[Maths] L'avis des collègues en lycée ?

VinZT a écrit:À moins de raisonner par équivalences, et de les écrire …

Ça, je leur explique que c'est à faire avec des pincettes, et uniquement s'ils sont sûrs d'avoir bien compris ce qu'est une équivalence et comment ça se rédige. Et que ça nécessite une conclusion "écrite", claire, du genre "cette égalité est toujours vraie, donc on a bien f(x)=g(x) pour tout x"
On en est à un stade où même chez les TS, je leur déconseille de rédiger par équivalence pour ce genre de question...

Ljubljana Laibach a écrit:La démonstration que j'adorais faire mais qui est totalement hors programme maintenant c'est cos2 +sin2 =1. Celle-ci, tu obtiens un résultat que tu n'envisageais pas.

Effectivement, je n'y avais pas pensé spontanément mais c'est le genre de démonstration qui me paraît utile car le résultat obtenu n'est pas une évidence et sa preuve reste plutôt accessible donc ça permet de bien illustrer la démarche de démonstration sans que le côté technique ne provoque un blocage complet.

Pat B a écrit:Le souci c'est justement que pour prouver que deux expressions sont égales, une partie de mes élèves part de l'égalité et que je dois leur rabâcher qu'on ne doit jamais partir de ce qu'on veut prouver (je rajoute que que soit on part de l'une pour arriver à l'autre, soit on transforme les deux, séparément, pour vérifier qu'on obtient bien la même chose... mais pour certains c'est apparemment la première fois qu'on leur dit)

Je fais souvent le même constat et, en réalité, je pense que ça ne leur a jamais été proprement enseigné. Vu que le calcul algébrique au collège est réduit à sa portion congrue et est généralement traité "en situation", les exercices où on demande aux élèves de démontrer une égalité entre deux expressions font sans doute finalement l'objet d'un saupoudrage sans que la méthode soit formalisée. Ensuite, au lycée, on ne pense pas à revenir là-dessus car on s'imagine que ça a été vu au collège.
D'ailleurs, je me demande si le savoir-faire "démontrer une égalité entre deux expressions algébriques" fait encore partie de ce qui est explicitement listé dans les programmes officiels du collège.

Pat B a écrit:

VinZT a écrit:À moins de raisonner par équivalences, et de les écrire …

Ça, je leur explique que c'est à faire avec des pincettes, et uniquement s'ils sont sûrs d'avoir bien compris ce qu'est une équivalence et comment ça se rédige. Et que ça nécessite une conclusion "écrite", claire, du genre "cette égalité est toujours vraie, donc on a bien f(x)=g(x) pour tout x"  
On en est à un stade où même chez les TS, je leur déconseille de rédiger par équivalence pour ce genre de question...

Je passe complètement sous silence ce type de rédaction par équivalence qui est terriblement casse-gueule et risque d'accentuer les confusions chez des élèves qui peinent déjà à distinguer les hypothèses de la conclusion. Si certains élèves proposent une telle rédaction (merci les profs particuliers !), je les dissuade d'y avoir recours... d'autant plus que, pour les égalités qui sont à démontrer jusqu'en TS, une rédaction par équivalence est inutilement lourde et, à mon avis, très inesthétique.

Pat B a écrit: Il faut absolument qu'ils avaient une notion de ce qu'est une démonstration, de ce que signifie "démontrer". Pas obligatoirement rédigé sous forme formalisée type "je sais que, propriété, donc on conclut". Mais au moins qu'ils soient capables de dire : ABCD a ses diagonales de même milieu et même longueur donc c'est un rectangle. Qu'ils sachent qu'on part de ce qu'on sait et qu'on utilise les propriétés du cours pour arriver à prouver quelque chose. Il faut aussi qu'ils sachent qu'une propriété peut être vraie et sa réciproque fausse, qu'ils comprennent vraiment le sens des phrases.

Quand on dit "ABCD a ses diagonales de même milieu I et même longueur donc c'est un rectangle", c'est d'un niveau supérieur à la rédaction de base :
On sait que les diagonales [AC] et [BD] sont de même longueur et qu'elles ont le même milieu I.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et de même milieu, alors c'est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle.
Pour être capable de rédiger la version synthétique il faut être capable d'identifier les trois parties de la démonstration : hypothèses, propriété, conclusion. Donc c'est vraiment plus difficile d'obtenir une démonstration rigoureuse quand elle est courte, ce sont souvent les meilleurs qui réussissent, et on n'a plus le temps pour l'enseigner, c'est bien dommage car c'était ce que je préférais dans les démonstrations : faire des phrases courtes, claires et complètes...

