[maths 2de] Nombres

Bonjour,
je suis en train de préparer mon cours sur les nombres en seconde,
et c'est l'occasion de soumettre quelques idées à votre critique.

Voilà ce que j'ai prévu :
*1* dichotomie pour la résolution d'une équation de type f(x)=0, sur tableur et en Python, puis balayage décimal sur calculatrice
objectif : un nombre peut avoir plusieurs chiffres après la virgule (en fait même un sacré paquet, voire plus encore)
*2* ensembles de nombres : entiers, relatifs, fractions (cas des décimaux), réels
objectif : examiner les propriétés de stabilité de ces ensembles par les opérations (+-*/,puissance,racine)
*3* cas des décimaux : vocabulaire de l'approximation, notion d'encadrement,  les décimaux sont des rationnels, les rationnels ne sont pas nécessairement des décimaux, déterminer la période du développement décimal d'un rationnel, déterminer une fraction égale à un réel dont le développement décimal périodique est donné, le nombre de Champernowne (et les nombres univers)
objectif : une approche de Dirichlet, une approche de l'infini "cyclique" (les informaticiens verront que je prépare la notion de terminaison), caractériser un réel comme la limite de deux suites adjacentes : celle de ses valeurs décimales approchées à 10^(-n) par défaut et celle de ... par excès (je n'ai pas dit Cauchy  mais je l'ai pensé très fort)
*4* cas des entiers : pratique de la DE, pairs de la forme 2k, impairs de la forme 2k+1, algorithme d'Euclide, décomposition en facteurs premiers (à la main et en Python avec des listes), premiers (crible)
objectif : entretenir les acquis de collège, insister sur l'importance de la simplification des fractions et racines
*5* l'irrationalité de racine de deux, par descente infinie puis par parité ; l'algorithme babylonien pour avoir une suite rationnelle convergente vers racine(2) (la version antique de Newton-Rhapson)
objectif : c'est beau

J'ai déjà fait les intervalles (dans le chapitre généralités sur les fonctions, pour les résolutions graphiques d'inéquations), et les simplifications de radicaux (dans le chapitre géométrie analytique), ainsi que les identités remarquables (dans le chapitre "factoriser la différence pour résoudre en utilisant la règle du produit nul", oui j'aime les titres de chapitres explicites).

Je voudrais ensuite déboucher sur les inéquations du premier degré, puis sur les tableaux de signe établis par le calcul (par lecture graphique c'est à peu près acquis), avant Noël.


Problème : j'ai une semaine pour faire tout ça, quitte à revenir ensuite sur certains points, car avec les demi-groupes, en seconde je fais la même chose en classe deux semaines consécutives, en donnant des exercices d'entraînement sur les chapitres antérieurs pour les élèves restant à la maison.

Question : comment être efficace sur ce chapitre ?

En relisant le programme, je vois qu'il en manque un peu dans ma liste :
* nZ est un anneau (évidemment ce n'est pas dit ainsi)
* valeur absolue/distance à zéro
* intervalles centrés

Ben, sans ironie, je ne sais pas quels élèves tu as, ou alors tu vis dans une stase temporelle, je t'envie. J'ai des copains en CPGE qui ne cracheraient pas su ton programme en première année tout en se demandant si ils arriveront à le faire passer.

Je veux bien te croire, mais deux remarques quand même :
* je prépare des cours assez ambitieux, mais je prépare aussi un pack de survie, sous ensemble strict du programme prévu
* j'utilise des gros mots comme Cauchy ou suites adjacentes parce que nous discutons entre profs de maths, mais la réalité est plus prosaïque
Ici l'enjeu essentiel est que les élèves distinguent la notion de valeur exacte et la notion de valeur approchée,
et si en plus ils comprennent qu'il y a souvent moyen de mettre quelques chiffres de plus après la virgule c'est encore mieux.

