Mon CDE ne me soutient pas dans une affaire de fraude sur internet

Je donne des DM et je suis confrontée au plagiat, surtout en début d'année. J'ai stabiloté tous les emprunts et noté les sites utilisés sur la copie et je n'ai noté que ce qui était personnel dans la copie. J'ai ensuite refait une mise au point en classe, redit que j'avais internet moi-aussi et prévenu tout le monde que la prochaine fois c'était 0. J'ai contacté tous les parents des élèves concernés et demandé qu'ils signent la copie. Un parent a refusé de me croire au motif que son enfant ne ment pas alors que nous étions en réunion parents-professeurs et que je revenais sur l'incident. Je me suis tournée vers l'élève et je lui ai dit que la fois suivante il aurait 0 et que j'indiquerai sa propension à la triche sur son bulletin, ce qui serait du meilleur effet pour parcoursup. Je ne sais pas si le CDE me soutiendrait. Je suis nouvelle ici.
Je suis moi aussi souvent découragée devant l'énergie qu'il me faut déployer pour ces DM. Mais je continue à le faire parce que je sais que certains élèves font le travail sérieusement et que cela les nourrit intellectuellement, eux les bons élèves qui doivent déjà continuellement attendre que j'ai fini de m'occuper des pénibles. Pour ceux-là (ils étaient 4 sur 30 la dernière fois) cela vaut la peine. Ils feront des études supérieures et ils doivent prendre des habitudes de travail. Ils ne sont pas dans un super lycée et je ne veux pas que l'absence d'habitude de travail creuse encore l'écart. Et puis j'ai mis mes enfants dans le public et je serais furieuse s'ils n'ont aucun DM au lycée au prétexte que les autres élèves sont trop difficiles à contraindre.

Tout d'abord, merci à tous ceux qui ont pris la peine de me répondre et de me donner un avis / un conseil. Ainsi qu'à tous ceux qui ont relancé utilement la discussion.
Pour répondre à la questions qu'on m'avait adressée: certaines copies ont recopié des paragraphes entiers d'internet (oui, oui); d'autres ont repris des phrases, parfois de sites d'universitaires, qui n'étaient bien sûr pas comprises ("on le voit par le jeu des parallélismes et des conjonctions de subordination"). Une seule a repris des micro-analyses avec... un fait faux (l'âge de Cassandre à l'époque de "Mignonne allons voir si la rose"), ce qui m'a permis 1° de démasquer le plagiat (et l'élève l'a admis) 2° de montrer qu'internet ne détient pas la Vérité Ultime.
Dans tous les cas, ces emprunts étaient bêtes parce que non nécessaires. Je demandais juste qu'on me dise pourquoi tel poème leur avait plu / avait retenu leur attention, en me nommant un procédé. On avait vu la qualité et le genre des rimes, ainsi que quelques figures de style basique. J'avais dit que le thème du poème pouvait aussi être une réponse. Bref: de toute façon, ça ne répondait absolument pas à la question posée. En faisant ainsi, les élèves allaient au-delà du but. Donc, outre le plagiat, il y avait le respect de la consigne qui était problématique.

Je m'excuse de n'être pas revenu ici plus tôt. J'ai eu une sorte de burn-out, et j'ai fait l'huître pendant longtemps. Toutes mes excuses, vraiment. - Finalement, voilà ce qui s'est passé: j'en ai parlé à la CPE, qui... n'est pas allée dans le sens du directeur (dont je garde, oui, précieusement le message de côté). Néanmoins, j'ai préféré couper la poire en deux: les élèves qui ont triché passeront un devoir de rattrapage, similaire mais avec une exigence accrue et dans des conditions plus sévères (parce qu'un 3e devoir ne se note pas comme un premier). Néanmoins, il est bien entendu pour tout le monde que, si cela se reproduit, la sanction tombera et restera en place.
Je tiens aussi à préciser que je me suis longuement expliqué par message écrit auprès des parents. Ils se sont montrés compréhensifs. Peut-être que le fait que je suis resté poli a joué pour quelque chose.
J'ai prévenu les collègues de ma discipline des propos [modéré] du chef d'établissement. Ils ont évidemment choqué, et puis j'ai découvert qu'un collègue a effectivement fait le choix, depuis des années, de ne plus donner de DM. Je reconnais le bienfondé de cette recommandation, que vous êtes beaucoup à faire, mais j'hésite avant de franchir ce pas: les heures sont trop peu nombreuses, et la cogitation sur le long terme favorise aussi la maturation des idées. (En tout cas, j'ai encore la naïveté de le croire.)
Jusque-là, j'ai réussi à proposer des textes dont les explications n'étaient pas sur le net; mais évidemment ce n'est pas inépuisable, et puis, de possibles "devoirs tout fait par autrui à 5 euro", j'en ai effectivement vu passer...
J'ai aussi un collègue qui autorise carrément ses élèves à aller voir les analyses d'internet, pourvu qu'ils se plient à "un devoir d'expertise"... J'avoue que je trouve cette démarche peu pertinente à leur âge (mes anciens L2 n'avaient pas cette expertise!!!), injuste (ce sera donc à qui trouvera le meilleur site?), inutilement chronophage (pourquoi se limiter à un site?), nuisible au développement d'une pensée personnelle (dommage le jour du bac...), et puis éloigné de ce qu'on est censé leur (ré)apprendre: se concentrer sur une feuille, sur un texte, sans écran... sans compter que lorsqu'ils sont sur un écran (et parfois plusieurs à la fois...) ils reçoivent moult sources de distraction qui, sur le long terme, nuit à leurs capacités de concentration et d'attention. Mais bon, ce n'est que mon avis personnel.

En tout cas, merci!