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- MesonMixingNiveau 10
- Je ne sais pas justifier mais... :
Moi je dirais :
u0 = 1
u1 = 2
u2 = u1 + u0 = 2 + 1 = 3
u3 = u2 + u1 = 3 + 2 = 5
u4 = u3 + u2 = 5 + 3 = 8
u5 = u4 + u3 = 8 + 5 = 13
Donc u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}
JPhMMDemi-dieu
Oui MesonMixing, et Mathador en donne une preuve. 
La première suite de nombres :
La première suite de nombres :
est aussi la suite de Fibonacci. Reste à le démontrer, bien sûr.JPhMM a écrit:1 = 1 (1 décomposition)
2 = 1 + 1 (1 décomposition)
3 = 3 = 1 + 1 + 1 (2 décompositions)
4 = 3 + 1 = 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 (3 décompositions)
5 = 5 = 3 + 1 + 1 = 1 + 3 + 1 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (5 décompositions)
etc.
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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. — John Locke
Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
MathadorEmpereur
JPhMM a écrit:Oui MesonMixing, et Mathador en donne une preuve.
La première suite de nombres :est aussi la suite de Fibonacci. Reste à le démontrer, bien sûr.JPhMM a écrit:1 = 1 (1 décomposition)
2 = 1 + 1 (1 décomposition)
3 = 3 = 1 + 1 + 1 (2 décompositions)
4 = 3 + 1 = 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 (3 décompositions)
5 = 5 = 3 + 1 + 1 = 1 + 3 + 1 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (5 décompositions)
etc.
Fait (avec des séries génératrices, la flemme de traduire).
- Solution:
On note u(n) le nombre de décompositions de n, et on prolonge avec u(0) = 0 (ça simplifie la récurrence).
Alors si n>=1, soit le dernier terme est un 1 (et on a alors u(n-1) possibilités, y compris si le reste à partager est 0, car il y a 1 possibilité et on a bien 1 comme seule décomposition),
soit c'est un 3 (et il y a alors u(n-3) possibilités), soit c'est un 5, etc. avec tous les entiers positifs impairs <= n.
On a alors étudiés tous les cas (y compris 1=1, 3=3, 5=5, etc.) et on a obtenu u(n) = sigma (0<=k<=n, k impair) u(k).
On pose alors f(z) = sigma (n dans N) u(n)z^n (ce qu'on appelle la série génératrice de u(n)).
La relation de récurrence donne alors (en séparant le cas de u(0) qui vaut 1): f(z) = 1 + (z+z^3+z^5+…) f(z)
ou autrement dit (en séries formelles, ou si on veut des vraies fonctions, si |z|<1 après avoir prouvé une majoration par récurrence)
f(z) = 1 + zf(z)/(1-z^2).
On résout l'équation d'inconnue f(z), ce qui donne f(z) = (1-z^2)/(1-z-z^2).
On a donc (1-z-z^2) f(z) = 1-z^2.
Si on traduit avec u(n), on a pour n>=3 u(n)-u(n-1)-u(n-2) = 0 (car 1-z^2 n'a pas de coefficient en z^n) CQFD.
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"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics." (cité par Mark Twain)
« Vulnerasti cor meum, soror mea, sponsa; vulnerasti cor meum in uno oculorum tuorum, et in uno crine colli tui.
Quam pulchrae sunt mammae tuae, soror mea sponsa! pulchriora sunt ubera tua vino, et odor unguentorum tuorum super omnia aromata. » (Canticum Canticorum 4:9-10)
- JPhMMDemi-dieu
Joli.
Oui, ça change des mathématiques de collège.
Même je suis en train de me demander si je ne peux pas faire un petit DM à partir de la version Légos...
Oui, ça change des mathématiques de collège.
Même je suis en train de me demander si je ne peux pas faire un petit DM à partir de la version Légos...
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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. — John Locke
Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
archebocEsprit éclairé
Actuellement, j'essaye de mettre 601 disque de rayon 1 dans un rectangle de côté de côtés 4x600 sans chevauchement entre les disques évidemment. Je tiens le bon bout.
J'essaye aussi de résoudre : soit P, un point extérieur à un cercle C, A et B les points de tangence des deux tangentes au cercle passant par P. Soit P' tel que A soit le milieu de [PP'], et soit K un point sur la droite (AB) et soit T le second point d'intersection entre le cercle C et celui qui passe par B, P et K. Montrez alors que les angles AKP' et PKT sont égaux (en angle de droite, donc à Pi près). Là, je suis vraiment à la ramasse. Tout ce que je réussis à faire, c'est le dessin sous geogebra.
Si vous trouvez, ne dites rien : laissez-moi chercher encore une semaine.
J'essaye aussi de résoudre : soit P, un point extérieur à un cercle C, A et B les points de tangence des deux tangentes au cercle passant par P. Soit P' tel que A soit le milieu de [PP'], et soit K un point sur la droite (AB) et soit T le second point d'intersection entre le cercle C et celui qui passe par B, P et K. Montrez alors que les angles AKP' et PKT sont égaux (en angle de droite, donc à Pi près). Là, je suis vraiment à la ramasse. Tout ce que je réussis à faire, c'est le dessin sous geogebra.
