Je fais des maths pour le plaisir

Chers collègues de maths,

Après lecture (et participation) de fils comme ceux sur le regrets ou les rêves, celui initié par une collègue sur son apprentissage du grec ancien, je me lance aussi un défi à moi-même : je fais des maths, sérieusement, pour le plaisir et pour me tester aussi. J'ai envie de savoir si je suis réellement motivé par les maths et je peux éventuellement envisager la préparation d'une licence dans ce domaine. Comme je ne peux pas m'inscrire à la fac (trop loin d'une université, présence de cours de physique dans les cours de première année, etc.), je commence par travailler chez moi, seul, avec un manuel édité chez Dunod (Mathématiques. Tout-en-un pour la licence. Niveau 1). Je me dis que si je ne parviens pas à m'investir réellement dans ce projet, je pourrais toujours revendre le manuel et je n'aurais plus de regrets d'avoir fait de l'économie théorique et pas des mathématiques.

Là je suis en train de plancher sur le chapitre sur la théorie des ensembles, les fondements du langage mathématiques et les bases de logique. J'ai fait un exercice qui fait suite à "l'axiome et définition 5" portant sur la définition en extension. L'exercice consiste à donner une condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait {a_1,…,a_n }={a}. J'ai trouvé la solution (il faut et il suffit que pour tout i, a_i = a) mais je ne suis pas sûr de ma rédaction : que dois-je corriger ?

Soient E = {a_1, ..., a_n} et F = {a}
Par définition de E, on a : qq soit x, x appartient à E ssi x = a_i, i appartenant à {1,..., n}
Par définition de F, on a : qq soit x, x appartient à F ssi x = a
d'où (qq soit i, a_i = a) => (qq soit x, x appartient à E ssi x appartient à F)
d'où, en appliquant l'axiome d'extensionalité, E = F soit {a_1, ..., a_n} = {a}

Supposons {a_1, ..., a_n} = {a}
alors, qq soit x, x appartient à E ssi x appartient à F
donc qq soit x et qq soit i dans {1,...,n}, x = a_i ssi x = a
donc qq soit x et qq soit i, x = a_i = a
donc qq soit i, a_i = a

donc (qq soit i, a_i = a) <=> ((qq soit x, x appartient à E ssi x appartient à F) => E = F)

C'est difficile de dire si une preuve mettant en jeu à ce niveau de détail {a_1, ..., a_n} est rigoureuse/bien rédigée faute d'avoir une définition rigoureuse de {a_1, ..., a_n}.

Si le livre ne donne pas une définition formelle de {a_1, ..., a_n} (autre que « l'ensemble dont les éléments sont a_1, ..., a_n »), je ne vois pas bien comment on peut résoudre la circularité conceptuelle apparente dans x appartient à {a_1, ..., a_n} ssi x = a_i, i appartenant à {1,..., n}.

À part cela, je pense que la rédaction serait plus lisible en décomposant les phrases quantifiées ; on verrait mieux l'exploitation de l'axiome d'extensionnalité.

tiptop77 a écrit:

kestufoulà, aussi !

Je vais me balader, mais après je reviens, ça me plait ce topic !

Chacun sa passion !
Ils sont où les symboles + - x / ???? Je me limite à ça !

JEMS a écrit:Chacun sa passion !
Ils sont où les symboles + - x / ???? Je me limite à ça !

Il est vrai que ce genre de sujet relève en fait davantage de la logique que des mathématiques ; la démonstration n'y est pas un outil pour éprouver des propriétés sur des objets mais constitue l'objet même de l'étude.

Tiens, moi aussi je fais des maths pour le plaisir,

Deux ensembles sont égaux ssi il y a double inclusion.

Donc si tu pars de E = {a_1, ..., a_n}
pour tout i ai=a

Si tu pars de F = {a}
il existe un i tel que a = ai

donc pour tout i ai=a est cns.

Petit aparté :
Pour comprendre les ensembles seul, je ne connais rien de mieux que les "Queysanne-Revuz série rouge"
http://manuelsanciens.blogspot.fr/2013/01/queysanne-revuz-serie-rouge.html
Il n'y a malheureusement que le 3e mais les autres niveaux 6e à 4e sont trouvables en occasion.

