Méthode de Singapour

cassiopella a écrit:

AuriAma a écrit:Mes principaux problèmes avec ces deux méthodes c'est 1) qu'elles ne sont pas systematisables pour les élèves les plus faibles (étapes claires qu'ils peuvent reproduire à chaque fois à l'identique - oui je sais c'est pas glorieux); 2) cela pose problème quand on a des expressions non factorisables car ils n'arrivent pas à voir / à montrer que ça ne l'est pas, même les meilleurs. Du coup j'ai ceux qui s'entêtent (la prof la donné, ça doit être possible, bon sang je suis nul) et ceux qui pleurent "mais Madame, il est pas possible votre exo"

1) Je pense qu'il n'est pas obligatoire que les élèves les plus faibles sachent utiliser la décomposition dans les cas "compliqué" comme ici. Mais il est important qu'ils y soient confrontés. Le plus important c'est de savoir faire le cas basique (forme canonique). Je me souviens qu'on a passé un peu de temps dessus et cela revenais souvent dans les exercices. Oui, ce n'est pas systématique. Mais dans ce cas il y a plus tard la méthode "barbare" de discriminent. Les bons élèves seront tout simplement plus rapide pour résoudre ce genre d'exercices.
2) Hum, tu demandes de factoriser une expression non factorisable? Ou c'est "factoriser si possible"?

Il me semble qu'avec cette méthode, il est raisonnable de ne donner que des cas factorisables et de bien mentionner que si on choisit un polynôme au hasard, rien ne garantit que ça puisse aboutir.

cassiopella a écrit:

Moonchild a écrit:
En décrivant la méthode simplement comme

on décompose le terme au milieu (-x) de sorte à pouvoir factoriser avec 15 et 2x².

Non, bien sur on décrit pas un méthode aux élèves par une phrase. Ici l'astuce est : on veut avoir a*x qui soit factorisable avec 15 de sorte ax+15 = a(x+15/a)... sachant que 15 = 1*15=3*5. On ne va pas factoriser par 1, il reste que +/-3, +/-5 ou +/-15. On commence par le plus petit et le tour est fait rapidement. Si cela ne marche pas, on prend une autre méthode.
etc...

Pourtant si f(x)=2x²+31x+15, je trouve qu'il est intéressant d'écrire :
f(x)=2x²+30x+x+15=2x(x+15)+1(x+15)=(2x+1)(x+15).
Dans ce cas, ce serait dommage d'exclure par principe la décomposition avec 1 ou -1.


En fait, pour essayer de formaliser un peu, on considère un trinôme f(x)=ax²+bx+c à coefficients entiers pour lequel on cherche une factorisation comme produit de facteurs de degré 1 à coefficients entiers eux aussi, en admettant que cette factorisation existe.
Cette méthode de décomposition revient à chercher un entier d qui permet d'écrire

f(x)=ax²+(b-d)x+dx+c

f(x)=ax(x+(b-d)/a)+d(x+c/d)

en faisant en sorte que c/d soit entier et que, pour pouvoir poursuivre la factorisation, (x+(b-d)/a) soit égal à (x+c/d), autrement dit que (b-d)/a=c/d. Si ça marche, on obtient alors :

f(x)=(ax+d)(x+c/d).

Si c'est bien ça, cette méthode me paraît moins efficace que celle proposée par AuriAma car elle a un cadre plus restreint et elle ne permet pas de trouver autant de factorisations parmi celles qui sont pourtant possibles.
Si je ne me trompe pas, la méthode d'AuriAma est exhaustive dans le sens où, si on n'a oublié aucun cas, et que cela ne marche pas, alors on peut en déduire qu'il n'existe pas de factorisation à coefficients entiers ; tandis que, à moins que j'aie loupé une variante, ta méthode de décomposition, si elle ne marche pas, ne permet pas d'affirmer qu'une telle factorisation n'existe pas.

Pour vérifier ce que je viens de dire, je vous soumets l'exemple de f(x)=6x²+11x+3.

J'ai des devoirs sur table avec sujets imposés que je ne choisis pas... L'énoncé dit de factoriser au maximum, et il y a toujours une question qui n'est pas factorisables du tout (et jamais de cas faciles sans coefficient devant le x^2). Les élèves n'ont pas le droit d'utiliser le discriminant pour l'exo de factorisation: j'avais expliqué la méthode la première année que tout le monde avait bien compris et on m'a fait refaire le contrôle en rattrapage...

Le soucis c'est que les "bons" ne savent pas utiliser la multiplication en croix pour justifier leur réponse : ils arrivent à un truc juste ou pas quand ça marche, et si ça ne marche pas je n'ai rien sur la copie et ils prennent 0 à la question. Bref, maintenant on complète le carré obligatoirement et je les informe qu'ils auront 0 si ils font quoi que ce soit d'autre. Stupide... Mais les notes remontent.

@Moonchild,

Il me semble qu'avec cette méthode, il est raisonnable de ne donner que des cas factorisables et de bien mentionner que si on choisit un polynôme au hasard, rien ne garantit que ça puisse aboutir.

