Quels sont les développements et factorisations au programme de 3e

Bonjour au profs de 3e présents dans la salle.
Ma question est dans le titre !
Les développements du type (x+2)(-x-4)-(7x+6)(-2x+5) sont ils au programme de 3 e ?
Car dans mon livre myriade 3e 2021, rien sur le sujet !
Même question pour les factorisation d’ailleurs ! Jusqu’où on va ? Est ce que factoriser (-4x+2)(3x-7)+(5x-2)(-4x+2) est au programme de 3e ?
Et question subsidiaire : comment expliquer aux élèves que les développements de chaque terme doivent être entre parenthèses sous peine d’erreur ?
Pour ma part, je ne vois qu’une explication sur la structure de l’expression. C’est une différence de deux termes. Après développements, je dois retrouver ma différence des deux mêmes termes mais écrit sous forme réduite ! —-> les règles de priorité m’imposent des parenthèse !
Bref besoin d’être persuasif car pour le moment, ça ressemble un peu à la berezina !

Le programme est très incomplet dans ce domaine. Par principe je vois les 3 identités et tous les cas dont tu parles.
Il faut noter que cela ne tombe pas souvent au DNB et quand c'est le cas c'est souvent à la limite du programme... Quand c'était au programme l'IPR m'avait reproché d'en faire trop et de travailler trop la technique et les automatismes mais maintenant que ce n'est plus vraiment au programme l'IPR trouve que c'est bien, alors que nous avons poursuivi dans le même esprit.
Pour la question subsidiaire je n'ai pas compris tu peux donner un exemple ?

Je pense que l'exemple typique est (-4x+2)(3x-7)-(5x-2)(-4x+2)
qui se développe en (-12x^2+28x+6x-14)-(-20x^2+10x+8x-4)
puis -12x^2+34x-14+20x^2-18x+4 soit 8x^2+16x-10
avec ici une première paire de parenthèses inutiles mais une deuxième indispensable.
Pour répondre à cette question, personnellement j'utilise "pour soustraire une somme on soustrait chaque terme".

Sur les limites du programme de troisième sur le calcul littéral, je ne suis pas trop sûr de ce qu'on peut raisonnablement
demander à un élève de troisième, mais je suis certain de deux choses :
* la maitrise du calcul littéral est le point ESSENTIEL qui permet de prédire la réussite en maths au lycée,
* le point crucial est de voir que factoriser (-4x+2)(3x-7)+(5x-2)(-4x+2) ou factoriser 3x+x^2 est fondamentalement identique,
dans les deux cas on utilise ka+kb=k(a+b) ; c'est cette étape d'abstraction qui constitue la difficulté de l'exercice
et qui une fois comprise permet d'être efficace et de calculer de manière fiable.

ben2510 a écrit:
Sur les limites du programme de troisième sur le calcul littéral, je ne suis pas trop sûr de ce qu'on peut raisonnablement
demander à un élève de troisième, mais je suis certain de deux choses :
* la maitrise du calcul littéral est le point ESSENTIEL qui permet de prédire la réussite en maths au lycée,

... et en physique. Outre les difficultés propres liées à la discipline, celles en calcul littéral est un vrai frein.

brac a écrit:Bonjour au profs de 3e présents dans la salle.
Ma question est dans le titre !
Les développements du type (x+2)(-x-4)-(7x+6)(-2x+5) sont ils au programme de 3 e ?
Car dans mon livre myriade 3e 2021, rien sur le sujet !
Même question pour les factorisation d’ailleurs ! Jusqu’où on va ? Est ce que factoriser (-4x+2)(3x-7)+(5x-2)(-4x+2) est au programme de 3e ?
Et question subsidiaire : comment expliquer aux élèves que les développements de chaque terme doivent être entre parenthèses sous peine d’erreur ?
Pour ma part, je ne vois qu’une explication sur la structure de l’expression. C’est une différence de deux termes. Après développements, je dois retrouver ma différence des deux mêmes termes mais écrit sous forme réduite ! —-> les règles de priorité m’imposent des parenthèse !
Bref besoin d’être persuasif car pour le moment, ça ressemble un peu à la berezina !

