Ambiguités et approximations mathématiques

Les mathématiques vous semblent une science rigoureuse et vide d’ambiguïtés ?
Que nenni, les ambiguïtés sont en fait nombreuses et parfois fort anciennes.

Je vous propose d'essayer de lister ces approximations et/ou ambiguïtés et/ou malentendus mathématiques, qui peuvent fortement gêner les élèves (mais pas seulement).

Ma proposition du jour
A tout seigneur tout honneur, je vous propose le mot infini, qui me semble contenir la plus grave ambiguïté de l'histoire des mathématiques, qui a piégé de prestigieux mathématiciens et/ou philosophes.
Une ambiguïté, me direz-vous ? Mais quelle ambiguïté ?

Simplement : l'infini peut se finir.

Cette simple phrase aurait donné des sueurs froides à Platon, pourtant elle est mathématiquement correcte, et elle est sans doute à l'origine d'un grand nombre d'obstacles mathématiques et/ou philosophiques. Par exemple, elle n'est pas étrangère au paradoxe de Zénon.

Venons-en au crime.
[0;1] est un intervalle fermé. Cet intervalle est l'ensemble de tous les nombres réels entre les valeurs (d'où le nom) 0 et 1, inclus.
Combien y a-t-il de nombres réels dans [0;1] ? Une infinité, une infinité indénombrable d'ailleurs.
Et alors ?

Et alors, donc, [0;1] est une infinité qui se finit en 1.

PS : vous êtes bien sûr invités à réagir ou à proposer d'autre ambiguïtés.

Un petit ajout : dans l'intervalle [0;1] , 0 est le plus petit nombre, quel est le suivant ?
Ceci pour faire rire Zénon.

On peut remarquer que si on ne prend pas l'ordre usuel cette question peut très bien avoir une réponse sans ambiguïté.

verdurin a écrit:Un petit ajout : dans l'intervalle [0;1] , 0 est le plus petit nombre, quel est le suivant ?
Ceci pour faire rire Zénon.

Excellent en effet !

verdurin a écrit:On peut remarquer que si on ne prend pas l'ordre usuel cette question peut très bien avoir une réponse sans ambiguïté.

Dans Q ∩ [0;1] je crois avoir trouvé la réponse (en utilisant l'ordre lexicographique), mais hors les rationnels, je cale. Je vais y réfléchir. Merci pour la question !

Et alors, donc, [0;1] est une infinité qui se finit en 1.

"se finir en 1" est il un concept qui a une définition mathématique ?

Plutôt qu'ambiguïté, je parlerais plutôt de piège conceptuel car ici ce sont les mathématiques qui entrent en conflit avec le sens commun, mais sans être mise en défaut.

Pour le coup du nombre suivant 0 dans [0,1], il s'agit aussi d'un tel piège. Parler d'un nombre "suivant un autre" est en contradiction avec la densité des réels.
D'ailleurs cela reviendrait à trouver un minimum à ]0,1] qui est isomorphe à [1,+infini[ donc cela revient à se demander quel est le plus grand nombre fini...

Chose étonnante si l'on considère que la notion d'infini vient justement palier à l'absence de réponse à cette question.

Néanmoins, si on prend l'isomorphisme entre [0,1] et {0,1,2...,9}^N il est peut être possible de construire une relation d'ordre bizarre où certains éléments sont isolés.

Mes pires angoisses ... les problèmes de proba dans lesquels les abus de notations ( espérance conditionnelle des lois discrètes/continues ) et certaines phrases restent toujours ambiguë pour moi.

"S'annuler" cause beaucoup de divergences : est-ce "être identiquement nul" ou "prendre la valeur 0"? Je ne l'emploie plus jamais seul.

Finrod a écrit:"se finir en 1" est il un concept qui a une définition mathématique ?

Plutôt qu'ambiguïté, je parlerais plutôt de piège conceptuel car ici ce sont les mathématiques qui entrent en conflit avec le sens commun, mais sans être mise en défaut.

J'écrivais aussi pour les non-spécialistes. Libre à toi de dire "qui admet un maximum, 1".
C'est en effet un piège conceptuel (les définitions de l'infini proposées au collège, que j'ai entendues, sont terrifiantes, et tombent évidemment dans ce piège, ce qui n'est pas rendre service aux élèves). D'autre part, jadis c'était une ambiguïté, y compris en mathématiques savantes. Mais tu as raison de préciser. Mon propos est aussi (surtout ?) de parler des pièges conceptuels.

