[Tspé] Coplanarité de trois vecteurs

Bonjour,

je serai curieux de savoir quelle méthode vous employez pour montrer que trois vecteurs de l'espace sont (ou ne sont pas) coplanaires en utilisant leurs coordonnées dans un repère.

Personnellement, j'en vois au moins deux.

1) Si u et v sont des vecteurs non colinéaires, u, v et w sont coplanaires ssi il existe deux réels a et b tels que w=au+bv.

Donc, on peut commencer par montrer que u et v sont non colinéaires, puis écrire le système d'équation à deux inconnues a et b correspondant à au+bv=w. S'il a une solution, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.

2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O.

Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.

Je précise que je fais toujours résoudre les systèmes d'équations pasrconditions nécessaires et suffisantes, le raisonnement par équivalence me semblant trop délicat en terminale.

Le manuel que j'utilise (Indice) hésite entre les deux méthodes...Plus précisément, il donne en exemple la première pour montrer que trois vecteurs sont coplanaires, et la deuxième pour montrer qu'ils ne le sont pas. (Le manuel et la collection sont plutôt solides, mais ce chapitre aurait gagné à être clarifié et allégé. Peut-être les auteurs ont-ils manqué de temps.)

Le seconde méthode me semble plus générale, plus concise, plus élégante et mieux préparer au supérieur...mais la première me semble plus élémentaire et plus facile à relier à une vision élémentaire et intuitive de la géométrie dans l'espace. Sachant que je commence toujours pas quelques rappels de géométries dans l'espace sans repère (droites, plans, vecteurs par direction sens et norme, intersections de droites et de plan, représentation en perspective) pour donner aux élèves un minimum de représentation visuelles des objets manipulés. On souffre beaucoup du manque de pratique de la géométrie dans l'espace les années précédentes.

Dernier point je suis allé voir quelques corrigés des annales de l'APMPEP...pour me rendre compte que ce genre de question avaient disparu des sujets de bac ces dernières années. Je n'ai pas eu le courage de chercher dans les sujets plus anciens.

Comment procédez-vous ?

Je n'ai pas de spé math en terminale, donc je n'ai pas creusé la question plus que ça, mais ton point 1 est également valable si u et v sont colinéaires. L'intérêt de regarder si u et v sont colinéaires, c'est de s'économiser la suite, puis ça implique que la triplette est coplanaire.

J'utiliserais le point 1 quand on a une bonne raison de penser qu'ils sont coplanaires, de façon à s'économiser une résolution de système à 3 inconnues.

La deuxième méthode.
Parfois avec les SI on calcule le produit vectoriel des deux premiers vecteurs, puis son produit scalaire avec le troisième (le déterminant quoi).

Ensuite la première, qui permet comme tu l'as dit de poser le problème préalable (utile) de la colinéarité.

Prezbo a écrit:

Hélips a écrit:Je n'ai pas de spé math en terminale, donc je n'ai pas creusé la question plus que ça, mais ton point 1 est également valable si u et v sont colinéaires.

Non pour ce point me semble-t-il.

Si u et v sont colinéaires, pour tout vecteur w, les trois vecteurs u, v et w sont coplanaires sans qu'il soit en général possible d'écrire w sous la forme au+bv.

Euh oui, j'ai été trop vite. Je pense toujours à "l'un est combinaison des deux autres", mais ta formulation (logique, hein) spécifie w combinaison linéaire des autres. Je vais aller me coucher, ça sera plus constructif.

Hélips a écrit:Je n'ai pas de spé math en terminale, donc je n'ai pas creusé la question plus que ça, mais ton point 1 est également valable si u et v sont colinéaires. L'intérêt de regarder si u et v sont colinéaires, c'est de s'économiser la suite, puis ça implique que la triplette est coplanaire.

L'équivalence énoncée devient fausse si u et v sont colinéaires.

Dans ce cas, pour tout vecteur w, les trois vecteurs u, v et w sont coplanaires sans qu'il soit en général possible d'écrire w sous la forme au+bv.

