Etude de suites récurrentes

Bonjour.
Dans le nouveau programme de terminale spécialité mathématiques , il est indiqué :
"Pour une fonction continue f d’un intervalle dans lui-même, étudier une suite définie par une relation de récurrence u_n+1=f(u_n)."
Est ce que dans le terme étudier une suite, les élèves doivent savoir retrouver, une fois prouvé l'existence par un théorème de convergence,  la limite l de la suite en résolvant l'équation l = f(l) ou bien la limite ne sera que conjecturée ? J'hésite à mettre la méthode dans le cours et cela me permettrait de gagner 10 minutes sur un programme déjà bien chargé.
Merci.

l=f(l) n'est pas bien difficile à appréhender il me semble, c'est une bonne occasion de refaire un peu de calcul à mon avis. Je gagnerais plutôt du temps ailleurs.

Il faut avoir fait la continuité par contre. Ou bien reparler du point fixe une fois la continuité définie et travaillée.

floflo1010 a écrit:Bonjour.
Dans le nouveau programme de terminale spécialité mathématiques , il est indiqué :
"Pour une fonction continue f d’un intervalle dans lui-même, étudier une suite définie par une relation de récurrence u_n+1=f(u_n)."
Est ce que dans le terme étudier une suite, les élèves doivent savoir retrouver, une fois prouvé l'existence par un théorème de convergence,  la limite l de la suite en résolvant l'équation l = f(l) ou bien la limite ne sera que conjecturée ? J'hésite à mettre la méthode dans le cours et cela me permettrait de gagner 10 minutes sur un programme déjà bien chargé.
Merci.

A partir du moment où il est précisé que la fonction f est continue, je pense qu'il est fortement implicite qu'il faut donner aux élèves le résultat selon lequel si (u_n) converge, la limite est une solution de l'équation f(l)=l, et utiliser ce résultat pour trouver la limite dans des exemples donnés. S'il y a au bac une étude de suites de ce type, je doute que l'exercice débouche sur autre chose que l'exploitation de ce théorème.

Pour ce qui est du temps, le problème me semble moins d'énoncer le théorème ce qui se fait en quelques minutes, que de l'utiliser sur des exemples, où nous nous heurterons aux limites des élèves en calcul algébrique quand il faudra résoudre l'équation f(l)=l. Mais je ne vois vraiment pas comment faire autrement.

Théorème du point fixe à mettre dans le cours des fonctions après la continuité.
Il faut vérifier que I est stable par f (après avoir étudié les variations) et que u(0) est dans I pour que la suite soit bien définie. Prouver ensuite que u converge (avec th. de la limite monotone). Comme f continue sur I, la limite de u est un point fixe de f .

Une question au passage : est-il bien légitime d'appeler ce résultat "théorème du point fixe" ? Il me semble que les théorèmes du point fixe (multiples versions) sont plutôt des théorèmes donnant des conditions suffisantes de convergence de la suite (u_n).

En terminale, tout au plus peut-on dire qu'un réel vérifiant f(l)=l est un point fixe de la fonction f.

D’accord avec Prezbo. C’est bien que ce soit revenu de manière propre. C’était déjà dans les sujets de bac mais sans définition de la continuité. Vous en êtes où? Aux vacances j’aurais fini une partie des suites (dans th de convergence ni q exposant n), le dénombrement (rien à caler du document de rentrée qui parlait de faire la loi binomiale avant, écrit par des personnes différentes que celles qui ont écrit le pg donc forcément incohérent...) et les vecteurs de l’espace (avec repérage et positions relatives de droites et de plans).

Je n'ai pas de Tale, mais ma grande est en Tale et son prof aura fait dénombrement, toutes les suites et espace.

Avec repères? J’en serais à peu près là si je n’avais pas passé quatre heures à mettre les points sur les i, en parcourant le manuel et comment s’en servir, en montrant des sujets de TS (j’ai fait les questions faisables en sortie de 1ère pour leur montrer qu’ils ne savaient rien faire (exponentielle est aux abonnés absents) et qu’ils avaient du boulot. J’ai mis mon cours de 1G sur l’ENT et leur ai dis que le temps ne me permettait pas de retraiter l’exponentielle. A mon avis tous ce « temps perdu » a été bénéfique car j’ai une classe au taquet depuis le début, tous les exos sont faits par 90 %. Si je tiens le rythme j’espère faire une semaine de révisions. Je gagne aussi beaucoup de temps en me contentant de projeter le cours que je mets sur l’ENT (même pas de perte de temps à refiler les polys). Évidemment aucun approfondissement, histoire des maths et exemple d’algo du programme (même si je fais des ex python parfois). Les démos je les explique de manière magistrale au videoproj ça suffit largement. Le reste : exos et eval (deja cinq, sixième vendredi)

Je ne sais pas, je te dirai ça en fin de semaine ... je suis ça de loin !
En algo, ils ont repris les bases car certains n'en n'avaient jamais fait et personne n'avait fait les listes.