Finrod a écrit:Chose étonnante si l'on considère que la notion d'infini vient justement palier à l'absence de réponse à cette question.

Puis-je être tatillon ?
Ce sont plutôt les nombres idéalement grands qui viennent palier cette absence, depuis Robinson.

Cadeaux :
http://www.mathkang.org/pdf/ans01.pdf
http://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/sup961/gautheron.pdf

Allez, bien plus simple, mais qui perturbe parfois les élèves fragiles.

Un lexique malheureux : la polysémie du mot "millième".
Ordinal : le millième signataire s'appellait JPhMM.
Fraction de 1 : le millième du mètre est le millimètre.

JPhMM a écrit:Ce sont plutôt les nombres idéalement grands qui viennent palier cette absence, depuis Robinson.

Cadeaux :
http://www.mathkang.org/pdf/ans01.pdf

Arghhh ! Notre prof de sup était arrivé un matin et nous avait fait sans crier gare quatre heures d'analyse non standard... J'en garderai le traumatisme à vie !

Filnydar a écrit:"S'annuler" cause beaucoup de divergences : est-ce "être identiquement nul" ou "prendre la valeur 0"? Je ne l'emploie plus jamais seul.

Je dirais stricto sensu "prendre la valeur 0", mais clairement il est aussi utilisé dans la première acceptation de sens.
Merci !

Filnydar a écrit:

JPhMM a écrit:Ce sont plutôt les nombres idéalement grands qui viennent palier cette absence, depuis Robinson.

Cadeaux :
http://www.mathkang.org/pdf/ans01.pdf

Arghhh ! Notre prof de sup était arrivé un matin et nous avait fait sans crier gare quatre heures d'analyse non standard... J'en garderai le traumatisme à vie !

Dommage.
Je trouve l'ANS admirable. Si je pouvais... enfin qu'importe. Peut-être y reviendras-tu un jour, y portant un œil neuf

Un lexique malheureux : la polysémie du mot "millième".
Ordinal : le millième signataire s'appellait JPhMM.
Fraction de 1 : le millième du mètre est le millimètre.

Excellent ! j'avais jamais fait gaffe ! c'est génial ce post !

Par exemple : (désolé si je cherche à gonfler des roues de trains, je ne suis prof de maths que jusqu'à ce soir, j'espère)
((on enfoncer des portes ouvertes...))

Moi ce sont les différents sens du signe moins (-) qui m'ont posé problème.. enfin, aux élèves quoi...

- pour dire (c'est négatif) -3 est un nombre négatif
- pour dire "c'est l'opposé de..." -(-5) = "opposé de" -5 = 5
- pour dire "j'enlève" 4 - 3 = "à 4 j'enlève 3" = 1

Et bien j'avais jamais fait gaffe à ça (et j'ai mis du temps à trouver le blocage...) plusieurs élèves ne comprenaient pas pourquoi -(-5) est positif, pour eux les - étaient redondants et ne s'annulaient pas car "si on a dit que c'est négatif, pas besoin de le répéter"...

Comme quoi, en disant les choses sans ambiguïté, tout devient clair !

Personnellement, je suis extrêmement en colère contre le mot français "plus".

Sachant que la première partie de la négation saute à l'oral, "Y'en a plus" a deux sens opposés selon qu'on prononce ou non le "s" final.

J'ai essayé d'expliquer ce mot à des élèves néo-francophones sans grand succès, et je connais un élève d'un niveau très avancé qui a chuté un examen sur cette ambiguité : il avait compris "il n'y a plus de ... " dans l'énoncé, qui était "il y a plus de...", soit le contraire.

Aranel53 a écrit:Par exemple : (désolé si je cherche à gonfler des roues de trains, je ne suis prof de maths que jusqu'à ce soir, j'espère)
((on enfoncer des portes ouvertes...))

Moi ce sont les différents sens du signe moins (-) qui m'ont posé problème.. enfin, aux élèves quoi...

- pour dire (c'est négatif) -3 est un nombre négatif
- pour dire "c'est l'opposé de..." -(-5) = "opposé de" -5 = 5
- pour dire "j'enlève" 4 - 3 = "à 4 j'enlève 3" = 1

Et bien j'avais jamais fait gaffe à ça (et j'ai mis du temps à trouver le blocage...) plusieurs élèves ne comprenaient pas pourquoi -(-5) est positif, pour eux les - étaient redondants et ne s'annulaient pas car "si on a dit que c'est négatif, pas besoin de le répéter"...