Pour ma part, je considère que les exemples que tu donnes sont à la limite du programme... et complètement dans celui de Seconde.
Donc je ne les évalue pas en contrôle, mais en traite quelques-uns en classe et/ou en DM selon le niveau de la classe de 3ème.
Pour les IR, le programme insiste explicitement sur la maitrise de la 3ème... mais je traite aussi les deux autres, en les démontrant et en évaluant des cas simples... et rebelote en Seconde où là je compte atteindre la maîtrise et où je mixerais également avec tes deux cas...
En général, c'est la factorisation qui pose problème aux deux niveaux... et donc j'insiste lourdement dessus dans mes exercices d'automatismes de début de cours...

Je suis assez raccord avec toi.
Dans mon esprit, on est limite programme mais les « bons élèves » peuvent déjà les comprendre.
Comme vous, je m’appuie sur la propriété du cours « soustraire revient à additionner l’opposé » et « multiplie un nombre par (-1) revient à prendre son opposé » .
J’ai du mal avec les recettes de cuisine du type « pour supprimer les parenthèses précédées d’un signe -, on change les signes à l’intérieur des parenthèses » ! Et on en fait quoi du signe - qui est devant ? On le garde, le supprime ?
Bref j’aime pas !!! Et à mon avis, c’est un apprentissage réussi dans l’instant mais loin d’être pérenne.

Et à l'entrée dans l'enseignement supérieur, le taux d'échec à ce type de calcul est énorme depuis de nombreuses années : 50% à 75% d'échec à la simplification de -(3x^2-7x+4) ... (prépa "de proximité").

Oui il faut apprendre tout cela au plus tôt et de façon approfondie, quoi qu'en disent le programme ou le manuel, et le renforcer en seconde ensuite, sinon les élèves traînent ce genre de lacunes jusqu'au supérieur (on parle des développements et factorisations ici mais on a les mêmes problèmes avec la manipulation des fractions, des inégalités, etc.) – et alors c'est l'échec pour beaucoup d'entre eux parce qu'on n'a pas assez de temps pour reprendre tous ces points en détail…

brac a écrit:Bonjour au profs de 3e présents dans la salle.
Ma question est dans le titre !
Les développements du type (x+2)(-x-4)-(7x+6)(-2x+5) sont ils au programme de 3 e ?
Car dans mon livre myriade 3e 2021, rien sur le sujet !
Même question pour les factorisation d’ailleurs ! Jusqu’où on va ? Est ce que factoriser (-4x+2)(3x-7)+(5x-2)(-4x+2) est au programme de 3e ?
Et question subsidiaire : comment expliquer aux élèves que les développements de chaque terme doivent être entre parenthèses sous peine d’erreur ?
Pour ma part, je ne vois qu’une explication sur la structure de l’expression. C’est une différence de deux termes. Après développements, je dois retrouver ma différence des deux mêmes termes mais écrit sous forme réduite ! —-> les règles de priorité m’imposent des parenthèse !
Bref besoin d’être persuasif car pour le moment, ça ressemble un peu à la berezina !

Je ne sais pas si ça répond à ta question subsidiaire, mais peut-être que ça pourrait aider de rajouter les parenthèses implicites (ici en couleur) avant de se lancer dans les calculs (c'est ce que je fais avec mes BTS).
On commence par écrire :
((x+2)(-x-4))-((7x+6)(-2x+5)) en faisant l'analogie avec (4*5)-(2*7) si nécessaire,
puis, après doubles distributions et réductions, on obtient naturellement :
(-x²-6x-8)-(-14x²+23x+30)
La difficulté est ensuite de faire comprendre que les parenthèses bleues peuvent être retirées sans aucune conséquence tandis que ce n'est pas le cas des parenthèses rouge puisqu'il y a une multiplication "cachée" (par -1) ce qui implique une nouvelle distribution si on souhaite continuer à développer.

Je ne sais pas si on peut appeler cela une recette de cuisine, pour ma part je demande aux élèves de toujours développer entre des crochets un produit situé après un (-) pour des raisons de priorité. Ensuite supprimer des parenthèses qui
suivent un moins c'est pour moi du niveau 5ème ou 4ème quand on veut soustraire une liste il y a deux solutions on soustrait un par un ou bien on calculé tout et on soustrait ensuite. Et en calculé littéral on ne peut pas réduire donc on soustrait un par un. Après tout, la multiplication par -1 peut aussi ressembler à une recette de cuisine.
Quand on calcule un angle on a 2 solutions :
180 - 34 - 58 ou 180 - ( 34 + 58)
Et dans cet exemple personne ne se demande où passe le moins.
De toute manière dans le calcul littéral cela doit devenir un automatisme. Et pendant très longtemps l'automatisme c'était le mal... Si bien que mes 5ème ne connaissent pas la table de dix !!! Et je parles de très bons élèves qui tournent à 17 de moyenne mais posent 8 X 10.... Et oui ce n'est pas naturel nous avons tous appris la table de 10 et nous pensons que c'est logique naturel facile mais non ce n'est pas facile ... Et il faut du temps et du travail, j'ai expliqué cette table et la bonne élève a très bien compris le principe mais en 4ème un an après elle bloque encore sur 7x10... C'est normal je ne peux pas repasser des semaines et des mois sur les calculs basiques indispensables...