Si vous trouvez, ne dites rien : laissez-moi chercher encore une semaine.
- JPhMMDemi-dieu
Sympathique petit problème.archeboc a écrit:Actuellement, j'essaye de mettre 601 disque de rayon 1 dans un rectangle de côté de côtés 4x600 sans chevauchement entre les disques évidemment. Je tiens le bon bout.
- Piste:
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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
- MathadorEmpereur
archeboc a écrit:J'essaye aussi de résoudre : soit P, un point extérieur à un cercle C, A et B les points de tangence des deux tangentes au cercle passant par P. Soit P' tel que A soit le milieu de [PP'], et soit K un point sur la droite (AB) et soit T le second point d'intersection entre le cercle C et celui qui passe par B, P et K. Montrez alors que les angles AKP' et PKT sont égaux (en angle de droite, donc à Pi près). Là, je suis vraiment à la ramasse. Tout ce que je réussis à faire, c'est le dessin sous geogebra.
Si vous trouvez, ne dites rien : laissez-moi chercher encore une semaine.
J'ai dépassé les programmes du secondaire en essayant de le résoudre.
Suite à la demande d'@archeboc, je ne donne que les grandes lignes de ce que j'ai trouvé.
- Solution partielle:
- J'ai trouvé l'équivalence de l'égalité des angles avec un parallélisme de droites, puis ensuite avec un alignement de points sur une nouvelle figure qui est reliée à celle d'origine. Grâce à un tracé sur GeoGebra de la nouvelle figure, cet alignement s'avère être un point qui est l'isobarycentre des deux autres. Je cherche maintenant à démontrer cette nouvelle propriété plus forte.
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"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics." (cité par Mark Twain)
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Quam pulchrae sunt mammae tuae, soror mea sponsa! pulchriora sunt ubera tua vino, et odor unguentorum tuorum super omnia aromata. » (Canticum Canticorum 4:9-10)
- JPhMMDemi-dieu
J'ai essayé par la puissance des points, ce fut un échec.
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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
OonnayHabitué du forum
Quel est la valeur du petit angle formé entre l’aiguille des minutes et l’aiguille des heures à 9h45 sur une montre ?
- MathadorEmpereur
Facile.
- Spoiler:
- 9h00 et les minutes à 45 c'est la même position, on ne compte donc que le décalage de l'aiguille des heures entre 9h et 9h45.
Or 1h=30° (puisque 12h=360°) donc la réponse est 3/4 de 30° c'est à dire 22,5°.
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- OonnayHabitué du forum
Mathador a écrit:Facile.
- Spoiler:
Or 1h=30° (puisque 12h=360°) donc la réponse est 3/4 de 30° c'est à dire 22,5°.
- JPhMMDemi-dieu
Sympa
A quelles heures précises petite et grande aiguilles forment-elles un angle absolument nul ?
- Spoiler:
- 45/60=22,5/30 donc...
A quelles heures précises petite et grande aiguilles forment-elles un angle absolument nul ?
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BabaretteDoyen
JPhMM a écrit:Sympa
- Spoiler:
A quelles heures précises petite et grande aiguilles forment-elles un angle absolument nul ?
Euh... Pas à 1h05, 2h10, 3h15 etc?
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“Google peut vous donner 100 000 réponses, un bibliothécaire vous donne la bonne.” Neil Gaiman.
:lecteur:- JPhMMDemi-dieu
Bah non.
Puisqu'entre 1h et 1h05 l'aiguille des heures a avancé.
Puisqu'entre 1h et 1h05 l'aiguille des heures a avancé.
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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
- BabaretteDoyen
Ah, ben oui. Effectivement. Ben alors à midi et minuit seulement, j'imagine.
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:lecteur:- JPhMMDemi-dieu
Non, les aiguilles se croisent bien 24 (23 ? 
) fois par jour.
) fois par jour._________________
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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
- BabaretteDoyen
Bon, ben j'avoue l'étendue de mon ignorance mathématique. J'attends de voir la solution, en essayant de m'enrichir du savoir matheux que mon cerveau a refusé d'acquérir jusqu'ici.
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:lecteur:- OonnayHabitué du forum
JPhMM a écrit:Sympa
- Spoiler:
A quelles heures précises petite et grande aiguilles forment-elles un angle absolument nul ?
- Réponse :
00:00:00 01:05:27 02:10:55 03:16:22 04:21:49 05:27:16 06:32:44 07:38:11 08:43:38 09:49:06 10:54:33 12:00:00 13:05:27 14:10:55 15:16:22 16:21:49 17:27:17 18:32:44 19:38:11 20:43:39 21:49:06 22:54:33
CortezTheKillerNiveau 5
Tous les 12/11 h (un peu plus d' 1h 5min) en démarrant à 0h ?
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1, 2, 3- "J'écris pour les profs qui pètent les plombs", "Tu enseigneras dans la douleur", "A Lise", "Je le fais pour vous", "in memoriam" et Hommage par le CSE.
- Thèse pour le plaisir et enseignant
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- S'initier au grec ... pour le plaisir
- Qu'est-ce qu'une lecture plaisir pour nos élèves?
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