résolution d'équations collège

Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)

* 3x=5/3 j'ai vu 3x/1=5/3 puis produit en croix et on arrive à 9x=5 et enfin x=5/9....ça me semble bien compliqué.

Merci
Pascal (pas profde maths....peut-être un jour...)

On ne change pas (la validité d') une égalité en ajoutant un même nombre à chaque membre de l'égalité, ou en multipliant par un même nombre non nul chaque membre de l'égalité.

(a=b) <=> (a+x=b+x)
et (a=b) <=> (ka=kb pour k non nul)

Ainsi :

x+3=5
x+3+(-3)=5+(-3)
x=2

etc.

ok ça me semble être le plus simple
On l'introduit comme ça en 4eme et on n'y touche plus c'est ça?
Le produit en croix me gênait car peu explicite : ils galèrent déjà suffisamment sur la proportionnalité !!
Pascal

johndoex3x a écrit:Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)

Cette jolie règle, ainsi édictée, donne ensuite:
3x = 9
x = 9 - 3 (ben quoi? on enlève 3 des deux côtés).

* 3x=5/3         j'ai vu 3x/1=5/3 puis produit en croix et on arrive à 9x=5 et enfin x=5/9....ça me semble bien compliqué.

Merci
Pascal (pas profde maths....peut-être un jour...)

3x c'est 3*x, pour régler le problème du 3 on va diviser par 3: il se simplifie.
3x=5/3
3x \over 3 = 5/3 \over 3
x = 5/3 * 1/3
x = 5/9

johndoex3x a écrit:Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)

J'abonde dans le sens d'Ycombe, cette règle pose ensuite de gros problèmes car elle s'apparente à un tour de passe-passe et elle génère beaucoup de confusions : quand 3x=9 ne devient pas x=9-3, cela peut engendrer des 3x=9 qui donnent x=9/(-3).

Ca peut paraître lourd mais j'ai tendance à insister sur les définitions de la différence et du quotient.

x+3=5. x est le nombre qui ajouté à 3 donne 5, donc c'est la différence entre 5 et 3. x=5-3=2

3x=9. x est le nombre qui multiplié par 3 donne 9, donc c'est le quotient de 9 par 3. x=9/3=3.

Les "passages" de gauche à droite, c'est la catastrophe !

Je suis d’accord qu’il faille aller dans ce sens dans l’apprentissage des équations. Mais en 1S ou TS je m’autorise quand même parfois des abus de langage puisque les mécanismes sont quand même compris par la majorité. Heureusement, on n’en est plus là!

kioupsPBT a écrit:Ca peut paraître lourd mais j'ai tendance à insister sur les définitions de la différence et du quotient.

x+3=5. x est le nombre qui ajouté à 3 donne 5, donc c'est la différence entre 5 et 3. x=5-3=2

3x=9. x est le nombre qui multiplié par 3 donne 9, donc c'est le quotient de 9 par 3. x=9/3=3.

Les "passages" de gauche à droite, c'est la catastrophe !

Etape suivante: les inéquations !

Moonchild a écrit:

johndoex3x a écrit:Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)

J'abonde dans le sens d'Ycombe, cette règle pose ensuite de gros problèmes car elle s'apparente à un tour de passe-passe et elle génère beaucoup de confusions : quand 3x=9 ne devient pas x=9-3, cela peut engendrer des 3x=9 qui donnent x=9/(-3).

C'est vrai que c'est lourd mais si c'est le prix à payer pour qu'ils comprennent.
Merci
Pascal

johndoex3x a écrit:C'est vrai que c'est lourd mais si c'est le prix à payer pour qu'ils comprennent.

Comprennent ? C'est une interprétation un peu rapide. Il serait plus juste de dire : que c'est le prix à payer pour qu'ils sachent reproduire une résolution mathématiquement correcte.

Le signe = est plus un séparateur d'écriture, dans la tête des élèves, qu'une relation d'égalité entre deux expressions.

On le voit d'ailleurs très nettement chez des élèves de 1ère S qui remplacent des = par des équivalences et inversement écrivent des = entre deux équations ce qui aboutit généralement à des absurdités dans le style de ce qui suit où il est écrit que 6 = 7 :

Code:

 3 x + 1 = 7
= 3 x = 6


Même chez les collégiens, il n'est pas rare de voir des calculs, normalement distincts, s'écrire les uns à la suite des autres : 4 + 3 = 7 -  1 = 6 + 9 = 15 à la place de :

Code:

