[maths] La démonstration au collège...

Al9 a écrit:

AndréC a écrit:
Je n'ai pas regardé les programme de sup, mais les transformations telles qu'elles sont vues au collège permettent de faire comprendre simplement ce qu'un un groupe par exemple.

C'est une très bonne introduction à l'algèbre linéaire.

. Déjà, il faudrait qu'il ait compris à quoi correspondent visuellement une translation ou une rotation avant çà et  même de ce qu'est une symétrie. Alors, faire comprendre la notion de groupe. Et en plus, je ne vois pas l'intérêt du tout au collège.

Vous avez mal lu mon message.

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:Je viens de m'apercevoir que le lien que j'ai donné précédemment ne correspondait pas au livre de A. Kurosh, sa couverture était la bonne, mais son contenu était celui d'un autre livre. J'ai édité le message précédent pour que les deux liens soient désormais identiques, ils pointent vers la traduction anglaise.

Voici (après vérification) la traduction anglaise du livre :
https://docslide.net/download/link/higher-algebra-by-a-kurosh

J'ai le livre en français, si quelqu'un m'indique où je peux le faire scanner (et si c'est légal), je veux bien faire scanner mon livre et le mettre à disposition.

Le faire scanner est légal.

C'est diffuser le scan qui risque fort de ne pas l'être.

Il y a un moment ou cela le devient, après 50 ans me semble t-il.

AndréC a écrit:Je viens de m'apercevoir que le lien que j'ai donné précédemment ne correspondait pas au livre de A. Kurosh, sa couverture était la bonne, mais son contenu était celui d'un autre livre. J'ai édité le message précédent pour que les deux liens soient désormais identiques, ils pointent vers la traduction anglaise.

Voici (après vérification) la traduction anglaise du livre :
https://docslide.net/download/link/higher-algebra-by-a-kurosh

J'ai le livre en français, si quelqu'un m'indique où je peux le faire scanner (et si c'est légal), je veux bien faire scanner mon livre et le mettre à disposition.

ça a l'air pas mal, on a aussi le Grifone qui est excellent sur le sujet (et en français), que je vous conseille :
https://www.amazon.fr/Alg%C3%A8bre-lin%C3%A9aire-5e-Joseph-Grifone/dp/2364931835
C'est un bon compromis accessible et rigoureux (seul bémol, les exos sont seulement corrigés avec des indications, et il y a pas mal de petites coquilles vers la fin du livre, mais je pinaille).

pailleauquebec a écrit:

ça a l'air pas mal, on a aussi le Grifone qui est excellent sur le sujet (et en français), que je vous conseille :
https://www.amazon.fr/Alg%C3%A8bre-lin%C3%A9aire-5e-Joseph-Grifone/dp/2364931835
C'est un bon compromis accessible et rigoureux (seul bémol, les exos sont seulement corrigés avec des indications, et il y a pas mal de petites coquilles vers la fin du livre, mais je pinaille).

Voyons si je dégotte un lien internet pour le Grifone...

Dans le Kurosh, il n'y a aucun exercice, il s'agit uniquement d'un cours (c'est frontal, je sais, c'est mal).
Je suppose que les TD doivent être l'objet d'une autre publication.

AndréC a écrit:

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:Je viens de m'apercevoir que le lien que j'ai donné précédemment ne correspondait pas au livre de A. Kurosh, sa couverture était la bonne, mais son contenu était celui d'un autre livre. J'ai édité le message précédent pour que les deux liens soient désormais identiques, ils pointent vers la traduction anglaise.

Voici (après vérification) la traduction anglaise du livre :
https://docslide.net/download/link/higher-algebra-by-a-kurosh

J'ai le livre en français, si quelqu'un m'indique où je peux le faire scanner (et si c'est légal), je veux bien faire scanner mon livre et le mettre à disposition.

Le faire scanner est légal.

C'est diffuser le scan qui risque fort de ne pas l'être.

Il y a un moment ou cela le devient, après 50 ans me semble t-il.

70 ans après la mort de l'auteur. Je crois que les traducteurs sont considérés comme des auteurs.

ycombe a écrit:
70 ans après la mort de l'auteur. Je crois que les traducteurs sont considérés comme des auteurs.