brac a écrit:Bonjour au profs de 3e présents dans la salle.
Ma question est dans le titre !
Les développements du type (x+2)(-x-4)-(7x+6)(-2x+5) sont ils au programme de 3 e ?
Car dans mon livre myriade 3e 2021, rien sur le sujet !
Même question pour les factorisation d’ailleurs ! Jusqu’où on va ? Est ce que factoriser (-4x+2)(3x-7)+(5x-2)(-4x+2) est au programme de 3e ?
Et question subsidiaire : comment expliquer aux élèves que les développements de chaque terme doivent être entre parenthèses sous peine d’erreur ?
Pour ma part, je ne vois qu’une explication sur la structure de l’expression. C’est une différence de deux termes. Après développements, je dois retrouver ma différence des deux mêmes termes mais écrit sous forme réduite ! —-> les règles de priorité m’imposent des parenthèse !
Bref besoin d’être persuasif car pour le moment, ça ressemble un peu à la berezina !

Pour moi, ce n'est pas hors-programme, mais réussir ces développements ne fait pas du tout partie des attendus de fin de 3e. Il est même précisé, dans les repères de progression de cycle 4 (partie équations), qu'aucune virtuosité calculatoire n'est attendue dans les développements et factorisations.

Idem pour les factorisations : la factorisation de l'expression que tu cites dépasse largement le niveau des exemples de réussites attendues.

Enfin, pour ce qui est de la gestion des parenthèses, j'avoue ne le faire que lorsqu'on développe une expression précédée d'un signe - (je n'écris pas les parenthèses bleus de Moonchild)

Malgré cela, je fais développer et factoriser des expressions de ce type. Rester strictement au niveau du programme et des attendus de l'EN en calcul littéral ne serait pas rendre service aux élèves, quand bien même il n'y en aurait pas beaucoup qui réussiraient à développer ou factoriser de telles expressions.

Barry a écrit:Il est même précisé, dans les repères de progression de cycle 4 (partie équations), qu'aucune virtuosité calculatoire n'est attendue dans les développements et factorisations.

Ça va alors, (sauf peut-être à Louis-le-Grand) on a de la marge avant de faire de la virtuosité calculatoire

Clp a écrit:Oui il faut apprendre tout cela au plus tôt et de façon approfondie, quoi qu'en disent le programme ou le manuel, et le renforcer en seconde ensuite, sinon les élèves traînent ce genre de lacunes jusqu'au supérieur (on parle des développements et factorisations ici mais on a les mêmes problèmes avec la manipulation des fractions, des inégalités, etc.) – et alors c'est l'échec pour beaucoup d'entre eux parce qu'on n'a pas assez de temps pour reprendre tous ces points en détail…

J'en profite pour rappeler que les inégalités et donc les inéquations ne sont plus au programme de 3ème. Et je pense que la grande majorité des collègues n'abordent plus du tout ces notions. C'est très regrettable car ils ne voient plus la notion d'ensemble solution ni même la différence entre inférieur strict ou égal.

Moonchild a écrit:

brac a écrit:Bonjour au profs de 3e présents dans la salle.
Ma question est dans le titre !
Les développements du type (x+2)(-x-4)-(7x+6)(-2x+5) sont ils au programme de 3 e ?
Car dans mon livre myriade 3e 2021, rien sur le sujet !
Même question pour les factorisation d’ailleurs ! Jusqu’où on va ? Est ce que factoriser (-4x+2)(3x-7)+(5x-2)(-4x+2) est au programme de 3e ?
Et question subsidiaire : comment expliquer aux élèves que les développements de chaque terme doivent être entre parenthèses sous peine d’erreur ?
Pour ma part, je ne vois qu’une explication sur la structure de l’expression. C’est une différence de deux termes. Après développements, je dois retrouver ma différence des deux mêmes termes mais écrit sous forme réduite ! —-> les règles de priorité m’imposent des parenthèse !
Bref besoin d’être persuasif car pour le moment, ça ressemble un peu à la berezina !