A ce propos, j'avais oublié un truc dans ma liste : aller chercher les chiffres de réserve sur la calculatrice.
En plus la semaine qui vient j'ai un demi-DS à donner sur mes quatre heures de seconde (la moitié de la classe sera présente, d'où le demi, et du coup je fais un DS sur 30 minutes).

Mais je commence à avoir une petite idée de l'organisation des 3h30 qui restent.
L'irrationalité de racine 2 va finir en diapo + démonstration à trous, j'en ai peur.

Tu sais en spé maths chez moi pour la quasi totalité, la valeur exacte c'est la valeur avec beaucoup de chiffres....d'ailleurs plus il y en a, plus elle exacte (forcément) et si le prof barre c'est qu'il n'y avait pas assez de chiffres (avec l'étonnement "mais comment vous voulez qu'on fasse la calculatrice n'en donne pas plus...c'est vrai quel  c** ce prof)
Dans un ds tout frais je demandais (par démission je suis un lâche) une valeur approchée arrondie à 0,001 près (pas 10^-3 parce que je suis prudent et les puissance de 10 c'est dur, même en spé), le mec a entouré 0,001 sur son énoncé (donc il l'a lu et en a tenu compte) puis a donné une valeur arrondie à 0,01 près, étourderie, que nenni...comme il y a deux zéros dans 0,001 il faut deux chiffres..
Alors les programmes ambitieux en seconde.

Ouais j'en ai pas mal des comme ça aussi, en particulier en BTS les consignes d'arrondi sont très souvent comprises de travers...
Mais pour les secondes, ils arrivent avec tellement peu de connaissances que j'essaie de fixer un programme un peu carré pour qu'ils puissent s'appuyer dessus ensuite (première, terminale et au-delà).
Ce qui n'empêche pas que certains qui sont capables d'écrire cos(Â)=0,5=60°=Â le feront encore en fin d'année (bon je ne parle pas de ceux qui sont venus me voir en fin d'heure "M'sieur on a pas fait de trigo au collège", au moins ceux-là n'auront pas besoin de désapprendre).

Pour le dire clairement : je bosse pour les bons, en essayant que les mauvais ne s'en aperçoivent pas trop et apprennent des choses aussi.
(Et sur le collège, je ne jette pas la pierre aux collègues, j'en étais il n'y a pas longtemps, mais j'ai l'impression que des choses basiques ne sont pas (ou plus) vérifiées systématiquement, p.ex j'ai plein d'élèves qui mettent des flèches aux deux extrémités de chaque axe ; ils croient que les flèches signifient "infinie")

Pour les valeurs approchées lesquelles utilisez-vous au lycée ?

J'avoue qu'au collège c'est très flou et cela devient de moins en moins clair. Par exemple on voit de plus en plus "valeur approchée au dixième près" pour moi il y a deux réponses possibles celle par excès et celle par défaut. Mais j'ai remarqué à la correction du DNB que tout le monde n'avait pas les mêmes définitions, je trouve cela assez dommage.

.

Les définitions habituelles :
* valeurs _décimales_ approchées par défaut, par excès, à $10^{-n}$ près p.ex 3,141 et 3,142 pour $\pi$
* arrondi _décimal_ p.ex 3 ; 3,1 ; 3,14 ; 3,142 ; 3,1416 ; 3,14159 ; 3,141593 ; 3,1415927 ; 3,14159266 ...
* on peut aussi parler de troncature, qui correspond à l'arrondi décimal par défaut pour les positifs et par excès pour les négatifs

L'utilisation de l'adjectif _décimal_ ici a pour but d'assurer l'unicité ; on peut aussi bien sûr parler de valeurs approchées de façon générale,
définies par |u-v| < epsilon, mais ce n'est pas vraiment l'enjeu à mon avis.

