Méthode de Singapour

Bonjour,

Je me demandais si quelqu'un connaissait la méthode de Singapour et s'il existe une version pour le collège ?

Merci.

Oui et oui mais en langue anglaise.

Je savais que j'allais regretter les cours d'anglais...

Est-il possible d'avoir ton avis sur cette méthode ?

Est-ce envisageable de proposer quelque chose pour des collégiens en France ?

Je ne peux pas te donner mon avis car je ne la pratique pas.
Je n'ai pas les manuels correspondants. (fort cher d'ailleurs)
J'en entends des avis positifs sans avoir de retour concret de quelqu'un qui l'utilise.


C'est certainement envisageable de proposer quelque chose pour des collégiens. De mémoire, une partie de la méthode repose beaucoup sur la schématisation. Je me suis inspiré de cette idée pour la division de fractions avec certains de mes 5e l'an dernier mais rien d'abouti.
Il faudrait tester sur un an pour voir ce que cela donne.

Les livres collège c'est par ici.

J'étais allée sur un autre site. Les livres n'ont pas du tout la même couverture...

Bref, j'aurais aimé pouvoir les feuilleter un peu pour voir à quoi ça ressemble. J'ai pu feuilleter les versions françaises du primaire mais je ne pense pas qu'il y ait un équivalent pour le collège (même en anglais).

Ah, tu veux équivalent au système scolaire français. Non, il n'y a pas. Mais, ceux du lien correspondent au niveau 6e à 3e et comme ils sont plus complets que ce qu'on nous demande d'enseigner.

Quel autre site ?

Ce que je souhaiterais c'est surtout de pouvoir visualiser/feuilleter les livres avant d'en faire l'achat...

Le site s'appelle Mathsnoproblem

Les manuels du primaires ont été traduits à la librairie des écoles

Pour le secondaire,
Ils sont difficiles à trouver, car ils ne sont pas distribués en France.
Il y a deux ans Amazon ne les distribuait pas en france.

J'avais commandé là :
http://www.christianbook.com/dimensions-math-ccss-textbook-7a/9789814431767/pd/250567?event=ESRCG

Le site officiel singapore math où l'on peut feuilleter des extraits :
http://www.singaporemath.com/

Les correspondances de niveau :
6e : 6a et 6b
5e : 7a et 7b
4e : 8a et 8b
3e : 3a et 3b

Ces manuels sont très bons, je m'en sers régulièrement et ils m'ont permis de progresser (par contre ils m'ont coûté assez cher, mais je ne compte pas pour ce genre d'investissement).

Ce n'est pas pour rien que Singapour est en tête des classements internationaux depuis 15 ans en maths, et leurs manuels (qui sont les mêmes dans toutes les écoles de singapour) y ont certainement contribué.

On est sur une pédagogie explicite, mais ça va au delà. Ces manuels sont à la fois ambitieux et très accessibles. Les explications sont particulièrement pertinentes (beaucoup d'exercices résolus). Les exercices sont aussi très efficaces (les séries d'exercices sur les calculs d'angles en géométrie plane sont par exemple remarquables.

Il faut être à l'aise en anglais pour en profiter sereinement.

pailleauquebec a écrit:
Ces manuels sont très bons, je m'en sers régulièrement et ils m'ont permis de progresser (par contre ils m'ont coûté assez cher, mais je ne compte pas pour ce genre d'investissement).

Peux-tu m'expliquer en quoi ils sont différents des manuels qu'on utilise en France ?

pailleauquebec a écrit:
Il faut être à l'aise en anglais pour en profiter sereinement.

C'est bien mon problème

loulou et mimi a écrit:

pailleauquebec a écrit:
Ces manuels sont très bons, je m'en sers régulièrement et ils m'ont permis de progresser (par contre ils m'ont coûté assez cher, mais je ne compte pas pour ce genre d'investissement).

Peux-tu m'expliquer en quoi ils sont différents des manuels qu'on utilise en France ?

Oui ils sont différents :

- D'abord le cours est intégré aux exercices (2 à 3 pages de cours pour une demi page d'exos). Dans nos manuels, le cours est quasi inexistant (une à deux pages de cours pour 10 pages d'exos en moyenne dans les manuels de la réforme 2016). Ce cours est surtout constitué de bons exercices résolus et d'un peu de théorie.