Paille.

e1654d a écrit:C'est difficile de dire si une preuve mettant en jeu à ce niveau de détail {a_1, ..., a_n} est rigoureuse/bien rédigée faute d'avoir une définition rigoureuse de {a_1, ..., a_n}.

Si le livre ne donne pas une définition formelle de {a_1, ..., a_n} (autre que « l'ensemble dont les éléments sont a_1, ..., a_n »), je ne vois pas bien comment on peut résoudre la circularité conceptuelle apparente dans x appartient à {a_1, ..., a_n} ssi x = a_i, i appartenant à {1,..., n}.

Dans l'exercice, le livre ne donne que ça comme définition de {a_1, ..., a_n} après avoir donné un axiome définissant l'ensemble dont les seuls éléments sont a_1, ..., a_n comme l'ensemble, unique, noté {a_1, ..., a_n}.

Pour la circularité, je crois que je comprends le problème que tu soulèves, mais je ne savais pas comment écrire la condition sans préciser "les valeurs" prises par i

e1654d a écrit:À part cela, je pense que la rédaction serait plus lisible en décomposant les phrases quantifiées ; on verrait mieux l'exploitation de l'axiome d'extensionnalité.

Je ne sais pas trop comment faire là non plus : j'ai cherché un éditeur d'équation ligne mais je n'arrive pas à y trouver les quantificateurs.

Ça ne m'est jamais arrivé affraid

L'énonce n'est pas très clair. Quand il y a condition nécessaire et suffisante, elle est toujours "une", par définition.

Je m'explique.
Si A est une condition nécessaire, et si B est une condition suffisante, alors (A et B) est une condition nécessaire et suffisante.
Mieux, on peut avoir deux propositions logiques C et D telles que (C et D) soit condition nécessaire suffisante alors que ni C ni D n'est condition nécessaire ou suffisante.

On voit donc qu'il n'y a donc pas unicité de la réponse, simplement équivalence entre les différentes réponses.

On pourrait proposer aussi :
((pour tout i de I, a_i = a_1) et (il existe k de I tel que a_k = a))

ou

(({a_1, ... , a_n} inclus dans {a}) et ({a} inclus dans {a_1, ... , a_n}))

JPhMM a écrit:inclus dans

pailleauquebec a écrit:double inclusion

Je ne sais pas si l'inclusion est déjà définie à ce stade du livre. L'égalité d'ensembles par double inclusion est la vision « haut niveau » de l'axiome d'extensionnalité ; je ne pense pas que ce soit ce qui est attendu dans un exercice venant immédiatement apr_s l'énoncé de cet axiome.

Laverdure a écrit:Dans l'exercice, le livre ne donne que ça comme définition de {a_1, ..., a_n}

C'est largement suffisant pour faire des math.

Pour la circularité, je crois que je comprends le problème que tu soulèves, mais je ne savais pas comment écrire la condition sans préciser "les valeurs" prises par i

On ne peut pas, en effet. Ce qui pose problème, ce sont les points de suspension.

e1654d a écrit:À part cela, je pense que la rédaction serait plus lisible en décomposant les phrases quantifiées ; on verrait mieux l'exploitation de l'axiome d'extensionnalité.

Je ne sais pas trop comment faire là non plus : j'ai cherché un éditeur d'équation ligne mais je n'arrive pas à y trouver les quantificateurs.

Je ne pensais pas à une notation typographique, mais simplement à détailler les preuves mettant en jeu les quantificateurs.

Par exemple, supposons E = F et montrons que les a_i sont tous égaux à a.

Soit i ∊ {1,…,n}.

∀ x, x∊ E ⇔ x∊ F,
donc a_i ∊ E ⇔ a_i ∊ F.

Or a_i ∊ E, donc a_i ∊ F.
Ainsi, a_i = a.

Finalement, ∀ i ∊ {1,…, n}, a_i = a.