Dans les sujets de BTS ou de bac, on demande souvent "une" valeur approchée à $10^{-n}$ près de tructruc ;
on accepte nécessairement toute valeur dans [tructruc-10^{-n};tructruc+10^{-n}] mais de fait les candidats répondent en général à la vraie question,
"donner la valeur approchée décimale...".
Le fait de demander "une" plutôt que "la" évite juste d'enlever des points à ceux qui tronquent au lieu d'arrondir. #Bienveillance

Balthazaard a écrit:la valeur exacte c'est la valeur avec beaucoup de chiffres....d'ailleurs plus il y en a, plus elle exacte

Tes élèves ont le "sentiment de la limite", c'est l'essentiel.

Et s'ils essayent avec des troncatures, ils ont même le sentiment de la coupure de Dedekind.

Si tu fais une coupure de Dedekind sur un décimal, ça perd de son intérêt.

Je n'ai pas beaucoup d'élèves qui connaissent l'affectation avec la touche flèche sur Casio ou sto sur TI, pour éviter de perdre en précision quand les calculs s'enchainent, c'est dommage.

En BTS j'utilise l'affectation dans un contexte précis, et presque tous les étudiants découvrent cette possibilité.
Pourtant ils s'en sont servi en algo avant le bac, forcément, mais sans vraiment comprendre ce qu'ils faisaient il faut croire.

Spoiler:

Balthazaard a écrit:Ben, sans ironie, je ne sais pas quels élèves tu as, ou alors tu vis dans une stase temporelle, je t'envie. J'ai des copains en CPGE qui ne cracheraient pas su ton programme en première année tout en se demandant si ils arriveront à le faire passer.

Pourtant ce programme annoncé est très facile. Toutes ces choses auront du être enseignées au collège. Dans d'autres pays c'est enseigné avec succès. Donc la question n'est pas si on arrive ou non à faire passer ces notions, mais comment les faire passer. Je ne peux qu'inviter à lire les manuels d'avant les maths modernes, à cette époque les professeurs savait le faire. Ou lire les manuels étrangers.

ben2510 a écrit:Bonjour,
je suis en train de préparer mon cours sur les nombres en seconde,
et c'est l'occasion de soumettre quelques idées à votre critique.

Voilà ce que j'ai prévu :
*1* dichotomie pour la résolution d'une équation de type f(x)=0, sur tableur et en Python, puis balayage décimal sur calculatrice
objectif : un nombre peut avoir plusieurs chiffres après la virgule (en fait même un sacré paquet, voire plus encore)
*2* ensembles de nombres : entiers, relatifs, fractions (cas des décimaux), réels
objectif : examiner les propriétés de stabilité de ces ensembles par les opérations (+-*/,puissance,racine)
*3* cas des décimaux : vocabulaire de l'approximation, notion d'encadrement,  les décimaux sont des rationnels, les rationnels ne sont pas nécessairement des décimaux, déterminer la période du développement décimal d'un rationnel, déterminer une fraction égale à un réel dont le développement décimal périodique est donné, le nombre de Champernowne (et les nombres univers)
objectif : une approche de Dirichlet, une approche de l'infini "cyclique" (les informaticiens verront que je prépare la notion de terminaison), caractériser un réel comme la limite de deux suites adjacentes : celle de ses valeurs décimales approchées à 10^(-n) par défaut et celle de ... par excès (je n'ai pas dit Cauchy  mais je l'ai pensé très fort)
*4* cas des entiers : pratique de la DE, pairs de la forme 2k, impairs de la forme 2k+1, algorithme d'Euclide, décomposition en facteurs premiers (à la main et en Python avec des listes), premiers (crible)
objectif : entretenir les acquis de collège, insister sur l'importance de la simplification des fractions et racines
*5* l'irrationalité de racine de deux, par descente infinie puis par parité ; l'algorithme babylonien pour avoir une suite rationnelle convergente vers racine(2) (la version antique de Newton-Rhapson)
objectif : c'est beau

J'ai déjà fait les intervalles (dans le chapitre généralités sur les fonctions, pour les résolutions graphiques d'inéquations), et les simplifications de radicaux (dans le chapitre géométrie analytique), ainsi que les identités remarquables (dans le chapitre "factoriser la différence pour résoudre en utilisant la règle du produit nul", oui j'aime les titres de chapitres explicites).