Ah oui ! Ayant la dernière édition qui date de 1984, cela reporte en 2054, y a de la marge...

wanax a écrit:Toujours la même chose, aucune part d'initiative, pas de possibilité de choisir une méthode dans une boîte à outils pleine...
Des exercices pour robots experts des fiches bristol et des surligneurs fluos.

Il faudra qu'un jour les responsables de ce carnage rendent des comptes (le trio funèbre IREM, APMEP,ESPE ainsi que l'inspection générale)
L'enseignement des mathématiques en France connaît un véritable naufrage depuis presque 30 ans. Aujourd'hui, cela commence à vraiment se voir. les universitaires se rendent compte depuis quelques années de la nullité croissante de leurs étudiants et de nombreux candidats au CAPES ont une maîtrise très incertaine des notions qu'ils auront à enseigner.

A titre de comparaison, voici un sujet posé à l'examen de maturité en Suisse (équvalent du bac). La comparaison avec le Bac S est vraiment cruelle....
https://www.lycee.ch/examens/2017/Matu_MAP_2017.pdf

Zryblowskowsky a écrit:A titre de comparaison, voici un sujet posé à l'examen de maturité en Suisse (équvalent du bac). La comparaison avec le Bac S est vraiment cruelle....
https://www.lycee.ch/examens/2017/Matu_MAP_2017.pdf

ça m'intéresse fortement, ils ont quel système en Suisse pour le bac ? (une épreuve nationale ? l'équivalent de nos sections ? à quel âge ils passent ce type d'examen ?) Tu pourrais nous faire un petit topo ?

pailleauquebec a écrit: ils ont quel système en Suisse pour le bac ?

Je ne sais pas. j'ai trouvé le sujet sur le site du lycée de Porrentruy.
https://www.lycee.ch/

Voici en particulier la page consacrée à l'enseignement des mathématiques:
https://www.lycee.ch/math.php
On est bien loin des inepties recommandées en France.....

Dans le même genre, voici un sujet posé au Bac sénégalais en 2017
http://www.officedubac.sn/IMG/pdf/Maths_S1S3_1er_gr_2017.pdf

Nos anciennes colonies nous montrent l'exemple à suivre car elles n'ont pas renoncer à dispenser un enseignement exigeant !!!!

Zryblowskowsky a écrit:
A titre de comparaison, voici un sujet posé à l'examen de maturité en Suisse (équvalent du bac). La comparaison avec le Bac S est vraiment cruelle....
https://www.lycee.ch/examens/2017/Matu_MAP_2017.pdf

Zryblowskowsky a écrit:
Voici en particulier la page consacrée à l'enseignement des mathématiques:
https://www.lycee.ch/math.php
On est bien loin des inepties recommandées en France.....

Dans le même genre, voici un sujet posé au Bac sénégalais en 2017
http://www.officedubac.sn/IMG/pdf/Maths_S1S3_1er_gr_2017.pdf

Ah oui, ça fait mal ces sujets.

C'est là qu'on se rend compte comme on a vite perdu l'habitude de faire des trucs approfondis et intéressants.

Le programme du lycée suisse est instructif pour voir comment sont articulés le programme obligatoire et le programme de spécialité. Beaucoup plus intéressant qu'en France où les programmes de spécialité S et surtout ES relèvent à mon humble avis du gadget.

Spoiler:

AndréC a écrit:

ycombe a écrit:
70 ans après la mort de l'auteur. Je crois que les traducteurs sont considérés comme des auteurs.

Ah oui ! Ayant la dernière édition qui date de 1984, cela reporte en 2054, y a de la marge...

Si c'est bien le même, il est mort en 1971.
https://en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Gennadievich_Kurosh

Ce qui fait courir les droits jusqu'au premier janvier 2042, si je compte bien.

Ok, on compte à partir de la mort de l'auteur. Et si on tient compte du traducteur, il faut savoir s'il est encore en vie ou non.

