Leçon d'exercices 454 (AI) : Exemples d'applications de la notion de compacité.

Bonsoir. Je prépare l'agrégation interne et je vais bientôt plancher sur la leçon d'exercices n°454 : Exemples d'applications de la notion de compacité.
Je suis à la recherche d'exercices intéressants et relevant de domaines variés. Si vous avez des choses en tête, merci d'avance.

Peut-être faudrait-il que tu précises dans le titre qu'il s'agit d'une leçon d'exercices ? À l'agrégation externe il y a une leçon classique qui a quasiment le même nom.
Sinon, ce qui me vient par la tête: théorème de Heine, existence d'une subdivision pointée adaptée à toute fonction de jauge (en intégration de Kurzweil-Henstock), théorème du point fixe dans les espace métriques…
Je ne sais pas si c'est pertinent pour une leçon d'exercices, n'ayant pas passé ce genre d'épreuve.

Le Théorème de Riesz sur la dimension d'un espace normé, pas très difficile à démontrer, éventuellement.

Dans la page wiki sur la compacité, il y a quelques idées notamment dans "compacité et continuité"

En premiers éléments je dirais le fait qu'une suite dans un espace métrique compact ayant 1 valeur d'adherence est CV.

On se sert de ce résultat pour montrer que dans la décomposition polaire des matrices inversibles, la fonction A|->(O,S) est continue.

Côté géométrie il y a pas mal de résultats d'existence liés à de la compacité (on définit une fonction f:K->R, qui est continue, sur un produit de compacts, et donc elle admet un max et un min).

De même, dans des inégalités en analyse fonctionnelle, le gros des sup/inf sur des boules unités en dimension finie est atteint (par exemple les normes d'applications linéaires).

Sur un espace métrique compact, toute fonction continue est uniformément continue.
Donc des fonctions comme sqrt ou autres sont uniformément continues (d'un côté car sur l'intervalle [0,a] elles sont unif cont, de l'autre car sur [a,+infty] elles sont k-Lipschitziennes)

Une fonction holomorphe (définie sur un ouvert contenant le compact K) s'annule un nombre fini de fois sur K.

Je mettrais de même quelques contre-exemples pour illustrer les exemples précédents (des ensembles qui ne sont pas compacts et sur lesquels l'énoncé précédent ne fonctionne plus, que ce soit en dim finie ou bien en dim infinie).
(Ex : Dans L^2 l'ensemble des suites de carré sommable, la suite des e_n est bornée mais n'a aucune valeur d'adherence).

Ah si, pour une suite (un) convergente dans un espace métrique, la réunion des un et de l est un compact.

SeismiMine a écrit:En premiers éléments je dirais le fait qu'une suite dans un espace métrique compact ayant 1 valeur d'adherence est CV.

Mes souvenirs sur la compacité sont rouillés (c'était mon sujet d'oral de l'agrégation, je n'avais pas spécialement brillé) mais je ne comprends pas ce que tu veux dire ici.

u_n= (-1)^n ne donne-t-il pas un contre-exemple sur [-1;1] ?

Une seule valeur d'adhérence. La suite que tu proposes en a deux (1 et -1).

Merci pour vos lumières.
Amicalement.

SI tu es fan de logique , tu peux parler rapidement du théorème de Tychonov et éventuellement de l'équivalence avec l'axiome du choix. Si tu es au point sur l'axiomatique ZFC ça peut le faire. Le programme se cantonne au produit FINI d'espace métrique compact .

Même si cela est évident, parler de la propriété et du théorème de Borel-Lebesgue me semble indispensable.

Avatar des Abysses a écrit:SI tu es fan de logique ,  tu peux parler rapidement du théorème de Tychonov et éventuellement de l'équivalence avec l'axiome du choix. Si tu es au point sur l'axiomatique ZFC ça peut le faire. Le programme se cantonne au produit FINI d'espace métrique compact .

Même si cela est évident, parler de la propriété et du théorème de Borel-Lebesgue me semble indispensable.

C'est pile-poil le sujet sur lequel je me suis embrouillé en réponse à une question en fin d'oral d'agreg, alors que je ressentais la fatigue d'une heure au tableau et que je sentais que je n'avais pas été aussi percutant que je l'aurais voulu, alors que normalement c'était un point que je maîtrisais à l'époque. Donc oui, ça fait partie des attendus élémentaires.

Ça m'avait coûté une meilleur note et un meilleur classement (mais l'analyse n'était de toute façon pas mon point fort).