Je voudrais ensuite déboucher sur les inéquations du premier degré, puis sur les tableaux de signe établis par le calcul (par lecture graphique c'est à peu près acquis), avant Noël.


Problème : j'ai une semaine pour faire tout ça, quitte à revenir ensuite sur certains points, car avec les demi-groupes, en seconde je fais la même chose en classe deux semaines consécutives, en donnant des exercices d'entraînement sur les chapitres antérieurs pour les élèves restant à la maison.

Question : comment être efficace sur ce chapitre ?

En relisant le programme, je vois qu'il en manque un peu dans ma liste :
* nZ est un anneau (évidemment ce n'est pas dit ainsi)
* valeur absolue/distance à zéro
* intervalles centrés

Je suis toujours très admirative de la façon dont tu arrives à organiser tes progressions pour faire passer un max de notions en peu de temps et en préparant le terrain pour la suite !

Il y a loin de la coupe aux lèvres !
Ce matin on a passé presque 20 minutes sur la résolution de 0,2x^3+2,6x^2-1,8x-23,4 donc la dichotomie on a pas eu le temps de finir,
et je n'ai pas pu leur montrer le balayage décimal.
Sans parler de la programmation de la dichotomie sur calculatrice (on a bossé sur tableur pour l'instant).

Hop : urlz.fr/ek6T (ami lecteur sauras-tu identifier les variables didactiques qui te disent "logarithme binaire" ?)

cassiopella a écrit:

Balthazaard a écrit:Ben, sans ironie, je ne sais pas quels élèves tu as, ou alors tu vis dans une stase temporelle, je t'envie. J'ai des copains en CPGE qui ne cracheraient pas su ton programme en première année tout en se demandant si ils arriveront à le faire passer.

Pourtant ce programme annoncé est très facile. Toutes ces choses auront du être enseignées au collège. Dans d'autres pays c'est enseigné avec succès. Donc la question n'est pas si on arrive ou non à faire passer ces notions, mais comment les faire passer. Je ne peux qu'inviter à lire les manuels d'avant les maths modernes, à cette époque les professeurs savait le faire. Ou lire les manuels étrangers.

Succès....oui...oui...tout dépend de la sélection des élèves en amont, nous avons fait le choix de la massification, ce n'est pas partout le cas. Depuis plus de 10 ans j'ai en charge l'upe2a, j'ai vu des élèves d'une vingtaine de nationalités, cela va du fils de réfugié politique, du migrant qui a traversé la méditerranée en pirogue aux enfants de chirurgiens et d'avocats, il n'y  pas que de la misère. Le niveau est grosso-modo comparable au notre, entre celui qui à 15 ans ignore les bases de la numération à l'autre qui résous une équation du second degré avec les racines complexes...
La moyenne étant, je dirai dans notre moyenne nationale.
Les trois meilleurs, un albanais exceptionnel et sa sœur beaucoup moins exceptionnelle , un syrien et sa sœur avec la même conclusion (quoique ayant eu la même scolarité), une vietnamienne qui se promenait avec une technique de calcul à tout épreuve.
Témoignage qui vaut ce qu'il vaut mais qui a le mérite d'être multiple et vécu.
Donc dire ailleurs c'est forcément mieux, je suis très, très perplexe....comme chez nous, cela dépend du milieu, de la motivation et hélas de certaines capacités intellectuelles...

