expliquer les fractions

C'est moi qui ai oublié de griser une colonne.

frimoussette77 a écrit:Véronique avait oublié de griser une colonne du tableau, la réponse attendue était bien 7/20.

Je sais bien. J'utilise le tableau tel qu'il est, et j'espère que l'explication reste compréhensible.

JPhMM a écrit:

frimoussette77 a écrit:Véronique avait oublié de griser une colonne du tableau, la réponse attendue était bien 7/20.

Je sais bien. J'utilise le tableau tel qu'il est, et j'espère que l'explication reste compréhensible.

Bah oui ça marche aussi mais tu ne simplifies pas au maximum.

Al a écrit:

V.Marchais a écrit:Je pense que c'est à l'élève d'observer et de trouver l'unité pertinente.

C'est marrant, ça me fait penser aux méthodes "globales" d'apprentissage de la lecture!

Si je comprends bien (j'essaie d'entrer dans la démarche, hein, c'est nouveau pour moi, je dis peut-être des conneries), à ce stade, il s'agit de montrer aux enfants la matérialité de la fraction, à savoir qu'il s'agit d'un rapport et que ce rapport peut s'écrire de différentes manières.
Si j'en crois ce que dis Pierre, le passage par calcul d'une écriture à une autre se fait au collège.

V.Marchais a écrit:

Al a écrit:

V.Marchais a écrit:Je pense que c'est à l'élève d'observer et de trouver l'unité pertinente.

C'est marrant, ça me fait penser aux méthodes "globales" d'apprentissage de la lecture!

Si je comprends bien (j'essaie d'entrer dans la démarche, hein, c'est nouveau pour moi, je dis peut-être des conneries), à ce stade, il s'agit de montrer aux enfants la matérialité de la fraction, à savoir qu'il s'agit d'un rapport et que ce rapport peut s'écrire de différentes manières.
Si j'en crois ce que dis Pierre, le passage par calcul d'une écriture à une autre se fait au collège.

ça se fait un peu aussi au CM2 mais après la partie géométrique.

frimoussette77 a écrit:

JPhMM a écrit:

frimoussette77 a écrit:Véronique avait oublié de griser une colonne du tableau, la réponse attendue était bien 7/20.

Je sais bien. J'utilise le tableau tel qu'il est, et j'espère que l'explication reste compréhensible.

Bah oui ça marche aussi mais tu ne simplifies pas au maximum.

Je sais bien. Mais le sens du mot "simplifier" est à définir, et est source parfois d'erreurs plus tard. Contrairement à une idée répandue, simplifier ne veut pas dire simplifier au maximum.

Exemple :
Calculer :
1/20 + 25/100 =

Si l'élève simplifie au maximum, il obtient : 1/20 + 25/100 = 1/20 + 1/5 et là ?
Si l'élève simplifie (un peu), il obtient : 1/20 + 5/20 = 6/20

On a tendance à confondre "simplifier une fraction" et "écrire une fraction en fraction irréductible". Ce n'est pas équivalent.
Le lien entre les deux est : "Si une fraction n'est pas irréductible, elle peut être simplifiée"

Le problème de l'enseignement des fractions est complexe, parce que la notion de fraction elle-même est complexe.

Étrangement, dans un exercice comme celui-ci, on ne travaille pas sur les fractions, mais sur les rapports.

7/20 = 35/100
C'est dire "le rapport de 7 à 20 est identique au rapport de 35 à 100", autrement dit : "7 parts sur 20 parts est identique à 25 parts sur 100 parts".

Question : comment un élève dans ce cas comprend 20/7 ???

JPhMM a écrit:Le problème de l'enseignement des fractions est complexe, parce que la notion de fraction elle-même est complexe.

Étrangement, dans un exercice comme celui-ci, on ne travaille pas sur les fractions, mais sur les rapports.

7/20 = 35/100
C'est dire "le rapport de 7 à 20 est identique au rapport de 35 à 100", autrement dit : "7 parts sur 20 parts est identique à 25 parts sur 100 parts".

Question : comment un élève dans ce cas comprend 20/7 ???

"7 parts sur 20 parts est identique à 25 35parts sur 100 parts".

Uniquement pour information :

Une fraction, pour un collégien, c'est à fois : un rapport, un quotient, et une division.

