[maths] La démonstration au collège...

Pat B a écrit:Pour moi, la seconde est fausse parce que les calculs semblent se déduire du théorème de Pythagore, à cause de "d'après".

J'accepte deux façons de rédiger chez mes élèves :
- Calculs (séparés), puis "on constate que ... = ..... donc, d'après la réciproque du théorème Pythagore, le triangle ... est rectangle en ..."
Ou alors :
- "J'utilise la réciproque du théorème de Pythagore" (sans la réciter forcément puisqu'elle porte un nom), calculs, puis on constate l'égalité et on conclut que le triangle est rectangle

Je conseille toujours la première rédaction en expliquant qu'on ne sait pas, au départ, si on va devoir utiliser la réciproque ou la contraposée (mais j'accepte la seconde).

Moi aussi je conseille la première version. Mais en formation sur la démonstration, nous avons constaté que nous, les profs de maths, avions une petite tendance à considérer fausses les rédactions inhabituelles qui sont pourtant justes.

Reprenons l'exemple :

D'après la réciproque du théorème de Pythagore
Calculs bien présentés
Donc le triangle est rectangle

On dit qu'avec le "d'après" il semble que les calculs se déduisent de la réciproque donc c'est faux, mais on peut aussi comprendre le d'après comme cela :

D'après la réciproque du théorème de Pythagore (calculs => conclusion) : qui est juste.

Mon tuteur rédigeait toujours ainsi, j'avoue que j'ai eu du mal au début car à l'IUFM on travaillait toujours par implications successives.

Il avait des arguments solides, si on reprend l'exemple suivant :

On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.
Or (AB) et (CD) sont parallèles à (AD)
Donc (AB) // (CD)

Il disait qu'en écrivant la propriété avant les hypothèses alors l'élève a devant les yeux la liste des hypothèses à vérifier, donc c'est logique d'écrire les hypothèses après la propriété.
Et quand on écrit dans l'autre sens, c'est qu'on fait cela mentalement. Et il pensait que sa méthode était très efficace pour éviter le sentiment de répétition, quand une démonstration se termine par : " ... alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.". Il critiquait ma méthode car elle pousse certains élèves à ne pas écrire "Donc ABCD est un parallélogramme" puisqu'ils viennent d'écrire "ce quadrilatère est un parallélogramme" donc pourquoi le redire ?
Il disait aussi qu'avec sa façon de rédiger les élèves qui connaissaient bien les propriétés faisaient moins souvent la confusion avec les réciproques.

Pour lui quand on respecte l'ordre :
On sait que A=>B
Or A
Donc B

C'est plus dur d'écrire l'erreur suivante :
On sait que B=>A
Or A
Donc B

Et l'erreur suivante est plus courante :
On sait que A
Or B=> A
Donc B

Car, dans ce dernier cas, c'est la deuxième ligne qui indique la logique à respecter sur les 3 lignes alors que dans l'autre cas c'est la première ligne qui indique la logique des deux suivantes.

Et il avait aussi un argument de poids : "J'ai toujours fait ainsi."

Ses arguments étaient bons, mais pourtant j'ai toujours continué dans l'ordre qui me semble "classique". Parce que j'étais plus à l'aise. Bien entendu je respectais les deux rédactions quand ils avaient commencé avec lui et réciproquement. Ce qui fait que je cherches surtout les 3 parties indispensables de la démonstration sans me préoccuper de l'ordre, et sans retirer des points j'ajoute une flèche en disant que c'est préférable d'écrire "D'après la réciproque de Pythagore " après les calculs...

Intuitivement, mon regard serait moins heurté par :
On sait que A.
Or A => B.
Donc B.

Ma raison le rappelle à l'ordre en lui rappelant que

((A ∧ (A=>B)) => B) <=> ((A=>B) ∧ A) => B)

Oui je suis totalement d'accord avec toi JPhMM. A noter que la deuxième version bien que moins agréable au regard peut-être plus agréable à l'oreille à cause des répétitions...