Cela va de soi.

Pourtant si f(x)=2x²+31x+15, je trouve qu'il est intéressant d'écrire :

Dans cet exemple cela crie trop qu'il faut factoriser 30 avec 15...

En fait, pour essayer de formaliser un peu

L'objectif est autre ici. On ne cherche pas la méthode efficace partout. Au lieu de formaliser et de donner une n-ième formule à apprendre, on donne plusieurs angles d'attaque, plusieurs approches. Elles ne sont pas généralisables et ne peuvent pas être utilisées partout tout le temps. Comme par exemple la méthode de la division euclidienne qui consiste à trouver une racine évidente (+/-1 , +/-2 ou +/-3) et de diviser par (x-a) où a est la racine évidente.

Ici, c'est à l'élève de réfléchir et prendre l'initiative en décidant quelle approche utiliser. C'est un peu comme les différentes types de raisonnements (direct, cas par cas, contraposée, absurde, contre-exemple, récurrence). Ou encore en géométrie : pour prouver que la somme des angles dans le triangle vaut 180°, on construit une droite parallèle au côté qui passe par le sommet opposé à ce côté. Dans n'importe quelle figure tu peux faire passer une telle droite, mais sera-elle utile pour résoudre et démontrer?
Je pense que c'est pour cela que la factorisation et ces méthodes sont enseignées en 4e et l'équation de second degré un an plus tard. Si on commence par donner le cas général, les élèves ne vont pas s'embêter à apprendre autre chose.

Tout cela dépend de l'objectif du cours de maths. En Russie, ils entrainent les élèves à réfléchir et prendre l’initiative. Du coup apprendre toutes les formules par cœur n'est pas utile. Il suffit qu'apprendre quelques unes incontournables. Faut-il avoir cet approche? Je pense que oui. Parce qu'on ne peut pas donner que les exercices types, que des exercices guidés à l'outrance et de dire chaque fois sur quoi portera les exercices du contrôle/examen.  Parce que dans ce cas les élèves n'avancent plus et sont toujours bloqués sur des exercices simples, comme les équations linéaires.

Cette méthode de décomposition revient à chercher un entier d qui permet d'écrire

f(x)=ax²+(b-d)x+dx+c

f(x)=ax(x+(b-d)/a)+d(x+c/d)

en faisant en sorte que c/d soit entier et que, pour pouvoir poursuivre la factorisation, (x+(b-d)/a) soit égal à (x+c/d), autrement dit que (b-d)/a=c/d. Si ça marche, on obtient alors :

f(x)=(ax+d)(x+c/d).

Hum... et si je demande de factoriser 4x⁴ - 7x³+3x ?

AuriAma a écrit:Alors, pour les trois méthodes de résolution d'équations, la première introduite au collège en général est la multiplication en croix (cross-multiplication). Elle n'est que rarement imprimée dans les bouquins car galère à taper... En gros, pour x^2+3x+2 on commence par trouver les facteurs de x^2 (x et x). Puis on cherche les facteurs possible de 2 (1 et 2 ou -1 et -2 si le prof n'a pas expliqué qu'on regarde le signe du terme du milieu et que du coup on est sur que ce sont des facteurs positifs). Enfin on vérifie qu'en multipliant en croix x fois 2 + x fois 1 on arrive bien à 3x. Et hop, on a la factorisation en lisant "en ligne". Bien évidemment aucune justification n'est demandée sur la copie.

Pour l'avoir à faire en classe (c'est aussi ce qu'apprennent les chinois au collège), c'est génial pour ceux qui voient et ont bien acquis le truc sur des exemples simples, mis c'est absolument terrible avec des expressions plus compliquée et des élèves qui ne voient pas.

Explication en video:


Il me semble l'avoir vue dans un livre avec plusieurs essais: on fait le tableau avec toutes les factorisations possibles du terme en x² et du terme sans x, jusqu'à trouver le bon.

C'est exactement le même principe que la méthode produit-somme, la présentation "en tableau" donnant la factorisation directement sans avoir à faire les deux étapes à la main.

La méthode produit-somme vient «naturellement» si on cherche comment remonter le développement de (a x + b)(c x + d). On se rend vite compte que les quatres termes de ac x² + ad x + bc x + bd vérifient l'égalité des produits entre les deux à l'éxtérieur et les deux à l'intérieur. Le reste vient facilement.

Il est assez facile de montrer que cette méthode donne une factorisation en nombres entiers s'il y en a. Autrement dit, si la méthode ne marche pas, c'est soit qu'il n'y a pas de factorisation du tout, soit que la factorisation utilise des racines carrées.

cassiopella a écrit:
Hum... et si je demande de factoriser 4x⁴ - 7x³+3x ?

4 x⁴-7.x^3+3.x = x (4 x³ - 7.x² + 3)

Et ensuite, si on a loupé la racine évidente, on applique la méthode de factorisation du polynôme du troisième degré: