Exercice d'introduction aux équations.

Mathador a écrit:

neo-fit a écrit:

Anaxagore a écrit:Parfois je fais représenter des expressions algébriques par des arbres. Ça peut éclairer certains.

Serait-il possible d'avoir un exemple ?

Trouvé sur le net:

En Lisp
(/ (+ (/ (* 7 4) 2) (* (- 6 4)(* 4 3))) (- (+ (* 5 8)(* (- 7 1) 2))(* 5 10)))

En Forth
7 4 * 2 / 6 4 - 4 3 * * + 5 8 * 7 1 - 2 * + 5 10 * - /

Quand on fait trouver le nombre qu'il faut mettre dans le carré à des cours élémentaires, ce n'est pas une introduction aux équations ?

"carré" + 4 = 7 ; qu'y a-t-il dans "carré" ?

De toute façon, les équations se ramènent directement à la définition de la soustraction et/ou de la division tant que l'on atteint pas le stade du ax+b=cx+d.

Bonjour,
je suis très étonnée de ce que je lis sur les bouquins en p1. Pour moi, le "faire passer" est à bannir, et source d'énormes confusions comme dit plus haut. C'est systématique, à chaque fois qu'un élève utilise l'expression "faire passer" pour m'expliquer sa démarche dans une résolution d'équation/inéquation, je me rends compte d'une confusion addition/multiplication.

Mathador a écrit:De toute façon, les équations se ramènent directement à la définition de la soustraction et/ou de la division tant que l'on atteint pas le stade du ax+b=cx+d.

Oui mais non. Enfin pas trop.

Comme la plupart des constructions mathématiques, les équations n'apportent rien en elles-même, au sens où on pourrait effectivement faire autrement et l'enjeu n'est pas dans l'idée d'avoir une méthode qui permette de résoudre des problèmes qu'on ne peut pas résoudre sans.

Il y a d'ailleurs, dans le Perelmann, un problème plus simple à résoudre sans équations qu'avec.

L'intérêt de la mise en équation est dans la représentation abstraite (c'est à dire indépendante de la surface du problème) des relations présentes dans le problème. Et cette représentation abstraite peut ensuite s'étendre à plusieurs inconnues, aux inéquations, aux représentations des figures du plan (équations de droite, de cercle, etc).  

Je ne pense donc pas que l'enjeu du passage par l'algébrisation soit dans tel type de problème ou tel autre. Mettre en équation un problème aussi simple que

6 crayons coûtent 1€20, combien coûte un crayon ?

me semble une activité intéressante pour le passage à l'algèbre.

Il y a une difficulté qu'il ne faut pas sous-estimer. Les élèves ont pris l'habitude, depuis le primaire, de résoudre un problème en indiquant, les unes après les autres, les opérations à faire pour obtenir in fine la solution. Avec le passage par les équations on leur demande non plus d'indiquer les opérations à effectuer pour résoudre le problème mais les opérations qui lient les nombres indiqués dans l'énoncé.

Par exemple dans le problème ci-dessus, un élève de primaire normalement constitué écrira:

6 crayons coûtent 1,20€, donc je divise par 6:
1,20€ ÷ 6 = 0,20€

Tandis qu'un élève de collège qui travaille avec les équations est censé écrire:

Soit x le prix d'un crayon.

On a 6x = 1,20

Il y a donc un double étage à franchir: la représentation algébrique des relations et le passage par une relation qui représente le problème au lieu d'indiquer directement les étapes de résolution.

C'est un des avantages de la méthode des blocs (aka Singapour) dont je parlais ci-dessus: on passe par une représentation déjà abstraite des relations entre les nombres du problème avant de passer à l'algèbre. Un des deux étages (le passage par une représentation du problème) est fait au primaire, il n'y a plus que l'algébrisation à faire ensuite.

Edit: j'ajoute que Singapour ou pas, il n'y a pas d'algébrisation possible sans maîtrise arithmétique des résolutions de problème ni sans maîtrise du calcul littéral. Ce sont des prérequis essentiels.