J'ai terminé tout le cours des suites sauf trouver la limite d'une suite récurrente (point fixe).
J'ai déjà fait toutes les opérations sur les limites, donc ça devrait aller un peu plus vite dans les fonctions.

En géométrie je n'ai rien fait. En dénombrement, je fais les combinatoires cette semaine (6h max) et j'attaque les fonctions à la rentrée.

Par contre je fais écrire tout le cours. Ca me semble indispensable. J'ai passé pas mal de temps sur les définitions suites convergentes/divergentes vers infini.

J'ai demandé des démonstrations de cours dans les interros. J'ai 2 évals de une heure et 1 de deux heures.

Il y a déjà un fil sur le sujet, peut-être la discussion sur notre point d'avancement y serait mieux :

https://www.neoprofs.org/t129499p25-specialite-maths-en-terminale-generale

En ce qui me concerne, j'ai traite récurrence et suites (avec les limites, mais sans parler du point fixe), dénombrement, et je commence à peine les limites de fonctions. Clairement, je suis en retard. J'ai pris le temps de faire les choses correctement et insistant sur la compréhension, et je vais devoir faire ce que je ne fait d'habitude qu'avec réticence, projeter une partie du cours et me concentrer sur les applications. Mais je sens aussi que dès que je vais accélérer, je vais larguer toute une partie de la classe, trop fragile ou trop dilettante. De toute manière, finir avant la mi-mars, même sans parler de révisions, va être mission impossible.

Notes du premier gros DS très mitigées, mais j'avais peut-être mis un sujet trop délicat d'emblée, il va falloir que je rectifie le tir.

Quand vous parlez dénombrement, vous faites aussi les combinatoires et tous les exos techniques avec factorielles ?

Oui. Pour les exos techniques avec factorielle j’en ai fait très peu. Une récurrence, un programme Python et basta. De toute manière ce chapitre est peu évalué à l’examen en théorie.

Pour ce qui est du cours à noter c’est un éternel débat. Je suis convaincu que c’est mieux... si on a 10h semaine pour le même programme. Pour moi ça reste la meilleure solution compte tenu des contraintes actuelles. Ma collègue fait pire que moi : elle met le cours sur l’ENT en mettant aussi des liens vidéos vers Yvan Monka et ne fais rien du tout en classe niveau cours. Classe inversée totale et donc plus d’exercices. Je ne suis pas pour tomber dans cet excès non plus car pour moi il y a des implicites dans le cours qui méritent d’être clarifiés à l’oral.

Proton a écrit:Quand vous parlez dénombrement, vous faites aussi les combinatoires et tous les exos techniques avec factorielles ?

Je ne sais pas ce que tu appelles "exo technique"...Mais j'ai défini les factorielles, les combinaisons de k éléments parmi n avec calcul à la main sur les cas simples et formule générale, démontré les propriétés élémentaires des combinaisons et montré en application le triangle de Pascal, puis donné quelques exemples du type "combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 32" ...Peu d'exemples et uniquement des applications directes du cours car ce chapitre sera peu évalué, mais il me semble que ce sera utile au moment de la loi binomiale pour déterminer le nombre de manières d'avoir k succès parmi n tirages.

Merci pour vos réponses.
Une autre question pendant que je suis dans ce thème. Est ce que vous faîtes construire "à la main" une suite définie par récurrence ou uniquement visuellement à la calculatrice ? Quand je parle de construction à la main, je sous entends tracer la courbe représentative de f et la première bissectrice placer u(0) puis construire u(1) , u(2) etc.

Sur mes poly d'exos je donne le repère + courbe de f et axe symétrie.  Je ne fais pas tracer de courbes (soigneusement) ... à mon grand regret ... je me souviens quand j'étais élève, je m'explosais les yeux sur le papier millimétré pour faire un travail précis C'était une forme de satisfaction que de réussir un beau tracé.