Je ne sais pas si ça répond à ta question subsidiaire, mais peut-être que ça pourrait aider de rajouter les parenthèses implicites (ici en couleur) avant de se lancer dans les calculs (c'est ce que je fais avec mes BTS).
On commence par écrire :
((x+2)(-x-4))-((7x+6)(-2x+5)) en faisant l'analogie avec (4*5)-(2*7) si nécessaire,
puis, après doubles distributions et réductions, on obtient naturellement :
(-x²-6x-8)-(-14x²+23x+30)
La difficulté est ensuite de faire comprendre que les parenthèses bleues peuvent être retirées sans aucune conséquence tandis que ce n'est pas le cas des parenthèses rouge puisqu'il y a une multiplication "cachée" (par -1) ce qui implique une nouvelle distribution si on souhaite continuer à développer.

J’aurais adoré que l’on m’explique ça comme ça !!! Trop bien

Comme on peut le voir dans ce sujet de brevet ces calculs étaient la norme au début des années 2000 et faisaient partie des fondamentaux.




À comparer avec l’inanité des sujets de brevet ces dernières années...

Un immense merci à Najat Vallaud Belkacem pour sa spectaculaire réforme du collège. Une brillante réussite dont nous apprécions pleinement les effets au lycée, jour après jour.

Clp a écrit:

Barry a écrit:Il est même précisé, dans les repères de progression de cycle 4 (partie équations), qu'aucune virtuosité calculatoire n'est attendue dans les développements et factorisations.

Ça va alors, (sauf peut-être à Louis-le-Grand) on a de la marge avant de faire de la virtuosité calculatoire  

Merci, j'ai aussi ri en lisant "virtuosité calculatoire"... Bientôt, savoir calculer (-2)x(-1) sera considéré comme de la virtuosité

Proton a écrit:Un immense merci à Najat Vallaud Belkacem pour sa spectaculaire réforme du collège. Une brillante réussite dont nous apprécions pleinement les effets au lycée, jour après jour.

Tout à fait. Il y a clairement un avant et un après 2016 dans le programme de maths de la partie calcul... Les collégiens auxquels on a enseigné le programme de maths du cycle 4 dans son respect le plus strict ont perdu une année de maths (les exemples de réussite de 3e en calcul littéral, 3e ID mise de côté, correspondent au niveau 4e de l'ère pré-Najat)

Proton a écrit:Un immense merci à Najat Vallaud Belkacem pour sa spectaculaire réforme du collège. Une brillante réussite dont nous apprécions pleinement les effets au lycée, jour après jour.

Najat Vallaud-Belkacem a certes été un catalyseur du déclin des mathématiques au collège, mais il serait naïf de croire qu'elle porte seule la responsabilité de cette chute vertigineuse.

Le processus de démantèlement a commencé à la fin des années 80, lorsque les mathématiques ont été jugées trop élitistes. Depuis, chaque réforme a constitué un assaut supplémentaire contre le contenu et l'exigence de cette discipline.

Progressivement, soutenus par des IPR complices, nos dirigeants ont méthodiquement vidé l'enseignement des mathématiques au collège. Les outils vectoriels et le raisonnement déductif en géométrie ont rapidement été sacrifiés.
Quant à la partie calcul/automatisme, elle a résisté vaillamment pendant quelques années, avant d’être à son tour qualifiée de trop difficile et abandonnée.

Cette lente érosion explique en grande partie le vide abyssal dans lequel se débat l'enseignement des mathématiques au collège aujourd'hui.