On ne fait presque plus de démonstration au collège, c'est un constat et c'est vrai qu'il ne reste pratiquement plus de propriété à étudier en dehors de Thalès et Pythagore. Perso, dans mon collège on insiste en 6ème sur les propriétés avec les droites parallèles et perpendiculaires, et en 3ème quand ils utilisent correctement ces mêmes propriétés avec une belle rédaction, on voit bien que ce n'est pas un travail inutile.
Il reste encore les quadrilatères, mais ce n'est pas simple à utiliser déjà il faut qu'ils aient vu les bonnes définitions et propriétés en primaires, ce qui n'est pas simple quand on voit toutes les fiches fausses sur les quadrilatères niveau primaire qui circulent sur internet. Exemple le plus courant : "le losange n'a pas d'angle droit".
Le document ressource est intéressant puisqu'en parlant de démonstration, il prouve que chacun peut appliquer le programme selon sa volonté, par exemple le programme stipule que la trigo doit être introduite en 3ème mais dans ce document on dit qu'on peut commencer en 4ème... (pourquoi pas même si j'aime bien partir de Thalès pour expliquer les relations de trigo et on voit toujours Thalès en 3ème dans ce même document)
C'est comme la courte période pendant laquelle la réciproque de Pythagore n'existait plus... Des collègues de math n'étaient pas au courant et ils avaient sans doute raison car au lycée les profs de math n'étaient tellement au courant. Au DNB, des correcteurs retiraient des points quand les élèves oubliaient le mot "réciproque".

Les profs savent-ils finalement ce qu'il faut enseigner dans la démonstration ??? J'ai vu un collègue retirer des points à un élève qui avait inversé hypothèses et propriété alors qu'un autre collègue le fait toujours : On sait que ...la propriété... or ... les hypothèses... Donc ... conclusion ...

Par exemple certains profs n'aiment pas l'ordre suivant :
D'après la réciproque du théorème de Pythagore
Calculs
Ainsi : AC² = BC² + BA²
Donc ABC est rectangle en B.

Oui, ceux qui rédigent ainsi font souvent l'erreur quand le triangle n'est pas rectangle, mais est-ce une raison de retirer des points quand ils ont une démonstration juste ?

EmmanuelB a écrit:Exemple le plus courant : "le losange n'a pas d'angle droit".

Toujours le même problème du niveau de certains instits en maths...

EmmanuelB a écrit:Par exemple certains profs n'aiment pas l'ordre suivant :
D'après la réciproque du théorème de Pythagore
Calculs
Ainsi : AC² = BC² + BA²
Donc ABC est rectangle en B.

Oui, ceux qui rédigent ainsi font souvent l'erreur quand le triangle n'est pas rectangle, mais est-ce une raison de retirer des points quand ils ont une démonstration juste ?

Je fais partie de ceux qui considèrent que la rédaction de ce raisonnement est incorrecte. Même si l'élève arrive à montrer que le triangle est rectangle, rien ne lui indique sans calculs qu'il le soit. Placer "d'après la réciproque..." avant lesdits calculs est donc faux. Je ne peux pas donner tous les points à ce genre de réponse.

On peut penser qu'il a prévu le coup au brouillon. La rédaction finale est le fruit d'une réflexion.

@ Senochel : Pourquoi écrire "D'après la réciproque du théorème de Pythagore " avant les calculs serait faux. On peut bien aussi annoncé la conclusion dès le début dans une démonstration donc l'ordre n'est pas important. A mon avis, on peut considérer que c'est faux quand on sous-entend qu'il y a des implications dans la démonstration car en effet:
Réciproque => calculs => égalité => triangle rectangle n'est pas correct. Ce qui dérange ici c'est l'ordre inhabituel: propriétés hypothèses conclusion

Pourtant des profs rédigent comme dans l'exemple considérer et quand on lit la démonstration suivante, c'est bon :

On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Or (AB) et (CD) sont perpendiculaires à (AD)
Donc (AB) et (CD) sont parallèles.

EmmanuelB a écrit:On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Or (AB) et (CD) sont perpendiculaires à (AD)
Donc (AB) et (CD) sont parallèles.

C'est un bon exemple et il est juste. En fait, je me demande si j'ai bien compris ton premier message.
Je te propose deux rédactions.