Mais il est toujours dangereux de dire qu'un domaine des maths aussi fondamentale que la géométrie n'est plus aussi indispensable car on le paie toujours très cher. Une bonne maîtrise de la géométrie est toujours très utile dans des cadres qu'on n'imagine pas toujours. C'est un système de fondation invisible, plus on fait des liens plus les fondations sont solides.
Il faut rappeler même aux élèves de 3ème que pour répondre à la question : "ABC est-il rectangle ? ", on ne peut pas dire : "oui parce que ça se voit" ni "oui je l'ai vérifié à l'équerre"
Bref on travaille les différences entre les preuves et les observations, entre les "données" et les "conclusions" et la notion de réciproque. Si ce travail n'est pas fait au collège alors j'imagine que ce n'est pas naturel pour un lycéen.


C'est comme le calcul mental, en 4ème, j'essayais de faire des cours de plus en plus clairs sur les puissances, jusqu'au jour où j'ai compris que le vrai problème vient de la multiplication par 10. Nos élèves de collège n'ont plus l'aisance nécessaire pour aborder les puissances donc il faut retraivailler à fond les multiplications par 10, 100, 1000 mais c'est très chaud car cela demande normalement des années...

Depuis que nous avons lâché les systèmes à deux équations et deux inconnues, il est évident que nous envoyons au lycée des élèves qui ne sont plus au point sur les équations du 1er degré.

Avec la perte des inéquations, on ne parle même plus de "supérieur ou égal" ou bien "strictement inférieur" donc la notion d'intervalle au lycée doit demander plus de temps...

Sur les puissances, je commence par leur demander d'écrire avec tous les chiffres 67,4 millions... La moitié n'y arrive pas, non pas parce qu'ils confondent millions et milliards mais parce qu'ils ne savent pas où placer le 4.
Dans ces conditions, tu sais dès le départ que les apprentissages sur les puissances de 10 ne tiendront pas au delà du chapitre.
Avec le calcul littéral, c'est pareil, tu as beau travailler les automatismes ( équation, développement etc), vu la proportion qui ne maîtrisent pas les priorités ou confondent addition et multiplication, dès que tu sors du chapitre, le 2x+6=12 devient 8x=12, x=4...
Pas pour tous, bien heureusement, mais pour une part de plus en plus grande...
La différence essentielle entre mes élèves d'aujourd'hui et ceux d'il y a 10 ans, c'est qu'avant, quand je repartais sur des acquis antérieurs, je trouvais un acquis minimal connu de tous, là j'ai des élèves qui n'ont pas automatisé la numération décimale ou que 5*6 signifie 6+6+6+6+6 ou 5+5+5+5+5+5.

Ljubljana Laibach a écrit:Sur les puissances, je commence par leur demander d'écrire avec tous les chiffres 67,4 millions... La moitié n'y arrive pas, non pas parce qu'ils confondent millions et milliards mais parce qu'ils ne savent pas où placer le 4.
Dans ces conditions, tu sais dès le départ que les apprentissages sur les puissances de 10 ne tiendront pas au delà du chapitre.
Avec le calcul littéral, c'est pareil, tu as beau travailler les automatismes ( équation, développement etc), vu la proportion qui ne maîtrisent pas les priorités ou confondent addition et multiplication, dès que tu sors du chapitre, le 2x+6=12 devient 8x=12, x=4...
Pas pour tous, bien heureusement, mais pour une part de plus en plus grande...
La différence essentielle entre mes élèves d'aujourd'hui et ceux d'il y a 10 ans, c'est qu'avant, quand je repartais sur des acquis antérieurs, je trouvais un acquis minimal connu de tous, là j'ai des élèves qui n'ont pas automatisé la numération décimale ou que 5*6 signifie 6+6+6+6+6 ou 5+5+5+5+5+5.

Si je pinaillais (et en lien avec des discussions faites sur les mathématiques au premier degré dans un autre fil), je dirais que 5*6 signifie 6+6+6+6+6 et est égal à 5+5+5+5+5+5, c''est-à-dire 6*5.

(Pour le reste, je suis d'accord avec ton constat des difficultés des élèves venant du manque de base antérieures bien installées, et avec de nombreuses interventions faites sur ce fil. J'y reviendrais si j'ai le temps.)

C'est le contraire. Sans 5×6, 5 est le multiplicande. Non ?