JPhMM a écrit:L'énonce n'est pas très clair. Quand il y a condition nécessaire et suffisante, elle est toujours "une", par définition.

Je m'explique.
Si A est une condition nécessaire, et si B est une condition suffisante, alors (A et B) est une condition nécessaire et suffisante.
Mieux, on peut avoir deux propositions logiques C et D telles que (C et D) soit condition nécessaire suffisante alors que ni C ni D n'est condition nécessaire ou suffisante.

On voit donc qu'il n'y a donc pas unicité de la réponse, simplement équivalence entre les différentes réponses.

On pourrait proposer aussi :
((pour tout i de I, a_i = a_1) et (il existe k de I tel que a_k = a))

ou

(({a_1, ... , a_n} inclus dans {a}) et ({a} inclus dans {a_1, ... , a_n}))

Je comprends ce que tu veux dire mais alors je ne vois pas pourquoi l'énoncé n'est pas clair : parce qu'il est dit "donner une condition nécessaire et suffisante" et que j'ai dit avoir trouver "la" solution ? Il aurait fallu que l'énoncé soit formulé ainsi : "à quelle condition a-t-on l'égalité suivante... ?"

Sinon, oui, en effet, je n'avais pas envisagé les autres solutions que tu indiques.

e1654d a écrit:

JPhMM a écrit:inclus dans

pailleauquebec a écrit:double inclusion

Je ne sais pas si l'inclusion est déjà définie à ce stade du livre. L'égalité d'ensembles par double inclusion est la vision « haut niveau » de l'axiome d'extensionnalité ; je ne pense pas que ce soit ce qui est attendu dans un exercice venant immédiatement apr_s l'énoncé de cet axiome.
Non l'inclusion n'est pas encore définie à ce stade du livre (là j'y suis et j'ai réussit à retrouver des démonstrations vues en prépa des propriétés de l'inclusion et de l'intersection)

Laverdure a écrit:Dans l'exercice, le livre ne donne que ça comme définition de {a_1, ..., a_n}

C'est largement suffisant pour faire des math.

Pour la circularité, je crois que je comprends le problème que tu soulèves, mais je ne savais pas comment écrire la condition sans préciser "les valeurs" prises par i

On ne peut pas, en effet. Ce qui pose problème, ce sont les points de suspension.
Le livre explique justement, après cet exercice, que par un abus de langage/de notation, on s'autorise "les définitions en extension incomplètes".

e1654d a écrit:À part cela, je pense que la rédaction serait plus lisible en décomposant les phrases quantifiées ; on verrait mieux l'exploitation de l'axiome d'extensionnalité.

Je ne sais pas trop comment faire là non plus : j'ai cherché un éditeur d'équation ligne mais je n'arrive pas à y trouver les quantificateurs.

Je ne pensais pas à une notation typographique, mais simplement à détailler les preuves mettant en jeu les quantificateurs.

Par exemple, supposons E = F et montrons que les a_i sont tous égaux à a.

Soit i ∊ {1,…,n}.

∀ x, x∊ E ⇔ x∊ F,
donc a_i ∊ E ⇔ a_i ∊ F.

Or a_i ∊ E, donc a_i ∊ F.
Ainsi, a_i = a.

Finalement, ∀ i ∊ {1,…, n}, a_i = a
C'est très différent de ce que je faisais ? Je pensais avoir mis les quantificateurs en disant qq soit ou bien ssi

Oui, ∀ ou qq soit c'est pareil ; mais là je détaille et mes déductions se font sur des propriétés élémentaires sans quantificateur : je fixe un i quelconque et je travaille avec ; à la fin j'en déduis que ce que j'ai fait est valable pour tout i puisque i était quelconque.

Ça évite de trainer des ∀ x machin donc ∀ x truc donc ∀ x bidule.

Un pur régal :
http://bkristof.free.fr/methodologie/Petit%20manuel%20de%20bonne%20redaction.pdf
http://bkristof.free.fr/coursexercices/Cours%20-%20Raisonner,%20rediger.pdf

Merci au collègue veneration

Laverdure a écrit:

JPhMM a écrit:L'énonce n'est pas très clair. Quand il y a condition nécessaire et suffisante, elle est toujours "une", par définition.