Carrie7 a écrit:Bonjour,
je suis très étonnée de ce que je lis sur les bouquins en p1. Pour moi, le "faire passer" est à bannir, et source d'énormes confusions comme dit plus haut. C'est systématique, à chaque fois qu'un élève utilise l'expression "faire passer" pour m'expliquer sa démarche dans une résolution d'équation/inéquation, je me rends compte d'une confusion addition/multiplication.

Ayant appris à faire passer un terme en changeant son signe, je ne serais pas si catégorique.

Mais:
- cela implique d'avoir fait la différence entre terme et facteur,
- cela implique de savoir de manière fluide que changer de signe un terme revient à le soustraire

Je pense que le problème est d'abord dans le manque de maîtrise du calcul littéral. Sans cette maîtrise, que tu dises aux élèves qu'il est hors de question de faire passer, on soustrait des deux côtés, ou que tu leur dises qu'on fait passer en changeant de signe, cela ne change pas grand chose: ils finissent par se planter parce qu'ils ne savent pas calculer.

ycombe a écrit: que tu dises aux élèves qu'il est hors de question de faire passer, on soustrait des deux côtés, ou que tu leur dises qu'on fait passer en changeant de signe, cela ne change pas grand chose.

S'agit-il bien de l'un ou de l'autre : ne faut-il pas utiliser la première proposition pour expliquer la seconde ?

Dhaiphi a écrit:

ycombe a écrit: que tu dises aux élèves qu'il est hors de question de faire passer, on soustrait des deux côtés, ou que tu leur dises qu'on fait passer en changeant de signe, cela ne change pas grand chose.

S'agit-il bien de l'un ou de l'autre : ne faut-il pas utiliser la première proposition pour expliquer la seconde ?

Oui bien sûr: si on apprend la seconde terminologie aux élèves, il faut la justifier par la première.

Dhaiphi a écrit:

ycombe a écrit: que tu dises aux élèves qu'il est hors de question de faire passer, on soustrait des deux côtés, ou que tu leur dises qu'on fait passer en changeant de signe, cela ne change pas grand chose.

S'agit-il bien de l'un ou de l'autre : ne faut-il pas utiliser la première proposition pour expliquer la seconde ?

Pas forcément; l'équivalence entre x+2=y et x=y-2 découle directement de la définition de la soustraction.

J'avoue :
après avoir rappelé pendant 4 mois que non, on ne dit pas "je passe de l'autre côté donc je change de signe", qu'on évite même le simple "je passe de l'autre côté", qu'on dit plutôt "je veux éliminer ce terme de ce côté, qu'est-ce que je dois faire"....
et bien aujourd'hui quand je me retrouve à résoudre (x-1)/(2x+3) < 2, et bien ça m'échappe : "on passe tout à gauche pour se retrouver avec .... <0".

Mais à ce stade, on n'en est plus aux bases, donc passer par des raccourcis verbaux ne me choque pas...

D’accord avec Pat B. Il y a un temps pour tout!

Pat B a écrit:J'avoue :
après avoir rappelé pendant 4 mois que non, on ne dit pas "je passe de l'autre côté donc je change de signe", qu'on évite même le simple "je passe de l'autre côté", qu'on dit plutôt "je veux éliminer ce terme de ce côté, qu'est-ce que je dois faire"....
et bien aujourd'hui quand je me retrouve à résoudre (x-1)/(2x+3) < 2, et bien ça m'échappe : "on passe tout à gauche pour se retrouver avec .... <0".

Mais à ce stade, on n'en est plus aux bases, donc passer par des raccourcis verbaux ne me choque pas...

"on forme la différence qu'on va factoriser pour utiliser les règles des signes"

Badiste75 a écrit:D’accord avec Pat B. Il y a un temps pour tout!