- Les exercices sont classés par niveau de difficulté et vont de l'application simple au casse tête (au lieu d'être mélangés au petit bonheur dans les manuels français, ici il y a un double classement par paragraphe de cours et par niveau de difficulté).

- Le cours est plus ambitieux (le recours à l'abstraction n'est pas systématiquement évité), et plus concret (exemples bien concrets à l'anglo saxonne). Des notions avancées sont introduites le plus tôt possible sur des exemples simples.

- Ils utilisent davantage que dans nos manuels les schémas pour représenter les concepts. Ils ont d'ailleurs théorisé une schématisation des problèmes particulièrement efficace.

- La géométrie déductive y est enseignée, mais elle est moins formalisée que chez nous. Pas d'utilisation du chaînon déductif, les démonstrations vont à l'essentiel. Sur ce point je pense que c'est une faiblesse des manuels de Singapour. Par contre leurs exercices sur les calculs d'angles sont originaux et au top.

- Ils utilisent l'entraînement à la technique comme moyen pour progresser. Il y a des séries de difficultés progressives. Sur ce point ils sont particulièrement différents des manuels de la réforme 2016 où la technique a quasiment disparu. Et reprennent d'une année à l'autre plusieurs fois les concepts pour bien les installer.

- Il y a un vrai cours de calcul, un vrai cours d'algèbre. Probablement au niveau des manuels des années 60 en France, mais mis au goût du jour. Ce ne sont pas des manuels d'arrière garde, mais bien des manuels pionniers.

- Dans les manuels de Singapour il n'y a pas de problèmes verbeux, pas de tâche complexe, pas d'AP, pas d'EPI, pas de narration de recherche,... On est clairement sur une autre planète pégagogique. Et pourtant en moyennne à PISA les petits singapouriens ont entre 2 et 3 ans d'avance sur nos élèves. En clair : un élève de 5e à Singapour résout les mêmes problèmes qu'un élève de 3e en France.

- Ces manuels font aussi le pari qu'un enseignant débutant ou peu qualifié (c'est de plus en plus le cas), a besoin d'un manuel auquel se raccrocher.
A mon avis ils ont raison de ne pas imaginer que l'enseignant complètera par son savoir et son expertise.
Dans les manuels de Singapour, l’expertise et les explications claires sont dans le manuel, on peut s'appuyer dessus.
Le cours est déjà là, il est découpé en paragraphes, la progression est fournie, la didactique de la discipline aussi.
C'est d’ailleurs je pense ce qui explique que cette méthode réussit plutôt bien là où elle est testée, elle est "all inclusive".

Après, on peut trouver des manuels français de qualité. J'ai repéré une quinzaine de collections qui me semblent apporter une pierre à l'édifice sur les 70 dernières années.
On manque de recul sur les manuels de la réforme 2016, mais aucun ne m'est apparu comme remarquable.
On peut probablement trouver aussi d'autres pays qui ont des collections remarquables (Il y a en Australie "Mathématics for international student").
Je connais mal les manuels utilisés dans les autres pays d'Europe, il faudra que je creuse de ce côté.

pailleauquebec a écrit:

loulou et mimi a écrit:

pailleauquebec a écrit:
Ces manuels sont très bons, je m'en sers régulièrement et ils m'ont permis de progresser (par contre ils m'ont coûté assez cher, mais je ne compte pas pour ce genre d'investissement).

Peux-tu m'expliquer en quoi ils sont différents des manuels qu'on utilise en France ?

Oui ils sont différents :

- D'abord le cours est intégré aux exercices (2 à 3 pages de cours pour une demi page d'exos). Dans nos manuels, le cours est quasi inexistant (une à deux pages de cours pour 10 pages d'exos en moyenne dans les manuels de la réforme 2016). Ce cours est surtout constitué de bons exercices résolus et d'un peu de théorie.

- Les exercices sont classés par niveau de difficulté et vont de l'application simple au casse tête (au lieu d'être mélangés au petit bonheur dans les manuels français, ici il y a un double classement par paragraphe de cours et par niveau de difficulté).

- Le cours est plus ambitieux (le recours à l'abstraction n'est pas systématiquement évité), et plus concret (exemples bien concrets à l'anglo saxonne). Des notions avancées sont introduites le plus tôt possible sur des exemples simples.

- Ils utilisent davantage que dans nos manuels les schémas pour représenter les concepts. Ils ont d'ailleurs théorisé une schématisation des problèmes particulièrement efficace.