Rapport : ce que nous venons de voir.
7/20, qui est donc lu "sept vingtième" (puisqu'on a coupé en 20 et prit sept part)
Quotient : le quotient de 7 par 20 est le nombre qui multiplié par 20 donne 7.
Division : 7/20 = 7:20

Vous voyez, c'est plus subtil que ça en a l'air.

Strictement :
Une fraction n'est rien de tout cela, mais un concept qui englobe tout ça.
Quelle est la définition scientifique (mais en essayant de rester compréhensible) d'une fraction ?

Si a, a', b et b' sont des entiers, avec b et b' non nuls, on définition la relation R entre les couples (a;b) et (a';b') par : (a;b)R(a';b') si ab'-a'b = 0
Soit f est un ensemble des couples qui sont en relation par R, f est une fraction.

Exemple : f= {(1;7), (2;14), (3; 21)...} est une fraction.
Par exemple, (5;35) est un élément de f car 5x7-35x1 = 0

Un élément de f est une écriture de la fraction, et on note (a;b) = a/b.

Dans notre exemple, f peut être écrit 1/7, 2/7, ..., 5/35, etc... mais il s'agit toujours de la même fraction.

En fait, il existe des enseignants qui abordent les fractions directement par la définition scientifique.

Exemple :
Soient des robots qui avancent sur une droite graduée.
On écrira (2;7) pour un robot qui avance de 2 graduations en 7 pas.
Si les enfants déplacent les robots, ils s'apercevront par exemple que les robots (2;7) et (4;14) sont identiques, etc...

Si cela vous intéresse :
http://www.uvp5.univ-paris5.fr/tfm/parcours/Par02P1M2.asp

Si j'ai bien compris, dans chaque tableau, il faut trouver le motif qui se répète dans les cases coloriées et sur l'intégralité du tableau? L'unité dont parlait frimoussette77, c'est ça?

Si je prends 12/40, je peux construire plusieurs tableaux: 8 cases par 5 ; 4 cases par 10 ; 2 cases par 20. A chaque fois je colorie 12 cases (j'ai bon là?). Pour le tableau 4x10, on trouve facilement la fraction simplifiée (3 lignes ou colonnes sur 10). Pour le tableau 2x20, je trouve cela moins évident...

JPhMM a écrit:
Quelle est la définition scientifique (mais en essayant de rester compréhensible) d'une fraction ?

Si a, a', b et b' sont des entiers, avec b et b' non nuls, on définition la relation R entre les couples (a;b) et (a';b') par : (a;b)R(a';b') si ab'-a'b = 0
Soit f est un ensemble des couples qui sont en relation par R, f est une fraction.

Exemple : f= {(1;7), (2;14), (3; 21)...} est une fraction.
Par exemple, (5;35) est un élément de f car 5x7-35x1 = 0

Un élément de f est une écriture de la fraction, et on note (a;b) = a/b.

Dans notre exemple, f peut être écrit 1/7, 2/7, ..., 5/35, etc... mais il s'agit toujours de la même fraction.

Je vais expliquer ça à Boubou, 8 ans, je sens que ça va le faire triper. :lol:

V.Marchais a écrit:

JPhMM a écrit:
Quelle est la définition scientifique (mais en essayant de rester compréhensible) d'une fraction ?

Si a, a', b et b' sont des entiers, avec b et b' non nuls, on définition la relation R entre les couples (a;b) et (a';b') par : (a;b)R(a';b') si ab'-a'b = 0
Soit f est un ensemble des couples qui sont en relation par R, f est une fraction.

Exemple : f= {(1;7), (2;14), (3; 21)...} est une fraction.
Par exemple, (5;35) est un élément de f car 5x7-35x1 = 0

Un élément de f est une écriture de la fraction, et on note (a;b) = a/b.

Dans notre exemple, f peut être écrit 1/7, 2/7, ..., 5/35, etc... mais il s'agit toujours de la même fraction.

Je vais expliquer ça à Boubou, 8 ans, je sens que ça va le faire triper. :lol:

C'est rien de moins que la commensurabilité des Grecs, mot que vous avez rencontré chez Platon, Aristote, etc. Mais la commensurabilité a été démontrée grâce au théorème de Thalès, qui n'est vu que plus tard, donc l'enseignement français se découpe les cheveux en quatre pour enseigner les fractions sans utiliser le théorème de Thalès.