4 + 3 = 7
7 - 1 = 6
6 + 9 = 15
c'est à dire :
4 + 3 - 1 + 9 = 15


J'utilise la progression suivante. Je la présente avec des programmes de calcul pour clarifier, mais on peut imaginer n'importe quel résolution de problème qui se ramène à un programme du même type.
- 5e/début de 4e : "Choisis un nombre / Multiplie par 3 / Soustrait 10. Nombre à choisir pour trouver 100 ?" Les élèves peuvent se baser sur le sens des opérations (càd : 100+10 ; puis 110/3). Tâtonner ne permet plus d'avoir une valeur exacte de la solution (non décimale).
- milieu de 4e : "Choisis un nombre / Ajoute 4 / Multiplie par 3 / Soustrait le nombre de départ. Nombre à choisir pour trouver 100 ?". On ne peut plus remonter le programme, il faut utiliser le calcul littéral pour réduire, puis sens des opérations comme précédemment pour finir.
- fin de 4e : je donne un problème qui débouche, après réduction, sur une équation du type ax+b=c, qu'ils peuvent résoudre avec sens des opérations.
Puis, un problème du même type qui débouche sur ax+b=cx+d : les élèves ont alors besoin d'une nouvelle méthode (qu'ils peuvent presque trouver si on laisse du temps à la classe).
On exploite alors uniquement "les solutions d'une équation restent les mêmes si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres".
Et la définition du quotient pour terminer (certes, c'est plus délicat que de donner la recette de cuisine de diviser ax=c par a, mais insister sur la déf du quotient me semble tellement plus important. Je trouve qu'on doit exploiter toute les occasions qu'on a pour faire passer la déf du quotient si problématique... C'est mal venu de la passer sous silence.)

En 4e donc, je ne fais jamais résoudre des équations du type a+x=b ou ax=c car il n'y a pas de nécessité. C'est la déf de la soustraction/quotient qu'on mobilise si on croise ce type d'équations. Je suis d'accord avec kioupsPBT.

- en 3e, avant les inéquations, revenir sur ax=c en présentant cette fois les deux méthodes : déf quotient ET diviser par a. En effet, pour les inéquations, on va avoir besoin de la division...

t3- a écrit:J'utilise la progression suivante. Je la présente avec des programmes de calcul pour clarifier, mais on peut imaginer n'importe quel résolution de problème qui se ramène à un programme du même type.
- 5e/début de 4e : "Choisis un nombre / Ajoute 4 / Multiplie par 3 / Soustrait 10. Nombre à choisir pour trouver 100 ?" Les élèves peuvent se baser sur le sens des opérations. Tâtonner ne permet plus d'avoir une valeur exacte de la solution (non décimale).
- milieu de 4e : "Choisis un nombre / Ajoute 4 / Multiplie par 3 / Soustrait le nombre de départ. Nombre à choisir pour trouver 100 ?". On ne peut plus remonter le programme, il faut utiliser le calcul littéral pour réduire, puis sens des opérations pour finir.
- fin de 4e : je donne un problème qui débouche, après réduction, sur une équation du type ax+b=c, qu'ils peuvent résoudre avec sens des opérations.
Puis, un problème du même type qui débouche sur ax+b=cx+d : les élèves ont alors besoin d'une nouvelle méthode (qu'ils peuvent presque trouver si on laisse du temps à la classe).
On exploite alors uniquement "les solutions d'une équation restent les mêmes si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres".
Et la définition du quotient pour terminer (certes, c'est plus délicat que de donner la recette de cuisine de diviser ax=c par a, mais insister sur la déf du quotient me semble tellement plus important. Je trouve qu'on doit exploiter toute les occasions qu'on a pour faire passer la déf du quotient si problématique... C'est mal venu de la passer sous silence.)

En 4e donc, je ne fais jamais résoudre des équations du type a+x=b ou ax=c car il n'y a pas de nécessité. C'est la déf de la soustraction/quotient qu'on mobilise si on croise ce type d'équations. Je suis d'accord avec kioupsPBT.

- en 3e, avant les inéquations, revenir sur ax=c en présentant cette fois les deux méthodes : déf quotient ET diviser par a. En effet, pour les inéquations, on va avoir besoin de la division...

Je fonctionne presque de la même façon, sauf qu'après avoir beaucoup travaillé le ax+b=0 de la même façon qu'on remonte un programme de calcul, je passe à ax+b=cx+d en utilisant le fait que si deux nombres sont égaux alors leur différence est nulle. Du coup, ax+b=cx+d se ramène au cas précédent (Ax+B=0).

Remonter un programme de calcul permet aux élèves d'approcher la notion d' "opération inverse".
C'est peu, très intuitif si cela n'est pas démontré, mais cela permet au moins d'éviter la confusion entre le "-" du nombre négatif et le "-" de la soustraction.