- La géométrie déductive y est enseignée, mais elle est moins formalisée que chez nous. Pas d'utilisation du chaînon déductif, les démonstrations vont à l'essentiel. Sur ce point je pense que c'est une faiblesse des manuels de Singapour. Par contre leurs exercices sur les calculs d'angles sont originaux et au top.

- Ils utilisent l'entraînement à la technique comme moyen pour progresser. Il y a des séries de difficultés progressives. Sur ce point ils sont particulièrement différents des manuels de la réforme 2016 où la technique a quasiment disparu. Et reprennent d'une année à l'autre plusieurs fois les concepts pour bien les installer.

- Il y a un vrai cours de calcul, un vrai cours d'algèbre. Probablement au niveau des manuels des années 60 en France, mais mis au goût du jour. Ce ne sont pas des manuels d'arrière garde, mais bien des manuels pionniers.

- Dans les manuels de Singapour il n'y a pas de problèmes verbeux, pas de tâche complexe, pas d'AP, pas d'EPI, pas de narration de recherche,... On est clairement sur une autre planète pégagogique. Et pourtant en moyennne à PISA les petits singapouriens ont entre 2 et 3 ans d'avance sur nos élèves. En clair : un élève de 5e à Singapour résout les mêmes problèmes qu'un élève de 3e en France.

- Ces manuels font aussi le pari qu'un enseignant débutant ou peu qualifié (c'est de plus en plus le cas), a besoin d'un manuel auquel se raccrocher.
A mon avis ils ont raison de ne pas imaginer que l'enseignant complètera par son savoir et son expertise.
Dans les manuels de Singapour, l’expertise et les explications claires sont dans le manuel, on peut s'appuyer dessus.
Le cours est déjà là, il est découpé en paragraphes, la progression est fournie, la didactique de la discipline aussi.
C'est d’ailleurs je pense ce qui explique que cette méthode réussit plutôt bien là où elle est testée, elle est "all inclusive".

Après, on peut trouver des manuels français de qualité. J'ai repéré une quinzaine de collections qui me semblent apporter une pierre à l'édifice sur les 70 dernières années.
On manque de recul sur les manuels de la réforme 2016, mais aucun ne m'est apparu comme remarquable.
On peut probablement trouver aussi d'autres pays qui ont des collections remarquables (Il y a en Australie "Mathématics for international student").
Je connais mal les manuels utilisés dans les autres pays d'Europe, il faudra que je creuse de ce côté.

Voir ici un exemple de manuel belge :https://issuu.com/deboeckeducation/docs/cqfd1
(Attention, les belges comptent les années dans l'autre sens : 1ere = 12-13 ans)

Je déterre ce vieux sujet car il y a dans le document du lien suivant (que j'avais trouvé sur un fil du forum consacré à la méthode de Singapour) un petit détail sur lequel je m'interroge :
http://www.singaporemath.com/v/sf_dmt8a.pdf

Dans un exemple corrigé à la page 3, pour simplifier une fraction, la factorisation de 2x²-x-15 en (2x+5)(x-3) est donnée sans aucun commentaire comme si c'était une évidence (tandis que la factorisation de 9-x² est expliquée alors qu'elle me semble plus simple) ; du coup, je me demande quelle est la méthode employée pour factoriser 2x²-x-15 à un niveau qui, de mémoire, doit correspondre à une classe de 4ème ou de 3ème. Je suppose que c'est quelque chose qui est en lien avec une racine "évidente", mais alors ça m'intéressait d'avoir des précisions sur ce qui est au programme à ce propos et sur la ligne de démarcation où s'arrête l'évidence.

@Moonchild, c'est la méthode de décomposition/groupement :
Dans 2x² - x - 15 on décompose -x en -6x+5x

2x² - x - 15
2x² -6x + 5x - 15
2x(x-3) + 5(x-3)
(x-3)(2x+5)

Ici ce n'est pas très évident. En générale on décompose la constante pour obtenir la différence des carrés :
x² - 6x + 5
x² - 6x + 9 - 4
(x-3)² - 2²
(x-5)(x-1)

Je me souviens qu'on a fait ce genre d'exercices, mais je n'arrive pas à trouver le bon manuel...