Serait-il possible de ne plus enseigner ce *bip* de triangle qui permet de passer de U = RxI à I=U/R et R = U/I sans maîtriser le calcul littéral ?
Comment peut-on débarquer au lycée sans être capable de passer d'une expression à une autre ?

chmarmottine a écrit:C'est le contraire. Sans 5×6, 5 est le multiplicande. Non ?

Après vérification, tu as raison.

(Ca doit faire plus de trente ans que je n'avais pas lu le terme "multiplicande".)

Exprimer une variable en fonction d'une autre est maintenant au programme de 2de.

Prezbo a écrit:

chmarmottine a écrit:C'est le contraire. Sans 5×6, 5 est le multiplicande. Non ?

Après vérification, tu as raison.

(Ca doit faire plus de trente ans que je n'avais pas lu le terme "multiplicande".)

viens-tu de me traiter de vieille ? Un peu de respect pour les chmarmottine !non mais !

Je pensais comme Preszbo et je viens de me rendre compte que ça fait des années que je raconte des conneries. Lorsqu’il est écrit 3 * 4, je dis « 3 fois 4 » et j’expliquais quand c’était nécessaire, en stats notamment, que c’était 4 + 4 + 4 par définition. Je ne comprends pas pourquoi dans ce cas dans un calcul de moyenne pondérée on note nixi et pas xini. Finalement ça en devient un abus d’écriture. Sachant cela, ça me paraîtrait tellement plus simple que « 3 fois 4 » soit synonyme de « 3 multiplié par 4 » et soit défini par 4 + 4 + 4.

3x4 se dit "3 multiplié par 4" ou "4fois 3", 4 étant le multiplicateur et 3 le multiplicande.
4x3 c'est le contraire.
Puis 3 et 4 deviennent des facteurs quand la commutativité est bien encrée.

On pourrait inventer des parenthèses :
(3 fois) 4 = 4+4+4 et 3 (fois 4) = 3+3+3+3

Moonchild a écrit:

Pat B a écrit:

VinZT a écrit:À moins de raisonner par équivalences, et de les écrire …

Ça, je leur explique que c'est à faire avec des pincettes, et uniquement s'ils sont sûrs d'avoir bien compris ce qu'est une équivalence et comment ça se rédige. Et que ça nécessite une conclusion "écrite", claire, du genre "cette égalité est toujours vraie, donc on a bien f(x)=g(x) pour tout x"  
On en est à un stade où même chez les TS, je leur déconseille de rédiger par équivalence pour ce genre de question...

Je passe complètement sous silence ce type de rédaction par équivalence qui est terriblement casse-gueule et risque d'accentuer les confusions chez des élèves qui peinent déjà à distinguer les hypothèses de la conclusion. Si certains élèves proposent une telle rédaction (merci les profs particuliers !), je les dissuade d'y avoir recours... d'autant plus que, pour les égalités qui sont à démontrer jusqu'en TS, une rédaction par équivalence est inutilement lourde et, à mon avis, très inesthétique.

Sauf que les raisonnements par équivalence de ce type, les élèves en font déjà pour résoudre des équations. Et pour le coup, dire que l'égalité à prouver est une équation que l'on résout et qu'on trouve finalement que S=R (pour le cas à 1 variable) est un raisonnement valable.

chmarmottine a écrit:C'est le contraire. Sans 5×6, 5 est le multiplicande. Non ?

Cela dépend si on le lit « 5 fois 6 » ou « 5 multiplié par 6 ». Personnellement, je lis cela « 5 fois 6 » et cela fait de 6 le multiplicande. L'essentiel est que les PE de cycle 2 d'une école soient d'accord entre eux là-dessus, le temps d'expliquer que la multiplication est commutative.

chmarmottine a écrit:

viens-tu de me traiter de vieille ? Un peu de respect pour les chmarmottine !non mais !

Vieille, je n'irais pas jusque là, disons que le terme avait un côté mathématiques vintages.

Mathador a écrit:

chmarmottine a écrit:C'est le contraire. Sans 5×6, 5 est le multiplicande. Non ?

Cela dépend si on le lit « 5 fois 6 » ou « 5 multiplié par 6 ». Personnellement, je lis cela « 5 fois 6 » et cela fait de 6 le multiplicande. L'essentiel est que les PE de cycle 2 d'une école soient d'accord entre eux là-dessus, le temps d'expliquer que la multiplication est commutative.

C'est une des raison pour laquelle il faut commencer par mettre les unités dans les opérations.