J'ai tenté une fois ... les courbes étaient horribles, aucun soin :/

Prezbo a écrit:

Proton a écrit:Quand vous parlez dénombrement, vous faites aussi les combinatoires et tous les exos techniques avec factorielles ?

Je ne sais pas ce que tu appelles "exo technique"...Mais j'ai défini les factorielles, les combinaisons de k éléments parmi n avec calcul à la main sur les cas simples et formule générale, démontré les propriétés élémentaires des combinaisons et montré en application le triangle de Pascal, puis donné quelques exemples du type "combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 32" ...Peu d'exemples et uniquement des applications directes du cours car ce chapitre sera peu évalué, mais il me semble que ce sera utile au moment de la loi binomiale pour déterminer le nombre de manières d'avoir k succès parmi n tirages.

Des  suites, des raisonnements par récurrence avec factorielles ? Tu as démontré le binôme de Newton ?

Une fois, ce n'est pas assez.
Toutes les semaines, c'est bien.

Personnellement, je donne les constructions à faire à la main (mais sur des suites AG, ce qui limite la difficulté du tracé !).
Par contre ce n'est pas en première ce genre de constructions ?

Depuis que je suis au lycée, je n'ai jamais vraiment vu de collègues faire tracer des courbes sur papier millimétré ... je me demande même si on en utilise encore en PC !  :-/

Tant mieux si tu as le temps de le faire ...

Oui en 1ère, on fait ces constructions mais ça reste limité car ils ont déjà la courbe de la fonction. Si je devais leur demander de tout faire, j'y passerais 2 heures !

Le genre de devoir hebdomadaire que je donne en seconde.

Proton a écrit:
Des  suites, des raisonnements par récurrence avec factorielles ? Tu as démontré le binôme de Newton ?

Non. J'ai démontré par des raisonnement combinatoires les formules du type (n+1 k+1)=(n k+1)+(n k), et en exercice, j'attends surtout qu'ils sachent distinguer un k-uplets, un k-uplets d'éléments distincts et une combinaison.

Pour l'instant, sur un exercice du type (je simplie) on dispose de 8 boules dans une urne, numérotées de 1 à 8.

1) On tire 5 boules successivement, avec remise. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2) On tire 5 boules successivement, sans remise. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
1) On tire 5 boules simultanément. Combien y a-t-il de tirages possibles ?

J'ai, à chaque question, de façon a peu près aléatoire, les réponses 8 (parce qu'il y 8 boules), 5 (parce qu'on en tire 5), 8^5, 5^8, 8!, 5! et même 8/5 (parce qu'ils prononcent le coefficient binomial "8 sur 5", puis confondent avec une fraction).

Les problèmes sont connus : manque de lecture et d'analyse de l'énoncé, manque de lecture du cours, manque de réflexion et de modélisation de la situation, et conséquence du tout, une tendance à piocher quelques valeurs numériques dans l'énoncé et à répondre en prenant au hasard une formule du cours. En bonus, certains protestent avec véhémence quand on leur dit que ce n'est pas bon, puisque c'était dans le cours.

Bon, c'est le début d'année, ils ne sont pas habitués à ce genre de situation, et ça reste des terminales générales et pas des secondes, certains (pas tous) finissent par progresser et comprendre...

C'est difficile le dénombrement...
Tu leur fais commencer la liste des possibilités ?
Sur des petites valeurs des paramètres, ça peut être pas mal.

Sinon d'expérience, pour les exos du type "nombre de mains de 5 cartes avec au moins un valet ou un pique", faire imaginer une procédure qui permet d'énumérer tous les cas possibles aide parfois des élèves.

ben2510 a écrit:C'est difficile le dénombrement...
Tu leur fais commencer la liste des possibilités ?
Sur des petites valeurs des paramètres, ça peut être pas mal.

Sinon d'expérience, pour les exos du type "nombre de mains de 5 cartes avec au moins un valet ou un pique", faire imaginer une procédure qui permet d'énumérer tous les cas possibles aide parfois des élèves.

Oui, je fais ce genre de chose, mais le problème reste le même : il ne faut pas se laisser piéger et passer trop de temps sur ce chapitre. Surtout si c'est justement, difficile, intéressant, et au passage bien plus appliqué que certains problèmes pseudo-concrets à la mode ces dernières années.