C’est vrai que ta première ligne est d’une évidence rare... je ne vois pas d’où surgit cette méthode qui n’est que le développement en remontant de la forme factorisée : c’est donc un développement, pas une technique de factorisation. Quant à ta dernière ligne, je doute bcp mathématiquement

cassiopella a écrit:@Moonchild, c'est la méthode de décomposition/groupement :
Dans 2x² - x - 15 on décompose -x en -6x+5x

2x² - x - 15
2x² -6x + 5x - 15
2x(x-3) + 5(x-3)
(x-3)(2x+5)

Ici ce n'est pas très évident. En générale on décompose la constante pour obtenir la différence des carrés :
x² - 6x + 5
x² - 6x + 9 - 4
(x-3)² - 4
(x-7)(x+1)

Je me souviens qu'on a fait ce genre d'exercices, mais je n'arrive pas à trouver le bon manuel...

La deuxième méthode que tu proposes revient en fait à rechercher la forme canonique du trinôme mais, même à Singapour, je doute qu'elle soit considérée comme évidente (surtout avec un coefficient de x² qui n'est pas égal à 1) à ce niveau où la factorisation de 9-x² fait l'objet d'un commentaire explicatif.

La méthode de décomposition/groupement marche effectivement bien, mais à condition de déjà savoir ce par quoi on va factoriser pour le faire apparaître explicitement... d'où ma remarque sur les racines "évidentes" qui peuvent servir d'indication.

En tout cas, je suis étonné que cette factorisation ne soit pas davantage détaillée dans ce corrigé ; d'un point de vue pédagogique, ça me semble un peu court.

Alors, pour les trois méthodes de résolution d'équations, la première introduite au collège en général est la multiplication en croix (cross-multiplication). Elle n'est que rarement imprimée dans les bouquins car galère à taper... En gros, pour x^2+3x+2 on commence par trouver les facteurs de x^2 (x et x). Puis on cherche les facteurs possible de 2 (1 et 2 ou -1 et -2 si le prof n'a pas expliqué qu'on regarde le signe du terme du milieu et que du coup on est sur que ce sont des facteurs positifs). Enfin on vérifie qu'en multipliant en croix x fois 2 + x fois 1 on arrive bien à 3x. Et hop, on a la factorisation en lisant "en ligne". Bien évidemment aucune justification n'est demandée sur la copie.

Pour l'avoir à faire en classe (c'est aussi ce qu'apprennent les chinois au collège), c'est génial pour ceux qui voient et ont bien acquis le truc sur des exemples simples, mis c'est absolument terrible avec des expressions plus compliquée et des élèves qui ne voient pas.

Pour la méthode de Singapour, oui les manuels sont bien (la plupart des manuels anglophones apportent beaucoup d'aide au prof et ont une organisation cours exo similaire). On oublie souvent de voir à quoi sont dus les résultats. L'école est très importante à Singapour, il y a des heures de devoirs à faire chaque soir, même en primaire, des sélections dures, une mentalité de concours, soutien des familles, peu de problèmes de discipline... Et j'en passe. Changer de méthode peut aider mais ne résoudra pas les problèmes de société.
Pour info sur la Chine, aussi très bien classée en maths et avec réputation de former d'excellents matheux, c'est facile: pas bon en maths, pas de lycée sauf si vos parents peuvent payer 10 000€ au minimum de frais de scolarité par ans...

J’ai quelques élèves asiatiques dans mon lycée et clairement c’est autre chose que les autres en terme de mentalité (et encore ceux là se sont francisés!) Il y a deux ans j’avais même eu de la chance avec une classe de TS à majorité asiatique qui se taisait, appliquait et faisait tous les exos demandés, 13 de moyenne au bac, plutôt pas mal pour un lycée du 9-3 et même mieux qu’une collègue qui enseignait pourtant dans le XVI eme! En revanche, appliquer cette méthode dans une classe française lambda, je n’y crois pas un seul instant, quand je vous comment est passée la forme canonique avec ma classe de première profil ES de cette année (trois quatre savent faire, pas plus)

@Badiste75, bien vu. J'ai corrigé.

Concernant évident, pas évident... Si c'est enseigné, bien expliqué, il y a assez d'exercices pour s'entrainer et on l'utilise assez longtemps, cela devient évident. Ces deux méthodes sont enseignées au collège russe en 4e (!!!) et on en faisait l'usage jusqu'à terminal.

Le raisonnement est le suivant :
1) Soit on décompose la constante pour obtenir la somme au carré moins le nombre au carré :
Impossible dans  exo1....
Mais c'est possible dans exo2 : x² - 2 (3) x + 3² = (x-3)² Mais il y a 4 de trop qu'il faut retirer. Et 4 c'est 2².