Ah mais d'accord aussi avec vous deux... Mais pas avant une looooongue période à répéter en classe "je soustrais de chaque côté", et "je multiplie chaque côté". (Et seulement quand je suis pressée ou fatiguée)
Je ne suis pas très maniaque en général je crois, mais là dessus, j'ai vraiment remarqué plusieurs fois que c'était source de grosses confusions.
Et que forcer l'élève à poser un terme plus précis lui permet d'arriver au résultat juste, si son cas n'est pas encore trop désespéré.
Mais bon, j'enseigne dans un établissement de très bon niveau, donc des élèves qui ne savent pas calculer il y en a, mais ce n'est pas la majorité.

Carrie7 a écrit:Je ne suis pas très maniaque en général je crois, mais là dessus, j'ai vraiment remarqué plusieurs fois que c'était source de grosses confusions.
Et que forcer l'élève à poser un terme plus précis lui permet d'arriver au résultat juste.

 

Mais bon, j'enseigne dans un établissement de très bon niveau

De niveau "suffisant" pour appréhender le programme (voire quelques finesses).  
Pour les "autres" aucune méthode ne permet de construire sur du sable. Chercher auprès des gourous du pédagogisme quelque méthode miracle n'est que pure perte de temps.

Carrie7 a écrit:Mais pas avant une looooongue période à répéter en classe "je soustrais de chaque côté", et "je multiplie chaque côté".

Le risque est que les élèves, ensuite, n'hésitent pas à multiplier tous les termes en faisant comme dans les équations:
0,5x²-x =  2×0,5x² - 2×x = x²-2x
(Je l'ai vu en première S).

Je pense qu'insister lourdement sur le "je soustrais de chaque côté" et "je multiplie chaque côté" ne marche pas. Ça fait bien 25 ans qu'on le fait et le résultat n'y est pas. Si les élèves sont à peu près à l'aise en calcul littéral, ils n'en ont pas besoin et sinon, il vont faire n'importe quoi en le généralisant mal à propos.

Un autre problème est qu'en faisant cela, on se préoccupe d'insister sur l'étape de calcul elle-même et pas sur comment on la trouve.

3 ( x- 7) = 8 x + 12

On ajoute 7 des deux côtés. Ben oui, on a tellement insisté pour ajouter des deux côtés que c'est le premier réflexe. Je ne pense pas que ça soit la faute de l'élève si le premier réflexe à avoir n'est pas celui qu'on lui a donné.

Le calcul littéral est un prérequis. Il faut le rendre fluide avant de s'attaquer aux équations. Inutile, vraiment, de se demander comment enseigner les équations si on ne s'est pas préoccupé en premier d'enseigner jusqu'à la maîtrise le calcul littéral. Les élèves qui auraient à gérer la réflexion sur les deux en même temps vont partir en surcharge cognitive.

Carrie7 a écrit:

Badiste75 a écrit:D’accord avec Pat B. Il y a un temps pour tout!

Ah mais d'accord aussi avec vous deux... Mais pas avant une looooongue période à répéter en classe "je soustrais de chaque côté", et "je multiplie chaque côté". (Et seulement quand je suis pressée ou fatiguée)
Je ne suis pas très maniaque en général je crois, mais là dessus, j'ai vraiment remarqué plusieurs fois que c'était source de grosses confusions.
Et que forcer l'élève à poser un terme plus précis lui permet d'arriver au résultat juste, si son cas n'est pas encore trop désespéré.
Mais bon, j'enseigne dans un établissement de très bon niveau, donc des élèves qui ne savent pas calculer il y en a, mais ce n'est pas la majorité.

Je pense que la solution pour raccourcir ces longues phrases, c'est de résoudre à la façon "allemande" comment l'avait montré @ben2510 :

2x +5 = 3x-7    | -3x - 5
2x + 5 - 3x - 5 = 3x - 7 - 3x - 5 (optionnel)
-x = -12   | : -1
x = 12
Vérification (obligatoire au collège, optionnel au lycée) :
2*12 + 5 = 3*12 - 7
29 = 29
Réponse :  x=12

A l'oral on dit par exemple "j'élimine +5 à gauche et 3x à droite", voir "je passe de à gauche / à droite. Je ne sais pas si la méthode est allemande, mais nous, on l'utilisaient en cours et je le fais avec les étudiants par habitude. Je me souviens aussi que ce n'était pas toujours "les inconnus à gauche, le reste à droite". Dans l'exemple plus haut, le plus rapide c'est de passer 2x à droite et -7 à gauche.