Il y a aussi des approches différentes qui rendent les notions plus ou moins obscures.
P.ex en France attendre l'après-bac pour attaquer les logarithmes, c'est un scandale.
Les logarithmes devraient être faits en troisième, juste après les puissances, en même temps que les suites géométriques,
ou bien en seconde au pire, comme dans pas mal de pays.
Evidemment pour cela il faut se rappeler ce qu'ils sont : des exposants.
Pas besoin de passe par le calcul différentiel pour amener la notion, au contraire cela l'obscurcit !

ben2510 a écrit:Il y a aussi des approches différentes qui rendent les notions plus ou moins obscures.
P.ex en France attendre l'après-bac pour attaquer les logarithmes, c'est un scandale.
Les logarithmes devraient être faits en troisième, juste après les puissances, en même temps que les suites géométriques,
ou bien en seconde au pire, comme dans pas mal de pays.
Evidemment pour cela il faut se rappeler ce qu'ils sont : des exposants.
Pas besoin de passe par le calcul différentiel pour amener la notion, au contraire cela l'obscurcit !

Vu que quasiment aucun élève de seconde (j'ajouterais bien"et de première"...mais on va dire...) ne maitrise convenablement les puissances ( que vaut (-2)^(-3)?...histoire de rire 30% on sait pas, 30% 8, 30% -8, 4% 6, 4% -6 1% autres réponses 1% -0,125) je ne suis pas sur que cela amènerait beaucoup de succès dans l'introduction et l'étude du logarithme

Evidemment que les élèves ne maîtrisent pas les puissances en seconde,
vu comment elles sont enseignées au collège...

Et comme le calcul sur les puissances n'est pas réellement au programme de seconde, ni de première, ni de terminale,
les difficultés s'accumulent au lycée, p.ex lorsqu'on a besoin de savoir que $q^{n+1}=q^n \times q$, ou bien lorsqu'on utilise les règles de calcul sur les exponentielles en terminale
(et en première paraît-il...) ou pour simplifier des logarithmes (mais il paraît que c'est après le bac maintenant, le niveau monte).

Ma proposition se comprend dans un contexte de refondation complète de l'enseignement des mathématiques, avec comme premier principe de ne pas
accepter que des élèves se complaisent dans l'ignorance.

ben2510 a écrit:Evidemment que les élèves ne maîtrisent pas les puissances en seconde,
vu comment elles sont enseignées au collège...

Et comme le calcul sur les puissances n'est pas réellement au programme de seconde, ni de première, ni de terminale,
les difficultés s'accumulent au lycée, p.ex lorsqu'on a besoin de savoir que $q^{n+1}=q^n \times q$, ou bien lorsqu'on utilise les règles de calcul sur les exponentielles en terminale
(et en première paraît-il...) ou pour simplifier des logarithmes (mais il paraît que c'est après le bac maintenant, le niveau monte).

Ma proposition se comprend dans un contexte de refondation complète de l'enseignement des mathématiques, avec comme premier principe de ne pas
accepter que des élèves se complaisent dans l'ignorance.

Bien sûr ce serait le rêve et là on pourrait discuter sérieusement de la question, je pense que l'on pourrait développer des arguments intéressants (sans forcément être d'accord entre nous d'ailleurs) mais avec le constat de la situation actuelle cela resterait vraiment un échange stérile.

Oui, dans l'état actuel des choses on parle sans avoir les moyens de changer le fonctionnement de l'EN.
Mais garder dans un coin de sa tête l'idée de la possibilité d'un enseignement des Mathématiques un peu mieux construit (en particulier en ce qui concerne des programmes un peu moins indigents),
cela me permet de rester optimiste, ce qui est fort utile depuis quelques années.

Balthazaard a écrit:
Succès....oui...oui...tout dépend de la sélection des élèves en amont, nous avons fait le choix de la massification, ce n'est pas partout le cas.

On est en 2020. Les pays sans collège unique se font de plus en plus rares, nous ne sommes plus en 1950. Je t'invite à regarder les données de l'enquête TIMSS, elles sont accessible et très riches. Chaque système est décrit. Dans les pays de l'Europe de l'Est + Kazahstan le collège est unique. Pourtant les résultats des élèves sont bien meilleurs qu'en France.

P.S. Les résultats de l'enquête TIMSS 2019 pour les CM1 et 4e seront bientôt disponibles...