2) Soit on décompose le terme au milieu (-x) de sorte à pouvoir factoriser avec 15 et 2x².  
Si on isole -/+ 3x pour factoriser avec 15: 2x² + 2x -3x -15 = 2x(x+1) - 3(x+5) ou 2x² - 4x +3x -15 = 2x(x-2) +3(x-5)
Cela ne donne rien.
On essaye avec 5x - 6x et 4x - 5x.

Oui, les deux méthodes demandent de tester les différentes configurations pour trouver la bonne. C'est un exercice de maths où il faut réfléchir et prendre l'initiative. Et c'est tout à fait normal! J'ai le souvenir que mes camarades de classes réussissaient bien et préféraient largement les factorisations tordues au démonstration en géométrie. En France on abuse avec des exercices guidés à l'outrance et avec les exercices où la méthode à utiliser est TROP évidente.

J'avais donnée dans le thème "Méthode Jedi" le planning des thèmes classe par classe. Le manuel cité demande d'enseigner les factorisations pendant 76 cours en 4e, soit 25 semaines de cours (il y a 3*45min par semaine pour algèbre). Les choses sont reprises et approfondies en 3e (équation du second degré) et très utilisées en 2nd (résolution des inéquations). Avec autant de temps consacré au calcul littéral, il n'est pas étonnant de réussir. Rien que pour la factorisation, on nous a enseigné plus de 10 différentes méthodes (y compris la division  euclidienne des polynômes).

Voilà 4 différents manuels d'algèbre en 4ième (google doc) : un, deux, trois et quatre.

Ou encore les manuels de 3e : un, deux, trois et quatre.

Ce ne sont pas des manuels pour les génies. Ou plutôt ce sont les manuels pour n'importe quel élève d'une classe russe. Qu'il soit très faible en maths ou génie. Ce n'est pas aussi compétitif qu'en Chine, mais il n'est pas envisageable de faire les études à l’université sans avoir les bases solides en maths.

AuriAma a écrit:Alors, pour les trois méthodes de résolution d'équations, la première introduite au collège en général est la multiplication en croix (cross-multiplication). Elle n'est que rarement imprimée dans les bouquins car galère à taper... En gros, pour x^2+3x+2 on commence par trouver les facteurs de x^2 (x et x). Puis on cherche les facteurs possible de 2 (1 et 2 ou -1 et -2 si le prof n'a pas expliqué qu'on regarde le signe du terme du milieu et que du coup on est sur que ce sont des facteurs positifs). Enfin on vérifie qu'en multipliant en croix x fois 2 + x fois 1 on arrive bien à 3x. Et hop, on a la factorisation en lisant "en ligne". Bien évidemment aucune justification n'est demandée sur la copie.

Si je comprends bien, l'idée de cette méthode (qui n'est sans doute pas justifiée à ce niveau) repose sur la factorisation générale du second degré couplée à un peu d'arithmétique, ce qui permet d'obtenir que si f(x)=ax²+bx+c avec a, b et c entiers et que f admet des racines rationnelles, alors on peut écrire f(x)=(a₁x+b₁)(a₂x+b₂) avec a₁ , a₂, b₁ et b₂ entiers tels que a₁a₂=a et b₁b₂=c.
La multiplication en croix serait alors une astuce pour retrouver les bons coefficients parmi les cas possibles qui sont en nombre fini.

cassiopella a écrit:Le raisonnement est le suivant :
1) Soit on décompose la constante pour obtenir la somme au carré moins le nombre au carré :
Impossible dans  exo1, parce que dans 239/16 il n'est pas possible d'avoir le carré parfait pour 239.
Mais c'est possible dans exo2 : x² - 2 (3) x + 3² = (x-3)² Mais il y a 4 de trop qu'il faut retirer. Et 4 c'est 2².

De mon point de vue, l'égalité x² - 2 (3) x + 3² = (x-3)² revient à reconnaître la forme développée d'une identité remarquable, mais je n'ai absolument rien compris à la phrase "on décompose la constante pour obtenir la somme au carré moins le nombre au carré" (décomposer la constante en somme ou en produit ? obtenir la somme au carré, oui mais la somme de quoi ? moins le nombre au carré, mais quel nombre ?) et je ne vois pas trop d'où provient ce 239/16.

cassiopella a écrit:2) Soit on décompose le terme au milieu (-x) de sorte à pouvoir factoriser avec 15 et 2x².  
Si on isole -/+ 3x pour factoriser avec 15: 2x² + 2x -3x -15 = 2x(x+1) - 3(x+5) ou 2x² - 4x +3x -15 = 2x(x-2) +3(x-5)
Cela ne donne rien.
On essaye avec 5x - 6x et 4x - 5x.