Dans 5cm×6 (qui est égal à 30cm, comme chacun sait sauf ceux de mes secondes qui pensent que cela fait 11cm), 5cm est le multiplicande.
Mais dans 5×6cm (qui est aussi égale à 11cm d'après les mêmes élèves), c'est 6cm.

=> le multiplicande porte l'unité.

http://michel.delord.free.fr/rb/rb-calcul2005.pdf

reste ici une question d'usage : traditionnellement on dit cinq fois quatre pommes, et l'on écrit
4? × 5 (4 pommes multiplié par 5). le mieux est de se conformer aux usages pour des raisons
pratiques. Une interprétation formalisée, si nécessaire, viendra plus tard.

Pat B a écrit:Les cas d'égalité des triangles, effectivement, ce n'est pas vital. Mais les démonstrations touchant aux quadrilatères me semblent importantes, en revanche (et non calculatoires). Et les démonstrations "calculatoires" du lycée utilisent aussi des connaissances non calculatoires (propriétés et définitions des triangles particuliers, des quadrilatères, médiatrices...), qu'il faut avoir déjà manipulé, ça ne s'invente pas.

Quand tu parles de démonstration calculatoire utilisant des connaisances non calculatoires, penses-tu à des exercices comme celui-ci, qui est dans le manuel que nous utilisons, et qui me semble assez typique de ce qu'on fait aujourd'hui ?

Indice a écrit:Soit les points A(-1;3), B(2;-1), C(5,5;1) et D(4;3). On note M le milieu du segment [AB] et E le milieu du segment [MD].

1) Calculer les coordonnées des point M et E.
2) Montrer que les segments [MD] et [AC] ont même milieux. Que peut-on en déduire ?

Si oui, j'en pense plutôt du mal. L'exercice suppose d'utiliser les propriétés du parallélogramme, certes, mais dans un cas tellement artificiel (Pourquoi ces points et pas d'autres?) que l'on sent l'exercice construit justement pour illustrer une propriété du cours, plutôt qu'émergeant d'un questionnement mathématiques naturel.

Pour être honnête, il y a aussi un petit chapitre intitulé "Géométrie", consacré à la géométrie non repéré, dans le même manuel. Le contenu en est assez disparate (projeté orthogonal, trigo, parallélogrammes et configurations, transformations...) et il ne contient quasiment pas de cours (rien sur les parallélogrammes et les transformations, qui sont je suppose supposées connues...)

Je précise que ce manuel n'est pas pire qu'un autre, je le trouve même plutôt solide par rapport à la concurrence. Mais je suis assez d'accord avec Moonchild : cette partie du programme n'existe qu'à l'état de vestiges, trop lacunaires, trop peu connectés au reste et trop peu approfondis pour faire l'objet d'un travail poussé et réexploitable.

A titre de comparaison, j'ai acheté il y a quelques année à un vide-grenier (50 centimes !) un manuel de géométrie Lebossé-Hémery de 1961. Programme des classes de seconde A',C, M et M' de 1960. Il y a 28 "chapitres intitulés "leçons". Le deuxième exercice de la cinquième leçon ("Parallélogramme. Rectangle Losange. Carré.") est celui-ci.

Lebossé-Hémery a écrit:Soit un triangle ABC. Les hauteurs issues de B et C se coupent en H. Les perpendiculaires en B à AB et en C à AC se coupent en D.
1) Quelle est la nature du quadrilatère BDCH ?
2) Soit M le milieu de BC. Montrer que M est le milieu de HD. Comment faut-il choisir le triangle ABC pour que la droite DH passe par A ?
3) Que peut-on dire des angles A et D du quadrilatère ABDC ?

Cet un exercice plutôt en début du manuel, et la suite est à l'avenant. Le livre est plutôt dense, et ce n'est que le manuel de géométrie, il y en a un d'algèbre en parallèle.

(On peut noter par contre que les notations sont utilisées n'importe comment.)

Bref, on voit la différence d'approfondissement...La question, c'est peut-on vraiment utiliser la géométrie aujourd'hui comme base d'apprentissage de la démonstration alors que les contenus de cette partie du programme (et les connaissances des élèves) sont devenus trop pauvres pour permettre de proposer des exercices solides ?