(Par contre la réciproque, w=au+bv implique u,v et w coplanaires reste vraie même si u et v colinéaires, ce qui peut effectivement suffire à montrer une coplanarité.)

J'utiliserais le point 1 quand on a une bonne raison de penser qu'ils sont coplanaires, de façon à s'économiser une résolution de système à 3 inconnues.

C'est peut-être l'idée sous-jacente dans le manuel que j'utilise...Mais du coup la présentation est un peu confuse, cette méthode n'étant présentée qu'en exercice et mélange des deux approches pouvant un peu embrouiller.

[Edit] message effacé pour être modifié et complété, mais en attendant Helips avait répondu à la première version. Bon, il est tard, je vais me coucher aussi.

Pour l'étude de la coplanarité de trois vecteurs, j'ai opté pour la méthode 1 que je trouve aussi plus facile à relier à la visualisation des configurations ; j'utilise aussi cette méthode pour montrer que trois vecteurs forment une base de l'espace.
La méthode 2 est plus efficace et prépare à la notion d'indépendance linéaire qui sera vue dans le supérieur, mais elle repose sur une implication qui risque de ne pas être comprise à ce niveau si on n'a pas le temps de travailler suffisamment la notion de combinaison linéaire en amont ; et puis je crois que mes élèves ne sauraient pas correctement interpréter la résolution d'un système qui donne soit une unique solution triviale soit une infinité de solutions.

Pour les systèmes, je travaille par équivalence en privilégiant la substitution que je trouve plus simple à expliquer (l'équivalence me semble plus facilement perceptible) mais, encore une fois, on paie la disparition d'un chapitre technique qui aurait installé les prérequis calculatoires. Plus globalement, la géométrie dans l'espace en Terminale cumule les lacunes des programmes antérieurs : quasiment aucun travail sur les configurations, un survol indigent des systèmes linéaires, un calcul vectoriel bâclé dans le plan...

Alors qu'à la toute première lecture, le nouveau programme pouvait paraître plus cohérent que le précédent, à l'usage, je trouve qu'il n'a presque pas corrigé les défauts antérieurs et, excepté l'appréciable suppression de probabilités continues qui n'avaient rien à faire ici, il manque de cohérence car il n'a pas rétabli une réelle progressivité des notions, certains prérequis qui avaient disparu au fil des réformes n'ont pas été explicitement rétablis à leur place et les attendus finaux restent trop vagues.

Les manuels et les annales de l'APMEP ne seront pas d'un très grand secours pour ce genre d'exercice qui avait disparu en pratique et pour lequel on ne peut donc se baser sur aucune "jurisprudence" liée à l'habitude et où chacun est amené à faire son petit bricolage personnel ; ce chapitre nécessiterait un cadrage beaucoup plus précis afin d'éviter que nous partions tous dans des directions différentes mais il est lui-même très confus puisqu'il évoque la notion d'indépendance linéaire en préambule de cette partie sans qu'elle ne soit citée dans les contenus ou les capacités attendues.

Moonchild a écrit: je crois que mes élèves ne sauraient pas correctement interpréter la résolution d'un système qui donne soit une unique solution triviale soit une infinité de solutions..

C'est pourtant un point crucial, qui s'interprète directement en termes de position relative, et qui fait le lien entre l'aspect géométrie pure et l'aspect algébrique je trouve. C'est intéressant de passer un peu de temps là-dessus, non ?

ben2510 a écrit:

Moonchild a écrit: je crois que mes élèves ne sauraient pas correctement interpréter la résolution d'un système qui donne soit une unique solution triviale soit une infinité de solutions..

C'est pourtant un point crucial, qui s'interprète directement en termes de position relative, et qui fait le lien entre l'aspect géométrie pure et l'aspect algébrique je trouve. C'est intéressant de passer un peu de temps là-dessus, non ?