Je ne raffole pas de cette méthode qui repose quand même sur beaucoup de tâtonnement parmi un nombre a priori infini de décompositions du terme du milieu (sauf à approfondir un peu le raisonnement pour majorer en fonction de a et c les valeurs absolues des termes d'une décomposition viable pour une telle factorisation) alors qu'il existe des manières de faire plus directement efficaces.

Je vais répondre demain quand j’aurais accès à l’ordi, c’est trop pénible d’écrire sur smartphone : je ne vois pas le texte et je ne vois pas ce que j’écris. Ce n’est pas 239/16...

Concernant le tâtonnement - il n’y a que 4 possibilités (et non infini) et tu le fait dans la tête ou rapidement sur le brouillon. Avec entraînement cela vient rapidement. Et de toute façon comment faire les exercices compliqués, ie sans méthode évidente à utiliser, sans tâtonner ?

Tu parles de la méthode plus directe pour ton exercice. C’est quoi?

cassiopella a écrit:Je vais répondre demain quand j’aurais accès à l’ordi, c’est trop pénible d’écrire sur smartphone : je ne vois pas le texte et je ne vois pas ce que j’écris. Ce n’est pas 239/16...

Concernant le tâtonnement - il n’y a que 4 possibilités (et non infini) et tu le fait dans la tête ou rapidement sur le brouillon. Avec entraînement cela vient rapidement. Et de toute façon  comment faire les exercices compliqués, ie sans méthode évidente à utiliser, sans tâtonner ?

En décrivant la méthode simplement comme

on décompose le terme au milieu (-x) de sorte à pouvoir factoriser avec 15 et 2x².

et sans apporter d'autre précision, rien ne limite a priori le nombre de tentatives de décompositions comme par exemple :

2x²-x-15 = 2x²-2x+x-15 = 2x(x-1)+1(x-15) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-10x+9x-15 =2x(x-5)+3(3x-5) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-16x+15x-15 = 2x(x-8)+15(x-1) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-22x+21x-15 = 2x(x-12)+3(7x-5) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-26x+25x-15 = 2x(x-13)+5(5x-3) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-28x+27x-15 = 2x(x-14)+3(9x-5) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-36x+35x-15 = 2x(x-18)+5(7x-3) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-46x+45x-15 = 2x(x-23)+15(3x-1) qui ne marche pas non plus...
etc...

D'où la nécessité de majorer les termes intervenant dans la décomposition comme je le disais précédemment.

cassiopella a écrit:Tu parles de la méthode plus directe pour ton exercice. C’est quoi?

Si on ne passe pas par la forme canonique ou par le discriminant, qui ne sont peut-être pas des méthodes plus "directes" mais sont plus systématiques, il faut forcément tâtonner un peu ; mais on peut par exemple voir assez vite que 3 est une racine "évidente"  de 2x²-x-15 et donc en déduire qu'on peut factoriser par (x-3) et comparant le coefficient de degré 2 puis la constante, on obtient vite que 2x²-x-15 = (x-3)(2x+5).
Evidemment, cette méthode repose sur le théorème de factorisation à l'aide d'une racine et il contourne la nécessité de faire apparaître un facteur commun alors que c'est peut-être justement l'objectif pédagogique dans le cadre d'un entraînement au calcul algébrique élémentaire.

Moonchild, c'est tout a fait ça sauf qu'on ne fait que des nombres entiers en général... Si les élèves ont suivi le jour où ça a été expliqué, ça va, sinon faut refaire le cours pour que ce soit rattrapable. En 2nde je fais, après... Je "complète le carré" comme j'avais appris en France. Ça a l'avantage de marcher avec tous les nombres même quand c'est pas factorisable et se revoir les identités remarquables.

Cassiopella, je fais cette méthode aussi pour un des deux programmes. Les bons ne veulent pas faire car ils maîtrisent la multiplication en croix, les moins bon pataugent même si ce n'est pas si compliqué. Chez nous c'est appuyé à un joli projet de géométrie / coloriage découpage pour lequel ils ont un tableur Excel qui leur donne toutes les réponses... En bref les x^2 sont des carrés, les x sont des rectangles de longueur x et de largeur 1 et les "1" sont des carrés de côté 1. Prenez en le nombre correspondant à votre équation et bougez le tout jusqu'à ce que vous arriviez à former un rectangle...