Sinon, concernant la rédaction de la démonstration de l'égalité de deux expressions :

Moonchild a écrit:

Pat B a écrit:

VinZT a écrit:À moins de raisonner par équivalences, et de les écrire …

Ça, je leur explique que c'est à faire avec des pincettes, et uniquement s'ils sont sûrs d'avoir bien compris ce qu'est une équivalence et comment ça se rédige. Et que ça nécessite une conclusion "écrite", claire, du genre "cette égalité est toujours vraie, donc on a bien f(x)=g(x) pour tout x"  
On en est à un stade où même chez les TS, je leur déconseille de rédiger par équivalence pour ce genre de question...

Je passe complètement sous silence ce type de rédaction par équivalence qui est terriblement casse-gueule et risque d'accentuer les confusions chez des élèves qui peinent déjà à distinguer les hypothèses de la conclusion. Si certains élèves proposent une telle rédaction (merci les profs particuliers !), je les dissuade d'y avoir recours... d'autant plus que, pour les égalités qui sont à démontrer jusqu'en TS, une rédaction par équivalence est inutilement lourde et, à mon avis, très inesthétique.

+1. J'enpeuplus des élèves qui répondent à "Montrer que x^2+x-6=(x-2)(x+3)" en écrivant :

x^2+x-6=(x-2)(x+3)
x^2+x-6=x^2-2x+3x-6
x^2+x-6=x^2+x-6

et je m'arrête là, sans un mot d'explication.

Voir que l'on peut se ramener à un raisonnement par équivalence et une conclusion du type "la propriété est équivalente à une tautologie, donc...", c'est une pirouette de matheux. Chez l'élève, cela traduit juste une réaction du type "Je n'ai pas vraiment lu l'énoncé, ou je ne sais pas ce qui signifie Montrer que, alors je recopie la formule qui est écrite et je la transforme comme je peux.

Il faut leur apprendre à rédiger ce genre de démonstration en partant d'une des deux expressions et en écrivant une suite de transformations et d'égalités.

Prezbo a écrit:

Moonchild a écrit:

Pat B a écrit:

VinZT a écrit:À moins de raisonner par équivalences, et de les écrire …

Ça, je leur explique que c'est à faire avec des pincettes, et uniquement s'ils sont sûrs d'avoir bien compris ce qu'est une équivalence et comment ça se rédige. Et que ça nécessite une conclusion "écrite", claire, du genre "cette égalité est toujours vraie, donc on a bien f(x)=g(x) pour tout x"  
On en est à un stade où même chez les TS, je leur déconseille de rédiger par équivalence pour ce genre de question...

Je passe complètement sous silence ce type de rédaction par équivalence qui est terriblement casse-gueule et risque d'accentuer les confusions chez des élèves qui peinent déjà à distinguer les hypothèses de la conclusion. Si certains élèves proposent une telle rédaction (merci les profs particuliers !), je les dissuade d'y avoir recours... d'autant plus que, pour les égalités qui sont à démontrer jusqu'en TS, une rédaction par équivalence est inutilement lourde et, à mon avis, très inesthétique.

+1. J'enpeuplus des élèves qui répondent à "Montrer que x^2+x-6=(x-2)(x+3)" en écrivant :

x^2+x-6=(x-2)(x+3)
x^2+x-6=x^2-2x+3x-6
x^2+x-6=x^2+x-6

et je m'arrête là, sans un mot d'explication.

Voir que l'on peut se ramener à un raisonnement par équivalence et une conclusion du type "la propriété est équivalente à une tautologie, donc...", c'est une pirouette de matheux. Chez l'élève, cela traduit juste une réaction du type "Je n'ai pas vraiment lu l'énoncé, ou je ne sais pas ce qui signifie Montrer que, alors je recopie la formule qui est écrite et je la transforme comme je peux.

Il faut leur apprendre à rédiger ce genre de démonstration en partant d'une des deux expressions et en écrivant une suite de transformations et d'égalités.

Tout à fait d'accord, je m'agace chaque année contre ça et c'est pour ça que j'espère qu'on le voit encore un peu au collège... Mais j'ai parfois un ou deux élèves capables de comprendre le raisonnement par équivalence, et toujours plusieurs qui ont des absurdités de la part de leur prof particulier... donc j'explique généralement une fois comment on pourrait le rédiger par équivalence, en ajoutant qu'on ne le fera pas avant la terminale au moins, et qu'ils sont priés en attendant de s'en tenir aux méthodes de leur niveau.

Quant à la géométrie, oui, le niveau a baissé, bien sûr. Mais n'empêche que ça m'a toujours semblé un bon point de départ pour comprendre les démonstrations... même si, hélas, on a baissé le niveau, il reste encore quelques résultats non triviaux et accessibles.