SeismiMine a écrit:

Une fonction holomorphe (définie sur un ouvert contenant le compact K) s'annule un nombre fini de fois sur K.

Il manque non nulle ;-)
Pour rebondir sur cette remarque, elle permet de montrer que si f holomorphe sur C (ou au moins sur un ouvert non vide en passant par une suite exhaustive de compacts) vérifie les hypothèses du théorème de Corominas alors elle est polynômiale!

Il s'agit d'une leçon d'exercices d'agrégation interne, donc le programme ne va pas si loin, non ? Il y avait eu une discussion à ce sujet ici
Je vais en profiter pour me pencher sur cette leçon ce week-end !
Des ressources ici aussi

Oui, on parle de l'agreg interne, pas de l'externe. D'une leçon d'exercices pas d'un numéro de virtuose théorique. L'an dernier à l'oral, ce qui m'a coûté l'admission (d'un cheveu), c'est de ne pas l'avoir compris. J'ai complètement raté la leçon d'exercices en proposant des résultats du cours, des théorèmes, quand on attend des EXERCICES variés et faisant le tour de la question. Bon nombre des développements qui sont proposés ici, et auxquels je ne comprends pas grand chose, me semblent hors sujet, parlant de l'interne. Faut comprendre qu'avec un métier, 5 classes, 3 enfants, des activités, des responsabilités, un certain âge, une grande fatigue et des problèmes à gérer en continu, on n'est pas aussi disponible que quand on à 20 ans, qu'on est étudiant ou jeune chercheur (ce que j'ai été) et qu'on peut bosser presque toute la journée, toutes les semaines et toute l'année... Je suis la moitié des séances d'une prépa agreg interne à Nantes et les profs nous font comprendre qu'il faut mieux bien maîtriser un spectre restreint que s'aventurer dans les steppes de l'improvisation.
Ceci dit, merci pour tous ces conseils, ces avis, qui me font voyager mais parmi lesquels je me sens tenu de faire un tri.
Bon WE à tous.

toolaba a écrit:Oui, on parle de l'agreg interne, pas de l'externe. D'une leçon d'exercices pas d'un numéro de virtuose théorique. L'an dernier à l'oral, ce qui m'a coûté l'admission (d'un cheveu), c'est de ne pas l'avoir compris. J'ai complètement raté la leçon d'exercices en proposant des résultats du cours, des théorèmes, quand on attend des EXERCICES variés et faisant le tour de la question. Bon nombre des développements qui sont proposés ici, et auxquels je ne comprends pas grand chose, me semblent hors sujet, parlant de l'interne.

Bon déjà, ton message prouve que tu as déjà un bonne idée de la teneur du concours.
Outre les conseils habituels (lire les rapports du jury , mais il semble que tu l'ai dejà fait), je te dirais d'allier voir sur le forum des maths.net, c'est plus pointu sur ces questions qu'ici.

Je crois que c'est une démarche qui déjà été faite, mais sur ce site, on a aussi bien souvent des suggestions qui sont à un trop haut niveau pour "nous". Je vais aller dans le sens de toolaba, puisque je suis dans la même situation... Pour moi, le but est "juste" de se construire une leçon qui montre que l'on a compris pour pouvoir répondre aux attentes du jury et avoir une note qui permette de valider le travail fourni. L'an passé, pour le premier oral, je suis ressortie en me disant que je n'avais vraiment dit que des choses de base mais avec un plan personnel, mais j'ai répondu aux questions (de base également, c'est à dire que ça ne dépassait concrètement pas les définitions et applications directes, pour la leçon sur l'utilisation des nombre complexes en géométrie). Je pensais avoir tout juste la moyenne et j'ai eu 14.

A l'oral 2, j'ai par contre eu 5 parce que je n'ai pas réussi à faire quelques chose de simple qui respectait les critères du format de l'oral ( et avec 7, j'aurais été admise...)

Il y a aussi un groupe FB où on peut croiser d'autres collègues, mais le groupe est "mixte", interne et externe...

Ma préparation date d'il y a très très longtemps mais il me semble qu'on peut glisser dans ce genre de leçons des contre-exemples où les propriétés sont fausses parce que l'ensemble n'est pas compact. (le livre de Hauchecorne peut-être)
Si on a quelques idées sur l'histoire, montrer comment l'idée s'est imposée. Référence non garantie :
https://www.amazon.fr/Nombre-mesure-continu-Jean-Dhombres/dp/2712407105