Mes principaux problèmes avec ces deux méthodes c'est 1) qu'elles ne sont pas systematisables pour les élèves les plus faibles (étapes claires qu'ils peuvent reproduire à chaque fois à l'identique - oui je sais c'est pas glorieux); 2) cela pose problème quand on a des expressions non factorisables car ils n'arrivent pas à voir / à montrer que ça ne l'est pas, même les meilleurs. Du coup j'ai ceux qui s'entêtent (la prof la donné, ça doit être possible, bon sang je suis nul) et ceux qui pleurent "mais Madame, il est pas possible votre exo"

Pour le bon niveau en maths pour aller à l'université, l'inflation des diplômes étant passée par là, je ne suis pas pour. Mais des maths par pitié ! C'est HS mais pas de maths en tronc commun... Je ne connais pas de pays où ça existe ! Parce que des bacheliers qui ne comprennent pas comment ils finissent dans la m***e à cause des crédits revolving, qui ne savent pas utiliser des formules de calcul d'impôts ou de retraite...

AuriAma a écrit:Mes principaux problèmes avec ces deux méthodes c'est 1) qu'elles ne sont pas systematisables pour les élèves les plus faibles (étapes claires qu'ils peuvent reproduire à chaque fois à l'identique - oui je sais c'est pas glorieux); 2) cela pose problème quand on a des expressions non factorisables car ils n'arrivent pas à voir / à montrer que ça ne l'est pas, même les meilleurs. Du coup j'ai ceux qui s'entêtent (la prof la donné, ça doit être possible, bon sang je suis nul) et ceux qui pleurent "mais Madame, il est pas possible votre exo"

1) Je pense qu'il n'est pas obligatoire que les élèves les plus faibles sachent utiliser la décomposition dans les cas "compliqué" comme ici. Mais il est important qu'ils y soient confrontés. Le plus important c'est de savoir faire le cas basique (forme canonique). Je me souviens qu'on a passé un peu de temps dessus et cela revenais souvent dans les exercices. Oui, ce n'est pas systématique. Mais dans ce cas il y a plus tard la méthode "barbare" de discriminent. Les bons élèves seront tout simplement plus rapide pour résoudre ce genre d'exercices.
2) Hum, tu demandes de factoriser une expression non factorisable? Ou c'est "factoriser si possible"?

Moonchild a écrit:
En décrivant la méthode simplement comme

on décompose le terme au milieu (-x) de sorte à pouvoir factoriser avec 15 et 2x².

Non, bien sur on décrit pas un méthode aux élèves par une phrase. Ici l'astuce est : on veut avoir a*x qui soit factorisable avec 15 de sorte ax+15 = a(x+15/a)... sachant que 15 = 1*15=3*5. On ne va pas factoriser par 1, il reste que +/-3, +/-5 ou +/-15. On commence par le plus petit et le tour est fait rapidement. Si cela ne marche pas, on prend une autre méthode. Je barre les cas inutiles :

2x²-x-15 = 2x²-2x+x-15 = 2x(x-1)+1(x-15) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-10x+9x-15 =2x(x-5)+3(3x-5) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-16x+15x-15 = 2x(x-8)+15(x-1) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-22x+21x-15 = 2x(x-12)+3(7x-5) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-26x+25x-15 = 2x(x-13)+5(5x-3) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-28x+27x-15 = 2x(x-14)+3(9x-5) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-36x+35x-15 = 2x(x-18)+5(7x-3) qui ne marche pas non plus,
2x²-x-15 = 2x²-46x+45x-15 = 2x(x-23)+15(3x-1) qui ne marche pas non plus...
etc...

cassiopella a écrit:Tu parles de la méthode plus directe pour ton exercice. C’est quoi?

Si on ne passe pas par la forme canonique ou par le discriminant, qui ne sont peut-être pas des méthodes plus "directes" mais sont plus systématiques, il faut forcément tâtonner un peu ; mais on peut par exemple voir assez vite que 3 est une racine "évidente"  de 2x²-x-15 et donc en déduire qu'on peut factoriser par (x-3) et comparant le coefficient de degré 2 puis la constante, on obtient vite que 2x²-x-15 = (x-3)(2x+5).
Evidemment, cette méthode repose sur le théorème de factorisation à l'aide d'une racine et il contourne la nécessité de faire apparaître un facteur commun alors que c'est peut-être justement l'objectif pédagogique dans le cadre d'un entraînement au calcul algébrique élémentaire.