Exemple :


Supposons que AJ = 35 mm.
Notre mathématicien grec veut tracer [JL] tel que JL = 35/4 mm.
Il trace [AG] et place H sur (AG) tels que AG = 4 cm et GH = 1 cm.
Il trace la parallèle à (JG) qui passe par H, elle coupe (AJ) en L.
Trivialement, HG = AG/4
D'après le théorème de Thalès, JL = AJ/4 = 8,75 mm.
Les rapports 1/4 et 8,75/35 sont égaux.

C'est moins compliqué que ça en a l'air, et l'activité des robots utilise ce principe, qui repose (malheureusement ?) sur le théorème de Thalès, non encore démontré en primaire.

Edit : erreur dans une écriture mathématique.

Al a écrit:Si j'ai bien compris, dans chaque tableau, il faut trouver le motif qui se répète dans les cases coloriées et sur l'intégralité du tableau? L'unité dont parlait frimoussette77, c'est ça?

Si je prends 12/40, je peux construire plusieurs tableaux: 8 cases par 5 ; 4 cases par 10 ; 2 cases par 20. A chaque fois je colorie 12 cases (j'ai bon là?). Pour le tableau 4x10, on trouve facilement la fraction simplifiée (3 lignes ou colonnes sur 10). Pour le tableau 2x20, je trouve cela moins évident...

Oui, par exemple.

Comment sait-on quel tableau (voir mon message précédent) est le plus adéquat pour trouver la forme réduite de la fraction?

Je vais essayer d'expliquer.
On veut trouver la fraction irréductible égale à la fraction 12/40.
40 = 2x20 = 4x10 = 8x5.

12 est divisible par 2.
Essayons le suivant.
12 est divisible par 4.
Essayons le suivant.
12 n'est pas divisible par 8.

Donc je prends 4x10, le dernier qui "marche".

Suis-je clair ?

JPhMM a écrit:Je vais essayer d'expliquer.
On veut trouver la fraction irréductible égale à la fraction 12/40.
40 = 2x20 = 4x10 = 8x5.

12 est divisible par 2.
Essayons le suivant.
12 est divisible par 4.
Essayons le suivant.
12 n'est pas divisible par 8.

Donc je prends 4x10, le dernier qui "marche".

Suis-je clair ?

Oui!

Merci beaucoup!

V.Marchais a écrit:

Pierre_au_carré a écrit:

V.Marchais a écrit:Frimousette, merci à toi et ton mari. Jusque là, je comprends, mais quand c'est plus complexe, comme rapport ?
Il faut vraiment que je vous scanne la feuille.

Il attend la 6ième ou la 5ième...

Ben moi je veux bien mais son exercice est pour demain, pas pour dans trois ans...

Pfff... Encore un auteur qui a fait une erreur d'énoncé.
Tu sais avec les délais et tout et tout.
Je rigole mais c'est possible ou l'illustrateur qui comprend mal ce que voulait faire l'auteur.

V.Marchais a écrit:Pétard ! J'aurais pas pensé à changer d'unité.
Merci Frimousette. Je vais dire ça à Junior.

Spoiler:

Oupss... Avec le dessin, c'est plus facile à voir.
Avec les divisions, ça ne doit pas être l'optique donnée aux programmes de primaire, je pense.

Le problème des divisions vient du fait, que par exemple, 1/3 n'a pas de résultat décimal, donc on ne peut pas écrire le quotient sous forme décimale, et il faut conserver l'écriture 1/3.
En fait, c'est la raison d'être des fractions. Utiliser les divisions, c'est esquiver la substantifique moelle des fractions.

En termes de quotients :
Dans l'exercice

complétez :
4 x ___ = 20
5 x ___ = 1
3 x ___ = 1

La table de multiplication par 4 permet de répondre au premier, car 4x5=20.
La division permet de répondre au deuxième, car 1:5 = 0,2
Et la fraction permet de répondre au troisième, car 3 x (1/3) = 1. MAIS aucun nombre décimal ne peut replacer cette fraction.
En effet, si je dis : 1/3 = 0,333
Alors 3 x 0,333 = 0,999, ça marche pas.