Comme quoi, en disant les choses sans ambiguïté, tout devient clair !

Oui, merci, c'est en effet un problème d'une très grande importance. Et tu as tout dit.
On peut imaginer le désarroi d'un élève devant l'écriture de " –x — (–5)" où les trois sens différents du signe "moins" apparaissent, s'il n'a pas conscience de ces trois sens.

Rikki a écrit:Personnellement, je suis extrêmement en colère contre le mot français "plus".

Sachant que la première partie de la négation saute à l'oral, "Y'en a plus" a deux sens opposés selon qu'on prononce ou non le "s" final.

J'ai essayé d'expliquer ce mot à des élèves néo-francophones sans grand succès, et je connais un élève d'un niveau très avancé qui a chuté un examen sur cette ambiguité : il avait compris "il n'y a plus de ... " dans l'énoncé, qui était "il y a plus de...", soit le contraire.

Oui. Tous les ans, je tombe au moins une fois sur cette ambiguïté malheureuse à l'oral.

JPhMM a écrit:

Rikki a écrit:Personnellement, je suis extrêmement en colère contre le mot français "plus".

Sachant que la première partie de la négation saute à l'oral, "Y'en a plus" a deux sens opposés selon qu'on prononce ou non le "s" final.

J'ai essayé d'expliquer ce mot à des élèves néo-francophones sans grand succès, et je connais un élève d'un niveau très avancé qui a chuté un examen sur cette ambiguité : il avait compris "il n'y a plus de ... " dans l'énoncé, qui était "il y a plus de...", soit le contraire.

Oui. Tous les ans, je tombe au moins une fois sur cette ambiguïté malheureuse à l'oral.

Pas de problème avec le moinsssssssss à Bordeaux.

Pour aggraver le cas du mot "moins", tu peux rajouter la locution "au moins", qui veut dire... complètement autre chose !

Dialogue rapportée par une collègue : en CP, elle explique une règle du jeu.
"Tu peux avancer ton pion si tu as au moins 3".

La gamine ne comprenait pas, ne comprenait pas, ne comprenait pas... à la fin, elle s'est mise à pleurer : "Mais je ne sais pas faire les moins, moi !"

JPhMM a écrit:

verdurin a écrit:Un petit ajout : dans l'intervalle [0;1] , 0 est le plus petit nombre, quel est le suivant ?
Ceci pour faire rire Zénon.

Excellent en effet !

J'aime bien les initiés qui font des private joke et se gardent d'expliquer au "vulgaire" ce qui est ici excellent.

-Dans le quatrième mouvement de la sonate en Ré, le compositeur termine une cadence sur V7M au lieu d'enchaîner II6/9 - IVm.
- Excellent, en effet, je pouffe.

Finrod a écrit:Chose étonnante si l'on considère que la notion d'infini vient justement palier à l'absence de réponse à cette question.

Puis-je être tatillon ?
Ce sont plutôt les nombres idéalement grands qui viennent palier cette absence, depuis Robinson.

Cadeaux :
http://www.mathkang.org/pdf/ans01.pdf
http://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/sup961/gautheron.pdf

Serait-ce lié à la théorie des ordinaux/cardinaux et des objets "petit" par rapport à un ordinal (j'espère que ça se dit comme ça, je l'ai lu en anglais à l'époque) ou par ex d'ensemble filtrés par un ordinal ?

(J'avais lu des préliminaires qui utilisaient un peu cette théorie là dans un livre sur les catégories de modèles..; en même temps je dis "un" livre mais il doit en exister moins de 10 sur le sujet.)

Dhaiphi a écrit:

JPhMM a écrit:

verdurin a écrit:Un petit ajout : dans l'intervalle [0;1] , 0 est le plus petit nombre, quel est le suivant ?
Ceci pour faire rire Zénon.

Excellent en effet !

J'aime bien les initiés qui font des private joke et se gardent d'expliquer au "vulgaire" ce qui est ici excellent.

-Dans le quatrième mouvement de la sonate en Ré, le compositeur termine une cadence sur V7M au lieu d'enchaîner II6/9 - IVm.
- Excellent, en effet, je pouffe.

Ce n'est pas une private joke d'initiés. Certains mots simples brisent le paradigme de l'apparente évidence. Apparente évidence : chaque nombre aurait un nombre qui le suit.

Pourtant...
Je vais essayer de le dire le plus simplement possible.
Quel est le nombre (réel) qui suit 0 ?
Limitons-nous simplement à quelques nombres décimaux...
0,1 ? non puisque 0,01 est plus proche de 0.
0,01 ? non puisque 0,001 est plus proche de 0.
Etc...

Dhaiphi a écrit:

JPhMM a écrit:

verdurin a écrit:Un petit ajout : dans l'intervalle [0;1] , 0 est le plus petit nombre, quel est le suivant ?
Ceci pour faire rire Zénon.

Excellent en effet !

J'aime bien les initiés qui font des private joke et se gardent d'expliquer au "vulgaire" ce qui est ici excellent.

-Dans le quatrième mouvement de la sonate en Ré, le compositeur termine une cadence sur V7M au lieu d'enchaîner II6/9 - IVm.
- Excellent, en effet, je pouffe.

Excellent, en effet, je surpouffe

JPhMM a écrit:Allez, bien plus simple, mais qui perturbe parfois les élèves fragiles.

Un lexique malheureux : la polysémie du mot "millième".
Ordinal : le millième signataire s'appellait JPhMM.
Fraction de 1 : le millième du mètre est le millimètre.

Salut les matheux.
Je ne sais pas si je suis "dans les clous", mais il me vient un problème à l'esprit. Les notes !! Quand on écrit benoîtement "/20", ce n'est évidemment pas un nombre n de vingtièmes, non ?

Cripure a écrit:

JPhMM a écrit:Allez, bien plus simple, mais qui perturbe parfois les élèves fragiles.

Un lexique malheureux : la polysémie du mot "millième".
Ordinal : le millième signataire s'appellait JPhMM.
Fraction de 1 : le millième du mètre est le millimètre.

Salut les matheux.
Je ne sais pas si je suis "dans les clous", mais il me vient un problème à l'esprit. Les notes !! Quand on écrit benoîtement "/20", ce n'est évidemment pas un nombre n de vingtièmes, non ?

En fait si.
Et c'est là tout le problème, bien plus... tragique, disons, pour les élèves.
Je m'en suis aperçu cette année, à l'occasion d'un devoir de Quatrième sur les opérations des nombres rationnels.

Supposons un devoir noté sur 20, composé des exercices suivants :
I) noté sur 4
II) noté sur 3
III) noté sur 5
IV) noté sur 8

Un élève a les notes suivantes :
I) 3/4
II) 1/3
III) 5/5
IV) 2/8

Cela signifie dans l'esprit de certains élèves que 3/4 + 1/3 + 5/5 + 2/8 = 11/20. Une horreur donc. Précisément ce que l'on ne veut surtout pas qu'ils fassent id est ajouter les dénominateurs entre eux, et ajouter les numérateurs entre eux.

JPhMM a écrit:

Cripure a écrit:
Salut les matheux.
Je ne sais pas si je suis "dans les clous", mais il me vient un problème à l'esprit. Les notes !! Quand on écrit benoîtement "/20", ce n'est évidemment pas un nombre n de vingtièmes, non ?

En fait si.
Et c'est là tout le problème, bien plus... tragique, disons, pour les élèves.
Je m'en suis aperçu cette année, à l'occasion d'un devoir de Quatrième sur les opérations des nombres rationnels.

Supposons un devoir noté sur 20, composé des exercices suivants :
I) noté sur 4
II) noté sur 3
III) noté sur 5
IV) noté sur 8

Un élève a les notes suivantes :
I) 3/4
II) 1/3
III) 5/5
IV) 2/8

Cela signifie dans l'esprit de certains élèves que 3/4 + 1/3 + 5/5 + 2/8 = 11/20. Une horreur donc. Précisément ce que l'on ne veut surtout pas qu'ils fassent id est ajouter les dénominateurs entre eux, et ajouter les numérateurs entre eux.

Oui mais là, je ne comprends plus. 11/20, c'est la notation de 11 vingtièmes ? vingtièmes de quoi ? Avec un coef.1, au bac, il a 11 points, pas 0,55 ! Je ne pige que dalle ! Un collègue matheux m(avait dit, il y a très longtemps, que pour cette raison, il faut écrire la note non pas avec un trait horizontal de fraction, mais avec un slash. Vous en pensez quoi ?