dehors" ? Cela signifierait une chose bien étrange... puisqu'il s'agit dans le premier cas d'un ensemble de billes, et dans le second cas il n'agit pas d'un ensemble de degrés.

C'est ça.

Il y a autant d'enfants dans la classe que de chaises, on y arrive plus ou moins, en faisant correspondre terme à terme. Pareil pour tout ce qu'on peut apparier : têtes / chapeaux, chats / souris, etc.

Par contre, si tu montres un bouquet de fleurs et un sac de billes, pourquoi faire une bijection ?

Aïe. Le problème que tu soulèves est terrible.
Pas sûr qu'il s'agisse seulement d'une bijection. La bijection définit la même cardinalité (le même nombre (hum !) d'éléments) de deux ensembles, sans avoir à compter. Mais cela est insuffisant pour expliquer tous les cas d'usage du "autant que".

Certes, le tout petit garçon qui met un verre en plastique derrière chaque assiette en carton et un seul, sait, sans les compter, qu'il y a autant de verres que d'assiettes (association un pour un). C'est ainsi qu'on démontre qu'il y a autant de nombres naturels que de nombres naturels pairs... :diable:

Mais... qu'en est-il des nombres non entiers ?
"Mettre 1,5 litres d'eau, et autant de lait."
Mais 1,5 n'est pas un cardinal. Et "autant de lait" sous-entend "autant de litre de lait" (comme "Richard a autant de billes que Toni" sous-entend "Richard a autant de billes que Toni n'a de billes".).

Dire "autant que" ne saurait être simplement une égalité de nombres (comment comprendre alors "Il y a autant de nombres naturels que de nombres naturels pairs ?"). Il est nécessaire de pouvoir constater qu'il y a même cardinalité, sans avoir à compter, donc.

Dire "autant que" peut parfois aussi vouloir dire égalité des mesures (le volume par exemple).

Pas simple...

PS : horreur supplémentaire "il y a au moins autant..."
PPS : question bête : "1,5 litre" ? ou "1,5 litres" ?

Me parle pas des "un demi" et des "et demi", c'est l'enfer !

Un bébé qui a un an et demi est-il plus vieux ou moins vieux qu'un bébé qui a un an ? Ben moins, parce qu'il a "que" du demi. Et les demi, c'est tout petit, c'est même pas un.

(il a donc, comme ils disent "zérozan")

Le "et" de "et demi" n'est pas perçu, puisque c'est "édmi". Casser ce "édmi" est toute une affaire, et le relier à la notion de moitié, alors là, c'est pire !

D'autant que dans l'expression "et demi" il y a beaucoup de sous-entendus.
Cela signifie : "plus un demi de un" (faute de français à dessein).
Sinon "demi" aurait plusieurs sens : demi d'un nombre et 0,5.

J'ai un élève anglo-saxon qui écrit 5 1/2 (comme dans les recettes de cuisine... ) pour écrire 5,5. Or 5 1/2 signifie en France 5x(1/2)=2,5...

Une fois j'ai entendu un adulte dire quelque chose comme "il est à demi plus âgé que moi". Phrase qui ne veut, strictement, rien dire. Mais on comprend l'intention, même si cela pourrait provoquer dans un classe 30 mains levées.

JPhMM a écrit:PPS : question bête : "1,5 litre" ? ou "1,5 litres" ?

Autant demander à combien commence "plusieurs"

Cripure a écrit:

JPhMM a écrit:PPS : question bête : "1,5 litre" ? ou "1,5 litres" ?

Autant demander à combien commence "plusieurs"

Telle est bien la question, en effet.
Heureusement, pas de duel en français...

Il me semble qu'il faut écrire 1,5 litres car on se ramène à 15 décilitres, ce qui est plusieurs. Ou qu'on fait un litre plus 5 décilitres et c'est pluriel.
Ou bien 0,34 mètres pour la même raison.

J'avais appris ça... Qui a une "vraie" règle ?

JPhMM a écrit:

Cripure a écrit:

JPhMM a écrit:PPS : question bête : "1,5 litre" ? ou "1,5 litres" ?

Autant demander à combien commence "plusieurs"

Telle est bien la question, en effet.
Heureusement, pas de duel en français...

Ca ne changerait pas grand-chose, il me semble.

Aranel53 a écrit:Il me semble qu'il faut écrire 1,5 litres car on se ramène à 15 décilitres, ce qui est plusieurs. Ou qu'on fait un litre plus 5 décilitres et c'est pluriel.
Ou bien 0,34 mètres pour la même raison.

J'avais appris ça... Qui a une "vraie" règle ?

Ben, une vraie règle, c'est que plusieurs commence à 2, et donc qu'on écrit 1,5 litre ou 0,34 mètre. Mais le sens entre en conflit avec la grammaire et pousse à l'accord, car on perçoit le pluriel non plus comme supérieur ou égal à 2, mais comme strictement supérieur à 1.

:shock: :shock:

Cripure a écrit:Ca ne changerait pas grand-chose, il me semble.

1,5 litreX encore singulier ? déjà au duel ? mais pas deux. Déjà au pluriel ?
2,5 litreX encore au duel ? déjà au pluriel ?

Ce n'est pas rapport à l'unité ou du pluriel strictement supérieur à un, c'est par rapport au sens de l'écriture décimale qui signifie un nombre entier supérieur ou égal à deux d'une autre unité plus petite.
On ne peut mesurer quelque chose que si on a un étalon de mesure plus petit, donc on compte forcément un nombre pluriel de cet étalon (si on écrit avec une virgule c'est qu'on a utilisé un étalon plus petit que le grand)

Comme 0,004mm = 4 micromètres
Je pense qu'il est pertinent d'écrire (comme je l'ai appris) 0,004 millimètres car il s'agit en fait d'une longueur de 4 millièmes de millimètre.

Ensuite, on n'en a pas grand chose à faire car si on écrit des décimaux dans un texte, on peut écrire le symbole de l'unité qui est lui invariable. 1,5 L : 0,34 cm et c'est réglé.