@ycombe, je suis d'accord avec toi, qu'il faut passer d'abord par le calcul littéral pendant plusieurs mois et que après les équations. Il y a beaucoup de chose à faire avec le calcul littéral, plein d'astuces à voire. P.ex. (x-3) = -(3-x) ou (a-b)² = (b-a)², ou encore (x-3)/(5-x) = (3-x)/(x-5). Les puissances et ne se limite pas au carré et cube!

3 ( x- 7) = 8 x + 12

On ajoute 7 des deux côtés.

On peut !
On arrive sur l'équation 3(x-7)+7=8x+19.
Le problème est le celui de la simplification abusive.
Ce matin en TES, j'ai eu droit à 12e^(-2)+8 simplifié en 20e^(-2), par exemple.

ycombe a écrit:

Carrie7 a écrit:Mais pas avant une looooongue période à répéter en classe "je soustrais de chaque côté", et "je multiplie chaque côté".

Le risque est que les élèves, ensuite, n'hésitent pas à multiplier tous les termes en faisant comme dans les équations:
0,5x²-x =  2×0,5x² - 2×x = x²-2x
(Je l'ai vu en première S).

Je pense qu'insister lourdement sur le "je soustrais de chaque côté" et "je multiplie chaque côté" ne marche pas. Ça fait bien 25 ans qu'on le fait et le résultat n'y est pas. Si les élèves sont à peu près à l'aise en calcul littéral, ils n'en ont pas besoin et sinon, il vont faire n'importe quoi en le généralisant mal à propos.

Un autre problème est qu'en faisant cela, on se préoccupe d'insister sur l'étape de calcul elle-même et pas sur comment on la trouve.

3 ( x- 7) = 8 x + 12

On ajoute 7 des deux côtés. Ben oui, on a tellement insisté pour ajouter des deux côtés que c'est le premier réflexe. Je ne pense pas que ça soit la faute de l'élève si le premier réflexe à avoir n'est pas celui qu'on lui a donné.

Le calcul littéral est un prérequis. Il faut le rendre fluide avant de s'attaquer aux équations. Inutile, vraiment, de se demander comment enseigner les équations si on ne s'est pas préoccupé en premier d'enseigner jusqu'à la maîtrise le calcul littéral. Les élèves qui auraient à gérer la réflexion sur les deux en même temps vont partir en surcharge cognitive.

Pour moi ce sont deux problèmes différents. Mais je peux me tromper
Pour le deuxième souci, qui est celui des priorités et enchaînements, j'aime bien les faire beaucoup travailler sur des schémas avec des flèches. au collège comme en seconde.
C'est un domaine dans lequel l'algo a un apport pas idiot.

"Faire passer de l'autre côté" est une sorte d'abus de langage (et encore on peut aussi le voir comme l'application d'une propriété) c'est acceptable entre personnes qui savent de quoi elles parlent. C'est pareil quand on simplifie une fraction par 2, on dit souvent que l'on divise par 2, mais en 6ème / 5ème je reprends souvent les élèves et je n'accepte pas qu'on écrive 4/6 :2 = 2/3.
Pour les équations c'est pareil, il y a un cheminement, il ne faut pas sauter les étapes et rendre les élèves automates. On voit le même problème avec la proportionnalité et la méthode des produits en croix. Les parents voudraient proposer leur méthode qui marche bien a des enfants qui sont en train de découvrir la notion de proportionnalité et cela peut produire des effets pervers car cette technique est efficace seulement quand on a bien compris la notion.

C'est comme mes élèves qui me disent : « Monsieur on a trouvé une vidéo youtube on a tout compris c'est beaucoup plus simple que votre méthode ».

Oui mais non, cette vidéo simplifie trop les choses, du coup vous pensez avoir compris mais sur un exemple plus complexe vous ne saurez pas faire ...