Avec mon public, ce serait un tel luxe que ça deviendrait une pure perte de temps vu que les points cruciaux à travailler sont en amont. Il y a quelques années, un collègue s'est risqué à tenter la définition "les vecteurs u, v et w sont coplanaires ssi il existe des réels a, b et c non tous nuls tels que au+bv+cw=0" et il en vite revenu car les élèves n'y comprenaient rien.

En gribouillant une figure au tableau, la relation w=au+bv permet de visualiser plus facilement la combinaison linéaire que l'écrire sous la forme au+bv+cw=0 qui pousse un cran plus loin en terme de généralisation (visualiser une somme nulle de trois vecteurs ne fait plus partie des "automatismes" des élèves de Terminale, alors si on y ajoute des coefficients). La méthode 1, bien que plus lourde, est celle qui permet d'appréhender le plus simplement la configuration et je serais déjà content si mes élèves arrivaient à l'appliquer correctement ; ajouter la méthode 2 entraînerait de multiples confusions supplémentaires.

Concernant les systèmes, les élèves ont beaucoup de mal à gérer le cas où il y a une infinité de solutions même avec simplement deux inconnues (ce n'est pas très surprenant, au départ c'est plutôt perturbant de se dire qu'on peut donner n'importe quelle valeur à l'une des inconnues mais qu'ensuite les autres en découlent) et, dans le cas présent, je ne vois pas d'interprétation en termes de position relative qui serait considérée comme "directe" par un élève ordinaire de mon lycée.

Bonjour,
j'ai une autre méthode mais je sais pas trop ce qu'elle vaut :
j'identifie les 3 vecteurs à des points A,B,C du plan , je vérifie au passage qu'ils ne sont pas alignés, puis je détermine l'équation cartésienne du plan (ABC).
Ensuite je vérifie si le point 0 appartient à ce plan ou pas

Cela se rapproche en fait de la méthode 2: si O appartient au plan, alors au+bv+cw=0 où (a,b,c) sont les coordonnées barycentriques de O dans (ABC).
Réciproquement, si au+bv+cw=0 avec a,b,c non tous nuls, alors soit a+b+c=0 et A, B et C sont alignés dans ta procédure, soit (a,b,c) sont des coordonnées barycentriques de O dans le plan (ABC).

Bon maintenant on doit pouvoir abstraire le barycentre , vu que ce n'est plus au programme depuis ??? années !

Moonchild a écrit:

ben2510 a écrit:

Moonchild a écrit: je crois que mes élèves ne sauraient pas correctement interpréter la résolution d'un système qui donne soit une unique solution triviale soit une infinité de solutions..

C'est pourtant un point crucial, qui s'interprète directement en termes de position relative, et qui fait le lien entre l'aspect géométrie pure et l'aspect algébrique je trouve. C'est intéressant de passer un peu de temps là-dessus, non ?

Avec mon public, ce serait un tel luxe que ça deviendrait une pure perte de temps vu que les points cruciaux à travailler sont en amont. Il y a quelques années, un collègue s'est risqué à tenter la définition "les vecteurs u, v et w sont coplanaires ssi il existe des réels a, b et c non tous nuls tels que au+bv+cw=0" et il en vite revenu car les élèves n'y comprenaient rien.

En gribouillant une figure au tableau, la relation w=au+bv permet de visualiser plus facilement la combinaison linéaire que l'écrire sous la forme au+bv+cw=0 qui pousse un cran plus loin en terme de généralisation (visualiser une somme nulle de trois vecteurs ne fait plus partie des "automatismes" des élèves de Terminale, alors si on y ajoute des coefficients). La méthode 1, bien que plus lourde, est celle qui permet d'appréhender le plus simplement la configuration et je serais déjà content si mes élèves arrivaient à l'appliquer correctement ; ajouter la méthode 2 entraînerait de multiples confusions supplémentaires.

Concernant les systèmes, les élèves ont beaucoup de mal à gérer le cas où il y a une infinité de solutions même avec simplement deux inconnues (ce n'est pas très surprenant, au départ c'est plutôt perturbant de se dire qu'on peut donner n'importe quelle valeur à l'une des inconnues mais qu'ensuite les autres en découlent) et, dans le cas présent, je ne vois pas d'interprétation en termes de position relative qui serait considérée comme "directe" par un élève ordinaire de mon lycée.

Je comprends bien.
A l'époque où les systèmes étaient au programme de troisième, y compris leur interprétation géométrique incluant donc le tracé d'une droite à partir d'une équation cartésienne ax+by=c, on avait le temps de traiter les deux cas dégénérés où les droites étaient parallèles (confondues ou pas), même si tout le monde ne le faisait pas (cette fichue volonté de ne traiter que les cas "où ça marche" sans mettre en évidence les limites d'une méthode ou plutôt les cas limites).

Ceci dit je maintiens que l'équivalence intersection<=>système (essentiellement l'accolade est un "et") est centrale au lycée, p.ex pour la lecture graphique des solutions d'une équation de la forme f(x)=k en seconde dans mon lycée nous faisons tracer la droite y=k, en ramassant le sujet pour vérifier (avec les 0,25pt qui vont bien dans le barème).

En tout cas c'est toujours un moment de franche rigolade avec les terminales quand je me mets à crier "intersection" et que les élèves que j'ai eu en seconde ou première répondent en hurlant "système". Pour le coup c'est tellement ancré que le lien nombre de solutions (0,1, une infinité)/ position relative passe assez bien.

Tout dépend bien sûr des élèves qu'on a et des réflexes qui ont pu être mis en place les années précédentes.

Je suis dans ce chapitre, je n'ai pour le moment utilisé que la première méthode qui me parait plus simple, (et ils déjà du mal avec un système à deux inconnues), je ferais la deuxième à la rentrée.

nounours22 a écrit:Bon maintenant on doit pouvoir abstraire le barycentre , vu que ce n'est plus au programme depuis ??? années !

Une petite dizaine: je les ai fait lorsque j'étais élève avec les programmes précédant la réforme Châtel.
De toute façon, ces propos s'adressaient bien sûr aux Néos plutôt qu'aux élèves: même lorsque j'étais élève, les barycentres étaient certes au programme mais pas les coordonnées barycentriques.

nounours22 a écrit:Bonjour,
j'ai une autre méthode mais je sais pas trop ce qu'elle vaut :
j'identifie les 3 vecteurs à des points A,B,C du plan , je vérifie au passage qu'ils ne sont pas alignés, puis je détermine l'équation cartésienne du plan (ABC).
Ensuite je vérifie si le point 0 appartient à ce plan ou pas

Ca me semble quand même peu naturel. Par ailleurs, comment fais-tu pour déterminer une équation du plan passant par trois points non alignés en restant dans le cadre du programme ? Au bac, il me semble qu'un vecteur normal au plan est systématiquement donné -ce qui donne d'ailleurs des questions assez artificielles-.

Prezbo a écrit:Bonjour,

je serai curieux de savoir quelle méthode vous employez pour montrer que trois vecteurs de l'espace sont (ou ne sont pas) coplanaires en utilisant leurs coordonnées dans un repère.

Personnellement, j'en vois au moins deux.

1) Si u et v sont des vecteurs non colinéaires, u, v et w sont coplanaires ssi il existe deux réels a et b tels que w=au+bv.

Donc, on peut commencer par montrer que u et v sont non colinéaires, puis écrire le système d'équation à deux inconnues a et b correspondant à au+bv=w. S'il a une solution, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.

2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O.

Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.

Je précise que je fais toujours résoudre les systèmes d'équations pasrconditions nécessaires et suffisantes, le raisonnement par équivalence me semblant trop délicat en terminale.

Le manuel que j'utilise (Indice) hésite entre les deux méthodes...Plus précisément, il donne en exemple la première pour montrer que trois vecteurs sont coplanaires, et la deuxième pour montrer qu'ils ne le sont pas. (Le manuel et la collection sont plutôt solides, mais ce chapitre aurait gagné à être clarifié et allégé. Peut-être les auteurs ont-ils manqué de temps.)

Le seconde méthode me semble plus générale, plus concise, plus élégante et mieux préparer au supérieur...mais la première me semble plus élémentaire et plus facile à relier à une vision élémentaire et intuitive de la géométrie dans l'espace. Sachant que je commence toujours pas quelques rappels de géométries dans l'espace sans repère (droites, plans, vecteurs par direction sens et norme, intersections de droites et de plan, représentation en perspective) pour donner aux élèves un minimum de représentation visuelles des objets manipulés. On souffre beaucoup du manque de pratique de la géométrie dans l'espace les années précédentes.

Dernier point je suis allé voir quelques corrigés des annales de l'APMPEP...pour me rendre compte que ce genre de question avaient disparu des sujets de bac ces dernières années. Je n'ai pas eu le courage de chercher dans les sujets plus anciens.

Comment procédez-vous ?

Je n'ai pas de terminale Spé maths mais après réflexion je pense que je ferais plutôt là 1).
En fait, c'est la même chose que pour colinéaire, au début je faisais là 2) mais finalement je suis revenue à la définition "classique" du lycée.
En fait, avec la 2) tu cherches à savoir si trois vecteurs u, v, w sont libres (et forment une base de l'espace du coup) et avec la 1) tu cherches à savoir si w appartient à Vect(u,v). Ce n'est pas exactement la même question. Je pense que la 1) colle davantage au programme du lycée mais rien de t'empêche de parler de la 2) si tu préfères/as le temps.

ben2510 a écrit:

Moonchild a écrit:

ben2510 a écrit:

Moonchild a écrit: je crois que mes élèves ne sauraient pas correctement interpréter la résolution d'un système qui donne soit une unique solution triviale soit une infinité de solutions..

C'est pourtant un point crucial, qui s'interprète directement en termes de position relative, et qui fait le lien entre l'aspect géométrie pure et l'aspect algébrique je trouve. C'est intéressant de passer un peu de temps là-dessus, non ?

Avec mon public, ce serait un tel luxe que ça deviendrait une pure perte de temps vu que les points cruciaux à travailler sont en amont. Il y a quelques années, un collègue s'est risqué à tenter la définition "les vecteurs u, v et w sont coplanaires ssi il existe des réels a, b et c non tous nuls tels que au+bv+cw=0" et il en vite revenu car les élèves n'y comprenaient rien.

En gribouillant une figure au tableau, la relation w=au+bv permet de visualiser plus facilement la combinaison linéaire que l'écrire sous la forme au+bv+cw=0 qui pousse un cran plus loin en terme de généralisation (visualiser une somme nulle de trois vecteurs ne fait plus partie des "automatismes" des élèves de Terminale, alors si on y ajoute des coefficients). La méthode 1, bien que plus lourde, est celle qui permet d'appréhender le plus simplement la configuration et je serais déjà content si mes élèves arrivaient à l'appliquer correctement ; ajouter la méthode 2 entraînerait de multiples confusions supplémentaires.

Concernant les systèmes, les élèves ont beaucoup de mal à gérer le cas où il y a une infinité de solutions même avec simplement deux inconnues (ce n'est pas très surprenant, au départ c'est plutôt perturbant de se dire qu'on peut donner n'importe quelle valeur à l'une des inconnues mais qu'ensuite les autres en découlent) et, dans le cas présent, je ne vois pas d'interprétation en termes de position relative qui serait considérée comme "directe" par un élève ordinaire de mon lycée.

Je comprends bien.
A l'époque où les systèmes étaient au programme de troisième, y compris leur interprétation géométrique incluant donc le tracé d'une droite à partir d'une équation cartésienne ax+by=c, on avait le temps de traiter les deux cas dégénérés où les droites étaient parallèles (confondues ou pas), même si tout le monde ne le faisait pas (cette fichue volonté de ne traiter que les cas "où ça marche" sans mettre en évidence les limites d'une méthode ou plutôt les cas limites).