Rédaction 1 : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Calculs
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle.

Rédaction 2 : D'après la réciproque du théorème de Pythagore :
Calculs
Donc ce triangle est rectangle.

La première est correcte car tu ne fais que rappeler l'énoncé d'une propriété (c'est celle-là dont tu voulais parler ?).
Ton exemple sur les droites est du même type.
La seconde est fausse (enfin, pour moi) car tu insinues que le triangle est rectangle sans même avoir commencé les calculs.

Anaxagore a écrit:On peut penser qu'il a prévu le coup au brouillon. La rédaction finale est le fruit d'une réflexion.

Ça existe encore les élèves qui font un brouillon?

Senochel a écrit:

EmmanuelB a écrit:On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Or (AB) et (CD) sont perpendiculaires à (AD)
Donc (AB) et (CD) sont parallèles.

C'est un bon exemple et il est juste. En fait, je me demande si j'ai bien compris ton premier message.
Je te propose deux rédactions.

Rédaction 1 : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Calculs
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle.

Rédaction 2 : D'après la réciproque du théorème de Pythagore :
Calculs
Donc ce triangle est rectangle.

La première est correcte car tu ne fais que rappeler l'énoncé d'une propriété (c'est celle-là dont tu voulais parler ?).
Ton exemple sur les droites est du même type.
La seconde est fausse (enfin, pour moi) car tu insinues que le triangle est rectangle sans même avoir commencé les calculs.

Je considère la rédaction 2 comme douteuse pour une autre raison, qui est qu'elle laisse entendre que ce sont les calculs que l'on déduit de la réciproque du théorème de Pythagore.
La rédaction classique du modus ponens est « On sait que A, or A=>B, donc B ». Le dernier exemple proposé par @EmmanuelB (avec perpendiculaires et parallèles) est correct bien qu'inusuel car étant dans l'ordre « On sait que A=>B, or A, donc B ». Le problème est bien l'implication implicite venant du « d'après » qui redirige au mauvais endroit dans la rédaction 2.

Pour moi, la seule différence entre la 1ère et la 2ème rédaction c'est qu'on n'écrit pas l'énoncé en entier. Mais comme on accepte en général de ne pas écrire les énoncés de Thalès et de Pythagore entièrement alors les deux énoncés sont équivalents et justes tous les deux.

Au passage, il y a aussi des profs qui exigent que l'énoncé de ces théorèmes soient écrit en entier. Et ceux que je connais ont tendance a retirer des points au DNB pour cette raison.

Je me suis donc toujours interrogé sur ce qui était exigible dans des démonstrations au niveau collège. J'ai logiquement suivi une formation sur la démonstration, elle n'a pas répondu à mes attentes car un IPR a débarqué au milieu pour chambouler le programme de la journée. Mais dans la partie intéressante, nous avons d'une part constaté que les profs de math avaient des exigences très différentes dans leur notation des démonstrations. Malheureusement, nous n'avons pas eu de réponses claires sur ce qu'on attendait d'un élève de collège au niveau des démonstrations, car nous avons surtout travaillé sur les problèmes ouverts c'est à dire comment travailler la démonstration. Ce qui était bien aussi, sauf que j'avoue que je donne trop rarement des problèmes ouverts tellement je passe de temps sur les bases de la démonstration.

Mathador a écrit:La rédaction classique du modus ponens est « On sait que A, or A=>B, donc B ». Le dernier exemple proposé par @EmmanuelB (avec perpendiculaires et parallèles) est correct bien qu'inusuel car étant dans l'ordre « On sait que A=>B, or A, donc B ». Le problème est bien l'implication implicite venant du « d'après » qui redirige au mauvais endroit dans la rédaction 2.

Oui je suis d'accord tout ce joue au niveau de l'implicite, mais qui a raison ? Il y a deux implicites possibles avec ce "D'après", il y a le bon qui cite la réciproque comme dans la rédaction 1 et celui qui est incorrect qui laisse entendre que la réciproque implique les calculs. Mais si les calculs sont rédigés correctement sans partir de l'égalité de Pythagore alors tout laisse penser que nous sommes bien dans le bon implicite et le seul implicite de ce "d'après" est finalement l'énoncé complet de la réciproque de Pythagore comme dans la rédaction 1.