Proton a écrit:Depuis que je suis au lycée, je n'ai jamais vraiment vu de collègues faire tracer des courbes sur papier millimétré ... je me demande même si on en utilise encore en PC !  :-/

J'ai essayé l'année dernière en seconde (TP SPC) mais c'était laborieux pour eux, surtout lorsqu'il fallait qu'ils choisissent leurs échelles.
Et les nouveaux programmes semblent le délaisser au profit de l'utilisation du serpent vert.
Le millimétré était inclus directement dans l'énoncé du TP à l'aide de 3 commandes grid de TikZ (pas de 1mm, 5mm et 1cm).

ben2510 a écrit:Une fois, ce n'est pas assez.
Toutes les semaines, c'est bien.

Personnellement, je donne les constructions à faire à la main (mais sur des suites AG, ce qui limite la difficulté du tracé !).
Par contre ce n'est pas en première ce genre de constructions ?

Mais tracer une droite n'est pas si évident que ça pour mes élèves de Terminale !
Et même en admettant que ça limite un peu la difficulté du tracé, ça complique l'application de la méthode puisqu'il y a davantage de risques de confondre la courbe de la fonction avec la droite d'équation y=x : mes élèves font souvent la manipulation dans un ordre incorrect (axes des abscisses --> droite d'équation y=x --> courbe de la fonction...).

Sinon, ces constructions peuvent effectivement être vues en Première mais, dans mon lycée, cela fait plusieurs années que nous avons dû y renoncer faute d'avancer assez vite (je crois avoir été le dernier à baisser les bras) ; du coup nos élèves découvrent ça en Terminale.

Prezbo a écrit:

Proton a écrit:Quand vous parlez dénombrement, vous faites aussi les combinatoires et tous les exos techniques avec factorielles ?

Je ne sais pas ce que tu appelles "exo technique"...Mais j'ai défini les factorielles, les combinaisons de k éléments parmi n avec calcul à la main sur les cas simples et formule générale, démontré les propriétés élémentaires des combinaisons et montré en application le triangle de Pascal, puis donné quelques exemples du type "combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 32" ...Peu d'exemples et uniquement des applications directes du cours car ce chapitre sera peu évalué, mais il me semble que ce sera utile au moment de la loi binomiale pour déterminer le nombre de manières d'avoir k succès parmi n tirages.

J'ai l'impression que c'est en quelque sorte un faux retour du dénombrement : sur le papier, ce chapitre est ambitieux jusqu'à en être déraisonnable compte tenu des prérequis des élèves (c'est une très mauvaise idée d'aborder le dénombrement en introduisant un formalisme ensembliste que les élèves n'ont jamais rencontré et qui va leur paraître complètement déconnecté des exercices d'application) mais, concrètement, on ne va se concentrer que sur la définition des factoriels et sur les coefficients binomiaux en vue de la loi du même nom. Actuellement, j'en suis rendu à chercher un moyen de traiter le cas de ces coefficients en une ou deux heures grand maximum (ce qui sera insuffisant avec un public qui n'a aucune capacité d'abstraction).

chmarmottine a écrit:Je ne sais pas, je te dirai ça en fin de semaine ... je suis ça de loin !
En algo, ils ont repris les bases car certains n'en n'avaient jamais fait et personne n'avait fait les listes.

Ah oui, il faudra aussi qu'on parle des listes qui font partie de nos impasses de Première.
C'est complètement idiot d'ajouter une notion reposant avant tout sur la connaissance de la syntaxe du Fourchelangue langage Python qui n'est pas très naturelle : si on s'en tenait à l'algorithmique, je trouverais plus intuitif d'utiliser une notation du genre u[k+1]=2*u[k]+3 plutôt qu'un u.append(2*u[k]+3).

Sinon, dans mon bahut, on est plus à la bourre que tout ce que j'ai pu lire ici (les élèves sont dramatiquement lents et on a perdu l'équivalent de deux semaines à cause des cafouillages de rentrée) : arrivés aux vacances on aura simplement fait les rappels sur les suites avec la récurrence( mais sans les limites) et les rappels sur la dérivation avec, comme nouveautés, uⁿ, exp(u) et la dérivée seconde ; pas de dénombrement, ni d'espace et encore moins de limites de fonctions.