Matheod a écrit:C'est comme mes élèves qui me disent : « Monsieur on a trouvé une vidéo youtube on a tout compris c'est beaucoup plus simple que votre méthode ».

Oui mais non, cette vidéo simplifie trop les choses, du coup vous pensez avoir compris mais sur un exemple plus complexe vous ne saurez pas faire ...

Personnellement, dans les quelques vidéos youtube type "Les Bons Profs" ou autres que j'ai pues consulter, ce que j'ai vu est surtout des explications très magistrales et très classiques, proche de celles que j'aurais pu donner et que la majorité des collègues auraient pu, je pense, donner...

Donc, quand je vois des élèves me dire qu'ils ont trouvé une vidéo sur Youtube avec laquelle ils comprennent mieux, ou poster un commentaire Youtube pour dire qu'avec leur prof ils n'avaient rien compris, mais que là ils ont compris en cinq minutes je me dis que deux hypothèses sont possibles.

1) La majorité des profs de maths français, moi compris, sont absolument nuls. Nuls au point de ne pas savoir expliquer correctement une notion élémentaire niveau lycée.

2) Les élèves en échec cherchent surtout tous les prétextes possibles pour éviter d'écouter leur cours de maths, et n'admettent pas que celui-ci contient en fait l'essentiel des réponses à leurs questions.

(J'ai lu avec intérêt toutes les contributions de la discussion sur la résolution des équations et le calcul algébrique. Je n'ai pas le temps de mettre en forme toutes mes idées sur le domaine, mais il faudrait effectivement revenir sur les méthodes à employer pour faire automatiser ce calcul aux élèves, l'absence de cette automatisation étant devenu la cause d'échec principale au lycée.)

Prezbo a écrit:Donc, quand je vois des élèves me dire qu'ils ont trouvé une vidéo sur Youtube avec laquelle ils comprennent mieux, ou poster un commentaire Youtube pour dire qu'avec leur prof ils n'avaient rien compris, mais que là ils ont compris en cinq minutes je me dis que deux hypothèses sont possibles.

1) La majorité des profs de maths français, moi compris, sont absolument nuls. Nuls au point de ne pas savoir expliquer correctement une notion élémentaire niveau lycée.

2) Les élèves en échec cherchent surtout tous les prétextes possibles pour éviter d'écouter leur cours de maths, et n'admettent pas que celui-ci contient en fait l'essentiel des réponses à leurs questions.

3) Les élèves savent que la vidéo ne s'interrompra pas s'ils font les andouilles, donc se calment, écoutent mieux et comme par magie, comprennent mieux.
Et pour ceux qui regardent chez eux, il peuvent revenir en arrière lorsqu'ils décrochent ponctuellement, cela peut aider aussi.

Mathador a écrit:

Prezbo a écrit:Donc, quand je vois des élèves me dire qu'ils ont trouvé une vidéo sur Youtube avec laquelle ils comprennent mieux, ou poster un commentaire Youtube pour dire qu'avec leur prof ils n'avaient rien compris, mais que là ils ont compris en cinq minutes je me dis que deux hypothèses sont possibles.

1) La majorité des profs de maths français, moi compris, sont absolument nuls. Nuls au point de ne pas savoir expliquer correctement une notion élémentaire niveau lycée.

2) Les élèves en échec cherchent surtout tous les prétextes possibles pour éviter d'écouter leur cours de maths, et n'admettent pas que celui-ci contient en fait l'essentiel des réponses à leurs questions.

3) Les élèves savent que la vidéo ne s'interrompra pas s'ils font les andouilles, donc se calment, écoutent mieux et comme par magie, comprennent mieux.

4) les élèves n'ont toujours rien compris et s'en foutent mais comme il faut bien qu'il y ait un responsable et que ça ne peut pas être eux, il n'y a qu'à dire que le prof n'explique pas bien.

Effectivement, c'est ce que j'appelle le « théorème du foot »: si une équipe gagne, c'est que les joueurs sont bons, et si elle perd, c'est que l'entraîneur est mauvais.