Je suis d'accord que l'ordre est inusuel, mais il est utilisé par des collègues. Il faut l'accepter et le prendre en compte. Je préfère l'ordre "on sait que A or A=>B donc B", mais l'autre ordre est juste et parfois plus agréable à lire. Et qui n'a jamais entendu un élève rétorqué : "mais la propriété aussi on la sait" et il n'a pas tort.

Le "On sait que" est très implicite finalement car on peut aussi dire qu'on sait que le triangle est rectangle. Quand j'étais élève on n'utilisait jamais le "on sait que" on disait toujours "Par hypothèse" ou " D'après l'énoncé" mais comme le terme hypothèse est confondu avec conjecture dans les autres sciences et le langage courant on a fini par ne plus utiliser le mot hypothèse ce qui est bien dommage...
Tout comme on n'utilise plus <=> ou => au collège.

Pour moi il y a 3 questions essentielles auxquelles le raisonnement rédigé doit répondre de façon exacte:
1) Qu'utilise-t-on dans l'énoncé/les questions précédentes ? (ici, les calculs)
2) Qu'en déduit-on ? (que le triangle est rectangle)
3) Comment le déduit-on ? (avec la réciproque du théorème de Pythagore)

La rédaction n°2 de @Senochel ne satisfait pas le critère 2. Mais je l'accepterais si « D'après la réciproque du théorème de Pythagore: » est remplacé par « On utilise la réciproque du théorème de Pythagore: » car la localité de la référence est alors abandonnée, et la réponse à la question n°2 est alors clairement apportée par le « donc » final.

EmmanuelB a écrit:Au passage, il y a aussi des profs qui exigent que l'énoncé de ces théorèmes soient écrit en entier.

Et pour le théorème de Thalès, leurs élèves arrivent à donner un sens à la version écrite du critère de l'alignement des points dans le bon ordre ?

Le raisonnement (A => B, or A, donc B), c'est le syllogisme de Socrate. "Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme, donc Socrate est mortel."

C'est un raisonnement valide tant qu'on ne suppose pas que A est induit par (A=>B).
L'écriture "D'après le théorème de Pythagore, le triangle BOF est rectangle en B, alors BO²+BF² = OF²" est pour moi aussi fausse.
Par contre, un truc comme "D'après le théorème de Pythagore, le triangle BOF étant rectangle en B, alors BO²+BF² = OF²" est acceptable.


Pour les théorèmes à re-écrire in extenso... Pfff ! Ça sert à quoi de leur donner un nom si c'est pour tout re-écrire ? Pour moi, c'est à ranger avec ces acronymes qu'on explicite en suivant, une spécialité inutile de plus au M.E.N. (Ministère de l'Éducation Nationale).

Senochel a écrit:

EmmanuelB a écrit:On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Or (AB) et (CD) sont perpendiculaires à (AD)
Donc (AB) et (CD) sont parallèles.

C'est un bon exemple et il est juste. En fait, je me demande si j'ai bien compris ton premier message.
Je te propose deux rédactions.

Rédaction 1 : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Calculs
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle.

Rédaction 2 : D'après la réciproque du théorème de Pythagore :
Calculs
Donc ce triangle est rectangle.

La première est correcte car tu ne fais que rappeler l'énoncé d'une propriété (c'est celle-là dont tu voulais parler ?).
Ton exemple sur les droites est du même type.
La seconde est fausse (enfin, pour moi) car tu insinues que le triangle est rectangle sans même avoir commencé les calculs.

Pour moi, la seconde est fausse parce que les calculs semblent se déduire du théorème de Pythagore, à cause de "d'après".

J'accepte deux façons de rédiger chez mes élèves :
- Calculs (séparés), puis "on constate que ... = ..... donc, d'après la réciproque du théorème Pythagore, le triangle ... est rectangle en ..."
Ou alors :
- "J'utilise la réciproque du théorème de Pythagore" (sans la réciter forcément puisqu'elle porte un nom), calculs, puis on constate l'égalité et on conclut que le triangle est rectangle

Je conseille toujours la première rédaction en expliquant qu'on ne sait pas, au départ, si on va devoir utiliser la réciproque ou la contraposée (mais j'accepte la seconde).