Ceci dit je maintiens que l'équivalence intersection<=>système (essentiellement l'accolade est un "et") est centrale au lycée, p.ex pour la lecture graphique des solutions d'une équation de la forme f(x)=k en seconde dans mon lycée nous faisons tracer la droite y=k, en ramassant le sujet pour vérifier (avec les 0,25pt qui vont bien dans le barème).

En tout cas c'est toujours un moment de franche rigolade avec les terminales quand je me mets à crier "intersection" et que les élèves que j'ai eu en seconde ou première répondent en hurlant "système". Pour le coup c'est tellement ancré que le lien nombre de solutions (0,1, une infinité)/ position relative passe assez bien.

Tout dépend bien sûr des élèves qu'on a et des réflexes qui ont pu être mis en place les années précédentes.

Je continue à le faire avec les équations de droites en seconde moi   même si ça parle à peu d'élèves au final.

Prezbo a écrit:

nounours22 a écrit:Bonjour,
j'ai une autre méthode mais je sais pas trop ce qu'elle vaut :
j'identifie les 3 vecteurs à des points A,B,C du plan , je vérifie au passage qu'ils ne sont pas alignés, puis je détermine l'équation cartésienne du plan (ABC).
Ensuite je vérifie si le point 0 appartient à ce plan ou pas

Ca me semble quand même peu naturel. Par ailleurs, comment fais-tu pour déterminer une équation du plan passant par trois points non alignés en restant dans le cadre du programme ? Au bac, il me semble qu'un vecteur normal au plan est systématiquement donné -ce qui donne d'ailleurs des questions assez artificielles-.

Tu peux calculer les coordonnées de deux vecteurs du plan (ABC) par exemple AB et AC. Comme ton vecteur normal doit être orthogonal à ces deux vecteurs, ça te donne un petit système de 2 équations à 3 inconnues. Tu résous en fixant la valeur d'une inconnue et tu obtiens un vecteur normal au plan (ABC). Je n'ai jamais testé avec des élèves (et il y a surement des meilleurs méthodes) mais ça me parait faisable.

Pour l'équation du plan , je place les points dans geogebra 3D , et en contrepartie il me donne l'équation.
Si maintenant je veux les détails , j'utilise le programme super espace de la ti nspire , j'entre les 3 points puis je recopie l'écran

nounours22 a écrit:Pour l'équation du plan , je place les points dans geogebra 3D , et en contrepartie il me donne l'équation.
Si maintenant je veux les détails , j'utilise le programme super espace de la ti nspire , j'entre les 3 points puis je recopie l'écran

Je suppose qu'il s'agit d'humour ?

oui c'est du degré 3 !

AmyR a écrit:

Prezbo a écrit:

nounours22 a écrit:Bonjour,
j'ai une autre méthode mais je sais pas trop ce qu'elle vaut :
j'identifie les 3 vecteurs à des points A,B,C du plan , je vérifie au passage qu'ils ne sont pas alignés, puis je détermine l'équation cartésienne du plan (ABC).
Ensuite je vérifie si le point 0 appartient à ce plan ou pas

Ca me semble quand même peu naturel. Par ailleurs, comment fais-tu pour déterminer une équation du plan passant par trois points non alignés en restant dans le cadre du programme ? Au bac, il me semble qu'un vecteur normal au plan est systématiquement donné -ce qui donne d'ailleurs des questions assez artificielles-.

Tu peux calculer les coordonnées de deux vecteurs du plan (ABC) par exemple AB et AC. Comme ton vecteur normal doit être orthogonal à ces deux vecteurs, ça te donne un petit système de 2 équations à 3 inconnues. Tu résous en fixant la valeur d'une inconnue et tu obtiens un vecteur normal au plan (ABC). Je n'ai jamais testé avec des élèves (et il y a surement des meilleurs méthodes) mais ça me parait faisable.

Dans la même veine il y a encore plus direct: poser l'équation ax+by+cz+d=0, écrire que A, B et C appartiennent au plan et résoudre le système homogène d'inconnues a, b, c et d. Il me semble d'ailleurs que c'est encore une méthode classique lorsque l'on fait de même avec une équation réduite de droite…