Cette méthode est uniquement utilisée en 7e (équivalent 4e) parce que l'équation de second degré n'est pas encore vu. Après soit tu vois très rapidement, soit tu utilises la méthode générale.

cassiopella a écrit:

AuriAma a écrit:Mes principaux problèmes avec ces deux méthodes c'est 1) qu'elles ne sont pas systematisables pour les élèves les plus faibles (étapes claires qu'ils peuvent reproduire à chaque fois à l'identique - oui je sais c'est pas glorieux); 2) cela pose problème quand on a des expressions non factorisables car ils n'arrivent pas à voir / à montrer que ça ne l'est pas, même les meilleurs. Du coup j'ai ceux qui s'entêtent (la prof la donné, ça doit être possible, bon sang je suis nul) et ceux qui pleurent "mais Madame, il est pas possible votre exo"

1) Je pense qu'il n'est pas obligatoire que les élèves les plus faibles sachent utiliser la décomposition dans les cas "compliqué" comme ici. Mais il est important qu'ils y soient confrontés. Le plus important c'est de savoir faire le cas basique (forme canonique). Je me souviens qu'on a passé un peu de temps dessus et cela revenais souvent dans les exercices. Oui, ce n'est pas systématique. Mais dans ce cas il y a plus tard la méthode "barbare" de discriminent. Les bons élèves seront tout simplement plus rapide pour résoudre ce genre d'exercices.
2) Hum, tu demandes de factoriser une expression non factorisable? Ou c'est "factoriser si possible"?

Il me semble qu'avec cette méthode, il est raisonnable de ne donner que des cas factorisables et de bien mentionner que si on choisit un polynôme au hasard, rien ne garantit que ça puisse aboutir.

cassiopella a écrit:

Moonchild a écrit:
En décrivant la méthode simplement comme

on décompose le terme au milieu (-x) de sorte à pouvoir factoriser avec 15 et 2x².

Non, bien sur on décrit pas un méthode aux élèves par une phrase. Ici l'astuce est : on veut avoir a*x qui soit factorisable avec 15 de sorte ax+15 = a(x+15/a)... sachant que 15 = 1*15=3*5. On ne va pas factoriser par 1, il reste que +/-3, +/-5 ou +/-15. On commence par le plus petit et le tour est fait rapidement. Si cela ne marche pas, on prend une autre méthode.
etc...

Pourtant si f(x)=2x²+31x+15, je trouve qu'il est intéressant d'écrire :
f(x)=2x²+30x+x+15=2x(x+15)+1(x+15)=(2x+1)(x+15).
Dans ce cas, ce serait dommage d'exclure par principe la décomposition avec 1 ou -1.


En fait, pour essayer de formaliser un peu, on considère un trinôme f(x)=ax²+bx+c à coefficients entiers pour lequel on cherche une factorisation comme produit de facteurs de degré 1 à coefficients entiers eux aussi, en admettant que cette factorisation existe.
Cette méthode de décomposition revient à chercher un entier d qui permet d'écrire

f(x)=ax²+(b-d)x+dx+c

f(x)=ax(x+(b-d)/a)+d(x+c/d)

en faisant en sorte que c/d soit entier et que, pour pouvoir poursuivre la factorisation, (x+(b-d)/a) soit égal à (x+c/d), autrement dit que (b-d)/a=c/d. Si ça marche, on obtient alors :

f(x)=(ax+d)(x+c/d).

Si c'est bien ça, cette méthode me paraît moins efficace que celle proposée par AuriAma car elle a un cadre plus restreint et elle ne permet pas de trouver autant de factorisations parmi celles qui sont pourtant possibles.
Si je ne me trompe pas, la méthode d'AuriAma est exhaustive dans le sens où, si on n'a oublié aucun cas, et que cela ne marche pas, alors on peut en déduire qu'il n'existe pas de factorisation à coefficients entiers ; tandis que, à moins que j'aie loupé une variante, ta méthode de décomposition, si elle ne marche pas, ne permet pas d'affirmer qu'une telle factorisation n'existe pas.

Pour vérifier ce que je viens de dire, je vous soumets l'exemple de f(x)=6x²+11x+3.