Je m'explique.
Si A est une condition nécessaire, et si B est une condition suffisante, alors (A et B) est une condition nécessaire et suffisante.
Mieux, on peut avoir deux propositions logiques C et D telles que (C et D) soit condition nécessaire suffisante alors que ni C ni D n'est condition nécessaire ou suffisante.

On voit donc qu'il n'y a donc pas unicité de la réponse, simplement équivalence entre les différentes réponses.

On pourrait proposer aussi :
((pour tout i de I, a_i = a_1) et (il existe k de I tel que a_k = a))

ou

(({a_1, ... , a_n} inclus dans {a}) et ({a} inclus dans {a_1, ... , a_n}))

Je comprends ce que tu veux dire mais alors je ne vois pas pourquoi l'énoncé n'est pas clair : parce qu'il est dit "donner une condition nécessaire et suffisante" et que j'ai dit avoir trouver "la" solution ? Il aurait fallu que l'énoncé soit formulé ainsi : "à quelle condition a-t-on l'égalité suivante... ?"

Sinon, oui, en effet, je n'avais pas envisagé les autres solutions que tu indiques.

Je voulais dire : je pense que l'énoncé attendait ta proposition et seulement celle-là, mais de fait, il est possible d'en trouver bien d'autres, équivalentes.

ben2510 a écrit:Un pur régal :
http://bkristof.free.fr/methodologie/Petit%20manuel%20de%20bonne%20redaction.pdf
http://bkristof.free.fr/coursexercices/Cours%20-%20Raisonner,%20rediger.pdf

Merci au collègue

Je viens de les parcourir, ça va m'être utile cheers

Par ailleurs, j'avais une question de méthode à vous poser : le livre que j'utilise est organisé d'une certaine façon (ensembles et logique, algèbre, géométrie, analyse, probabilité ; est-il plus efficace de suivre cette organisation ou bien est-il intéressant de mener de front l'algèbre et l'analyse par exemple ?

Je viens squatter ce fil aussi sauf que je fais des maths pour comprendre la biologie avant de les faire pour le plaisir. Mon petit cerveau a pas mal rouillé sur ces parties des maths et je ne sais plus exactement si 1) j'ai oublié ou si 2) on ne m'a jamais appris ces parties là des mathématiques.

Voilà mon problème : j'ai un système de deux équations différentielles que je n'arrive pas à résoudre.

Je n'ai pas vu de balise TeX du coup on va faire sans.

J'ai donc ces deux équations différentielles :

dS(t)/dt = teta - mu S(t) + gamma I(t) - (Beta I(t) S(t))
dI(t)/dt = teta + gamma I(t) - (mu + beta I(t)) * S(t)

Je cherche à résoudre le système, en particulier quand je suis à l'équilibre ie avec dS(t)/dt et dI(t)/dt sont égales à 0. Et là je coince complètement. Je ne sais pas par quel bout attraper le problème. J'ai bien essayé d'isoler S et I quand je suis à l'équilibre mais je pense que ça me mène dans le mur. Est-ce que vous savez comment je peux m'en sortir ?

S' = I' donc S et I diffèrent d'une constante K.

La première équation implique :
S' = A + B . S - Beta . S²

où :
A = theta + K . gamma
B = gamma - mu - Beta . k

Soit X une des deux racines ( si elles existent... ) de l'équation : A + B . X - Beta X² = 0
X est une constante, le but est d'éliminer A.
On cherche S sous la forme : S = U + X
(U+X)' = A + B . (U+X) - Beta . (U+X)²
0 = A + B . X - Beta . X²
Par différence :
U' = B . U - 2 Beta . X . U - Beta . U²
On divise par U² ( sous réserve... )
Posons a = 2 Beta X - B
-U'/U² = a.( 1/U) + Beta
On pose Y = 1/U
Y' = a. Y + Beta
Y = -Beta/a + L . exp(a.t)
On connaît Y, donc U = 1/Y, donc S = U + X

S = 1/ [ L . exp(a.t)-beta/a ] + X
I = S + ( I(0) -S(0))

Je dégage toute responsabilité et ne saurait aucunement être tenu responsable des possibles dommages que pourrait causer ce post.