Strictement, on doit pouvoir accepter :
Calculs.
Donc, d'après le théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle en...

Puisque nous sommes en présence d'un : (A et (A => B)) => B.

PS : je rappelle que la conjonction logique est commutative. Conséquemment, dans une démonstration bien écrite, il importe peu que les calculs soient placés avant ou après le théorème.

Un modus ponens.

Pat B a écrit:Pour moi, la seconde est fausse parce que les calculs semblent se déduire du théorème de Pythagore, à cause de "d'après".

J'accepte deux façons de rédiger chez mes élèves :
- Calculs (séparés), puis "on constate que ... = ..... donc, d'après la réciproque du théorème Pythagore, le triangle ... est rectangle en ..."
Ou alors :
- "J'utilise la réciproque du théorème de Pythagore" (sans la réciter forcément puisqu'elle porte un nom), calculs, puis on constate l'égalité et on conclut que le triangle est rectangle

Je conseille toujours la première rédaction en expliquant qu'on ne sait pas, au départ, si on va devoir utiliser la réciproque ou la contraposée (mais j'accepte la seconde).

Moi aussi je conseille la première version. Mais en formation sur la démonstration, nous avons constaté que nous, les profs de maths, avions une petite tendance à considérer fausses les rédactions inhabituelles qui sont pourtant justes.

Reprenons l'exemple :

D'après la réciproque du théorème de Pythagore
Calculs bien présentés
Donc le triangle est rectangle

On dit qu'avec le "d'après" il semble que les calculs se déduisent de la réciproque donc c'est faux, mais on peut aussi comprendre le d'après comme cela :

D'après la réciproque du théorème de Pythagore (calculs => conclusion) : qui est juste.

Mon tuteur rédigeait toujours ainsi, j'avoue que j'ai eu du mal au début car à l'IUFM on travaillait toujours par implications successives.

Il avait des arguments solides, si on reprend l'exemple suivant :

On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.
Or (AB) et (CD) sont parallèles à (AD)
Donc (AB) // (CD)

Il disait qu'en écrivant la propriété avant les hypothèses alors l'élève a devant les yeux la liste des hypothèses à vérifier, donc c'est logique d'écrire les hypothèses après la propriété.
Et quand on écrit dans l'autre sens, c'est qu'on fait cela mentalement. Et il pensait que sa méthode était très efficace pour éviter le sentiment de répétition, quand une démonstration se termine par : " ... alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.". Il critiquait ma méthode car elle pousse certains élèves à ne pas écrire "Donc ABCD est un parallélogramme" puisqu'ils viennent d'écrire "ce quadrilatère est un parallélogramme" donc pourquoi le redire ?
Il disait aussi qu'avec sa façon de rédiger les élèves qui connaissaient bien les propriétés faisaient moins souvent la confusion avec les réciproques.

Pour lui quand on respecte l'ordre :
On sait que A=>B
Or A
Donc B

C'est plus dur d'écrire l'erreur suivante :
On sait que B=>A
Or A
Donc B

Et l'erreur suivante est plus courante :
On sait que A
Or B=> A
Donc B

Car, dans ce dernier cas, c'est la deuxième ligne qui indique la logique à respecter sur les 3 lignes alors que dans l'autre cas c'est la première ligne qui indique la logique des deux suivantes.

Et il avait aussi un argument de poids : "J'ai toujours fait ainsi."

Ses arguments étaient bons, mais pourtant j'ai toujours continué dans l'ordre qui me semble "classique". Parce que j'étais plus à l'aise. Bien entendu je respectais les deux rédactions quand ils avaient commencé avec lui et réciproquement. Ce qui fait que je cherches surtout les 3 parties indispensables de la démonstration sans me préoccuper de l'ordre, et sans retirer des points j'ajoute une flèche en disant que c'est préférable d'écrire "D'après la réciproque de Pythagore " après les calculs...