Les fractions permettent de répondre à tous les coups, ce que ne permettent pas les divisions.

PS : conséquence assez "marrante", 1 = 0,9999999999... Et l'égalité est réelle, ce n'est pas une approximation. Tout nombre entier accepte une écriture avec une infinité de chiffres après la virgule (qui n'est pas à proprement parler, une écriture décimale telle qu'on l'entend en primaire et secondaire).

Quand je parlais de divisions, je voulais dire : décomposition des composantes de la fraction et division par les mêmes termes du numérateur et du dénominateur.

35/100 = 7x5/5x5x2x2 = 7/5x2x2 = 7/20

Je trouve ça plus simple - c'est d'ailleurs comme ça que nous avons procédé, en premier lieu, faute de comprendre ce qu'il fallait faire avec ce tableau, et Doudou, du haut de ses 8 ans, a bien compris. Mais je suppose que cela ne correspond pas à la visée de l'exercice.

Mon Dieu... Bichette est en CE2, je ne survivrai pas au CM1, c'est certain...

V.Marchais a écrit:Quand je parlais de divisions, je voulais dire : décomposition des composantes de la fraction et division par les mêmes termes du numérateur et du dénominateur.

35/100 = 7x5/5x5x2x2 = 7/5x2x2 = 7/20

Je trouve ça plus simple - c'est d'ailleurs comme ça que nous avons procédé, en premier lieu, faute de comprendre ce qu'il fallait faire avec ce tableau, et Doudou, du haut de ses 8 ans, a bien compris. Mais je suppose que cela ne correspond pas à la visée de l'exercice.

En fait, cet exercice vise à faire cette division graphiquement.
Quand je regroupe les parties par paquets de 5, je divise le nombre de parties par 5. En effet, 35 parties regroupées par 5, font 7 paquets de 5.
Donc, c'est une version graphique de 35/100 = (35:5)/(100:5) = 7/20

Ainsi, s'il a compris, il dépasse la visée de l'exercice. En somme il a compris ce que voulait dire l'exercice, sans avoir besoin de passer par l'exercice (ce qui arrive souvent avec les élèves "visuels").

Alors, si on commence à partir dans les techniques visuelles, ça va être tout un poème.
Fiston a une manière bien à lui de compter, très "visuelle", justement. J'ai pas tout compris à ce jour. Il associe les chiffres à des formes (3 = triangle, 4 = carré) et il compte comme ça. Par exemple, sur les cartes (de jeu), ça se "voit", dit-il : 7 = 5 + 2 (le carré du cinq avec son point au milieu + les deux points en haut) ou 5 = 4 + 3 (le carré + le triangle. Tu suis ?) Pour les multiplications, il fait des trucs pareils que j'ai du mal à suivre (j'ai du mal à me représenter ce qu'il visualise et comment il le manipule) mais c'est efficace : il calcule rapidement. Et, crois-le si tu peux, quand nous avons discuté des puissances, suite à une émission qu'il avait vue à la télé, c'est lui qui m'a fait remarquer que c'était logique que les puissances deux s'appellent des "carrés" parce que 4x4 ça dessine un carré (jusque là, encore, oui, d'accord) et que celles de trois s'appellent des "cubes", parce que ça dessinait des cubes : trois puissance trois, ça fait un cube de trois points de côté, qui contient en tout 27 points et 4 puissance 4 ça fait 4 carrés de 16 points empilés... Certes... :study:
Je ne sais pas s'il y a beaucoup d'enfants qui raisonnent comme ça, mais moi, je m'y perds. A côté, les tables, qu'est-ce que c'est confortable, finalement...

Et avec tout ça, Toto est pas foutu de voir qu'il suffisait de prendre des moitiés de colonnes au lieu des colonnes pour faire son exercice ! Ah mais j'vous jure !

Finalement, je crois que je préfère l'abstraction.
Ca me parle plus ab' - a'b = 0 que les tableaux de CM1...
J'y vois que dalle, moi.
Ce doit être pour ça que j'aime la grammaire. :lol:

ouais, ben mon fils est en cm1, il adore les maths aussi, mais en classe, ils sont loiiiin de la fraction : ils abordent à peine la division

Pas étonnant qu'il s'ennuie en classe...