Sur l'exemple particulier de Pythagore que vous donnez, le vrai problème est que les élèves qui ont cette rédaction vont avoir la même quand il faudrait utiliser la contraposée.

D'après la réciproque :
Égalité.
Égalité fausse.
Triangle non rectangle.

Donc pour eux A=>B est équivalent à non A=>non B, ce qui est n'importe quoi, et ils appliquent ça à n'importe quelle assertion logique de la vie courante, quand bien même la réciproque est fausse.

Le seul moyen de lutter contre ça est d'être rigoureux dans la rédaction, avec une analyse des hypothèses qui induisent la propriété à utiliser ou empêchent l'utilisation d'une propriété si les conditions ne sont pas toutes présentes. Avec (oh shocking ! ) la conclusion que permet la propriété en fin de raisonnement.

Cette absence de logique a permis selon moi la prolifération d'affirmations fausses telles que la constante macabre d'Antibi, qui partent de la conclusion pour justifier l'hypothèse.

Avec cette méthode,  je pourrais justifier que (constat) les femmes sont moins bien rémunérées que les hommes car (hypothèse) elles sont moins méritantes. Ce qui est absurde.

De plus le constat d'Antibi n'est même pas forcément vérifié.

EmmanuelB a écrit:


Pour lui quand on respecte l'ordre :
On sait que A=>B
Or A
Donc B

C'est plus dur d'écrire l'erreur suivante :
On sait que B=>A
Or A
Donc B

Et l'erreur suivante est plus courante :
On sait que A
Or B=> A
Donc B

Car, dans ce dernier cas, c'est la deuxième ligne qui indique la logique à respecter sur les 3 lignes alors que dans l'autre cas c'est la première ligne qui indique la logique des deux suivante

Selon moi, un élève qui trouve la propriété avant le reste, ce n’est pas un visionnaire. Il fait juste preuve de bon sens et balance THE propriété à connaître dans le chapitre (en 6e, c’est 1 chance sur 3 de trouver la bonne)

Mais cette façon de raisonner, n’est pas efficace quand la banque de propriétés s’alourdit.

Pour une démonstration à un pas, je leur apprends à raisonner dans cet ordre:

1) On extrait les données de l’énoncé ( on ne peut pas se planter puisque l’on invente rien, au pire, on écrème à la fin si on en a trop mis)

2) On laisse un blanc et on écrit la conclusion ( là encore, pas d’erreur possible si question fermée)

3) on trouve la propriété qui convient, c’est-à-dire la pièce du puzzle qui va s’emboiter avec les données et la conclusion.

Variante possible : inverser 2 et 1 (ce qui permet de cibler les données utiles)

Et tout élève qui raisonne différemment est redressé par mes soins.

ZeSAndman a écrit:Sur l'exemple particulier de Pythagore que vous donnez, le vrai problème est que les élèves qui ont cette rédaction vont avoir la même quand il faudrait utiliser la contraposée.

D'après la réciproque :
Égalité.
Égalité fausse.
Triangle non rectangle.

Donc pour eux A=>B est équivalent à non A=>non B, ce qui est n'importe quoi, et ils appliquent ça à n'importe quelle assertion logique de la vie courante, quand bien même la réciproque est fausse.

Le seul moyen de lutter contre ça est d'être rigoureux dans la rédaction, avec une analyse des hypothèses qui induisent la propriété à utiliser ou empêchent l'utilisation d'une propriété si les conditions ne sont pas toutes présentes. Avec (oh shocking ! ) la conclusion que permet la propriété en fin de raisonnement.

Attention tu as déformé l'exemple qui était :

D'après la réciproque du théorème de Pythagore :
Calculs correctement présentés
Donc le triangle est rectangle.

A mon avis ceux qui se trompent quand le triangle ne sera pas rectangle rédigent plutôt ainsi quand il est rectangle.

D'après la réciproque de Pythagore :
AB² = CA² + CB²
...
25 = 25
Donc ABC est rectangle

Et là c'est en effet incorrect.

Tu n'aurais pas un peu modifié les hypothèses pour arriver à ta conclusion ?