Ah ! je me suis trompée d'équation pour dI(t)/dt. Je recommence. Toutes mes excuses.

dS(t)/dt = teta - mu S(t) + gamma I(t) - (Beta I(t) S(t))
dI(t)/dt = (Beta*S(t) - mu + gamma + eta ) * I(t)

Je regarde ta solution et j'essaie de comprendre. Merci beaucoup pour ton aide.

Sulfolobus a écrit:J'ai un système de deux équations différentielles que je n'arrive pas à résoudre.

Je n'ai pas vu de balise TeX du coup on va faire sans.

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php est ton ami.

Sulfolobus a écrit:
J'ai donc ces deux équations différentielles :

$\begin{cases} & \frac{dS}{dt} = \theta - \mu S + \gamma I - \beta I S \\ & \frac{dI}{dt}= \theta + \gamma I - (\mu + \beta I) S \end{cases}$

Je cherche à résoudre le système, en particulier quand je suis à l'équilibre ie avec dS(t)/dt et dI(t)/dt sont égales à 0. Et là je coince complètement. Je ne sais pas par quel bout attraper le problème. J'ai bien essayé d'isoler S et I quand je suis à l'équilibre mais je pense que ça me mène dans le mur. Est-ce que vous savez comment je peux m'en sortir ?

Il suffit d'écrire que $\frac{dS}{dt}=\frac{dI}{dt}=0$ , ce qui se ramène à l'unique équation $\theta-\mu S+\gamma I-\beta IS=0$ . On peut choisir I indifféremment (ou presque, il faut que $\mu+\beta I\neq 0$ ) et calculer S en fonction de I.

Avec ton problème corrigé :

$\begin{cases} & \frac{dS}{dt} = \theta - \mu S + \gamma I - \beta I S)\\ & \frac{dI}{dt} = \bigl(\beta S - \mu + \gamma + \eta \bigr) I \end{cases}$

il y a deux points fixes en général : puisque dI/dt=0, il y a deux possibilités :

soit I=0 et $S=\frac{\theta}{\mu}$ ,
soit $S= \frac{\mu - \gamma - \eta}{\beta}$ et la première équation permet de calculer I.

J'ai compris Very Happy

Merci beaucoup Very Happy

Je remonte un peu ce fil : je suis toujours dans ma (re)découverte des maths et il y a un résultat ou propriété que je comprend sans vraiment le comprendre je pense.
J'en suis aux lois de composition, on a posé les définitions des éléments inversibles et des éléments simplifiables.
A titre d'exemple, on précise que tous les éléments de N (respectivement les éléments non nuls de Z) sont simplifiables pour l'addition (respectivement pour la multiplication) mais qu'aucun n'est inversible, à l'exception de 0 (respectivement de +ou-1).

J'ai essayé de démontrer ce résultat mais je n'y arrive pas. Je considère N muni de la loi +, je prends deux éléments de N (a et b) et un troisième n dont je veux montrer qu'il est simplifiable. Il faut donc que je montre qu'il est simplifiable à droite et simplifiable à gauche.
Je pars de : n + a = n + b et a + n = b + n (puisque l'addition est commutative)
c'est là que je bloque : j'ai envie "simplifier" par n mais je crois que je ne peux pas puisque je ne peux pas ajouter d'inverse (il n'existe pas dans N).
Où est-ce que je fais une erreur dans mon raisonnement ?

Je pense que l'ensemble des entiers naturels muni de la loi de composition interne + n'est pas un groupe car les entiers n n'ont pas de symétrique dans N. Je crois que (N,+) s'appelle un magma où il y a seulement l'associativité et la commutativité. Pour simplifier, je pense qu'il est incontournable de recourir à l'ensemble des entiers relatifs pour avoir la propriété d'un groupe abélien.(je ne suis que professeur de physique, j'ai rouvert mes Ramis) Very Happy

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