Certes Najat Vallaud Belkacem n’est pas la seule mais il faut bien lui reconnaitre la palme d’or de l’efficacité : changer les programmes sur 4 niveaux simultanément, personne n’avait osé avant elle !
Il serait aussi injuste d’oublier dans ce triste palmarès Claude Allègre (ministre de l’EN sous le gouvernement Lionel Jospin) pour qui les mathématiques étaient devenus inutiles depuis l’avènement des calculatrices.
Après, dans un esprit de concorde, je suis prêt à admettre que tous les ministres successifs depuis les années 80 ont aussi leurs responsabilités.
C’est sur l’aspect « élitiste » de la matière que je diverge : la matière a depuis longtemps été perçue comme élitiste alors que dans les faits elle ne l’était pas : pour s’en convaincre il suffit de tracer l’historique des coefficients au bac. C’est cette perception qui a été exacerbée afin de justifier la disparition progressive des contenus. Tout cela a été initié depuis les années 70. Il devenait très difficile de recruter des profs de math car l’informatique (en plein boom) siphonnait littéralement les étudiants avec des salaires stratosphériques par rapport à la fonction publique. On avait moins de prof => il suffisait de diminuer les horaires => il fallait réviser les contenus. Il ne restait qu’à imaginer les « éléments de langage ». Tout cela avec la bénédiction de l’inspection bien sûr!

ben2510 a écrit:
* la maitrise du calcul littéral est le point ESSENTIEL qui permet de prédire la réussite en maths au lycée,

Avec une aisance dans la manipulation des fractions, c'est le top.

kyu a écrit:Najat Vallaud-Belkacem a certes été un catalyseur du déclin des mathématiques au collège, mais il serait naïf de croire qu'elle porte seule la responsabilité de cette chute vertigineuse.

Le processus de démantèlement a commencé à la fin des années 80, lorsque les mathématiques ont été jugées trop élitistes. Depuis, chaque réforme a constitué un assaut supplémentaire contre le contenu et l'exigence de cette discipline.

Vallaud-Belkacem a écrit récemment un livre avec F. Dubet où, selon une revue savoureuse (1), elle parvient de façon cohérente à donner de mauvaises réponses à de mauvaises questions.

À mon souvenir dans les années 80 il y a eu surtout un certain retour de la géométrie dans les programmes aux dépens du tout algèbre linéaire.
La grande rupture c'est quand même la disparition de la Terminale C en 1995.

Le rapport de l'IG de mars 2002 est assez explicite : "En conclusion, les contenus actuels sont le résultat d’une grande érosion, tant du point de vue des modèles introduits et étudiés, que de la capacité à généraliser, à construire, et à porter sur les situations un regard mathématique.
Leur mise en œuvre étant incitative et leurs limites fixées, les contenus de programme entraînent des pratiques. A l’heure actuelle, il n’est pas exagéré de dire qu’elles conduisent à
écarter la plupart des élèves de la réalité des mathématiques. En effet, seuls ceux qui sont incités à travailler en dehors de la classe, ceux à qui des problèmes sont posés et dont on suit le travail, ceux à qui on conseille des lectures reçoivent un enseignement mathématique véritable."
(C'est moi qui souligne.)

Partant de ce dernier constat de l'IG, comme il a bien fallu continuer à former des élèves au niveau en maths, l'institution a rapidement organisé son propre système d'enseignement parallèle, aux niveaux locaux, régionaux (grands clubs de maths dans les Ens ou les universités pour des collégiens et des lycéens) et nationaux (stages Animaths etc.).
Je connais un peu ce système pour y avoir brièvement participé, pour vous donner une idée le volume conceptuel et d'activités effectives de quelques séances dépasse celui d'une année de cours.
D'autres possibilités sont offertes moins directement en lien avec l'institution (Kangourou, Mathraining etc.).
Un jeune collègue qui a une activité en club m'a indiqué que les élèves inscrits passent un temps démesuré à faire des maths en reconstituant d'eux-même un apprentissage de haut niveau, souvent collectivement  via des réseaux peu visibles (Discord etc.).

Au final je pense que les quelques centaines d'élèves qui suivent des cursus parallèles poussés collège-lycées adoubés par l'EN sont sans doute d'un meilleur niveau et ont une plus grande culture mathématique que ceux des années 70-90.

(1)  L’école et l’inégalité. Philippe Raynaud dans Commentaire (2024/2 Numéro 186)

Feyn a écrit:

Clp a écrit:

Barry a écrit:Il est même précisé, dans les repères de progression de cycle 4 (partie équations), qu'aucune virtuosité calculatoire n'est attendue dans les développements et factorisations.

Ça va alors, (sauf peut-être à Louis-le-Grand) on a de la marge avant de faire de la virtuosité calculatoire  

Merci, j'ai aussi ri en lisant "virtuosité calculatoire"... Bientôt, savoir calculer (-2)x(-1) sera considéré comme de la virtuosité

Une bonne nouvelle pour moi. Je serai bientôt une virtuose, avec un don majeur pour les mathématiques. Triste École!