Les nombres décimaux

@ Dhaiphi : Vous dîtes que les fractions décimales donnent du sens aux nombres décimaux. Je suis d'accord, mais on peut tout aussi bien donner du sens aux nombres décimaux sans passer par les fractions décimales, comme on peut évoquer les centaines, les milliers, les dizaines de milliers sans passer par la notion de puissances de 10.
C'est que si les élèves comprennent tous la construction des nombres décimaux en passant par les fractions décimales c'est super. Mais la notion de fraction n'est pas simple du tout au niveau du collège donc en primaire partir des fractions pour arriver aux décimaux c'est délicat. Quand ça marche c'est très bien, quand l'enseignant n'est pas à l'aise, il serait intéressant de prendre un autre chemin si c'est autorisé. Sans ignorer la notion de fraction qu'il faut voir en primaire. Mais à l'origine de mon intervention, c'était que dans mon collège des élèves ont découvert les nombres décimaux la dernière semaine de CM2. Je me dis qu'ils auraient pu les voir avant dans les tableaux de conversion par exemple même si ce n'est pas très académique.

Dhaiphi a écrit:Rien n'est évident, cher collègue, mais nous sommes là pour que ça le devienne.

Oui, comme je ne suis pas en primaire, j'avoue que je ne sais pas du tout comment on explique aux élèves de primaire 3 + 2/10 + 7/100.

EmmanuelB a écrit:@ Dhaiphi : Vous dîtes que les fractions décimales donnent du sens aux nombres décimaux. Je suis d'accord,

Voilà un point d’accord que je me permets de mettre en exergue afin qu'il nous en souvienne en cas de nécessité.

C'est que si les élèves comprennent tous la construction des nombres décimaux en passant par les fractions décimales c'est super.

Je n'ai pas cette prétention. Cette notion du plus grand nombre à tout prix n'a jamais influencé ma manière d'enseigner. Je fais ce je juge nécessaire de faire, voilà tout.  

c'était que dans mon collège des élèves ont découvert les nombres décimaux la dernière semaine de CM2.

Vous avez toute ma sympathie.  

j'avoue que je ne sais pas du tout comment on explique aux élèves de primaire 3 + 2/10 + 7/100.

Que souhaitez-vous "expliquer" aux élèves, j'avoue ne pas bien saisir tant il y a bien des choses à dire sur le sujet.

Je voulais savoir comment on explique par exemple 3 + 2/10 + 7/100 = 3,27. Il me semble que d'une manière ou d'une autre on manipule l'addition des fractions, non ?

Au début on peut utiliser un tableau qui permet de sortir facilement de situations qui peuvent poser problème en apparence.
Les élèves sont habitués à utiliser ces tableaux de conversion (longueur, masse) avec l'unité au centre et les multiples et sous-multiples de chaque côté.
On utilisera un tableau générique : M c d U 1/10 1/100 1/1000
Il suffit alors de placer chaque chiffre dans la colonne correspondante. La virgule sera placée dans la colonne des unités (ce qui s'avère bien plus simple que dans les conversions en système métrique où la virgule peut se déplacer en fonction de l'unité choisie).

Il s'agit de la méthode sans calcul qui permet à tous de réussir (j'ai remarqué que ce point vous souciait ).

Peu à peu s'établira l'équivalence 1/10=0.1 1/100=0.01 etc...

La virgule étant automatiquement placée dans la colonne des unités, les pioupious n'ont plus qu'à compléter les colonnes avec 3 dans celle des unités, 2 etc. Placer les 0 est encore une autre histoire, entre ceux qui sont pertinents et ceux qui sont inutiles, je me rappelle une assez longue bagarre contre eux...

Celadon a écrit:je me rappelle une assez longue bagarre contre eux...

Je ne doute point qu'elle fut épique. :chev:
Mais qu'en serait-il de la numération positionnelle sans le zéro ? Je ne manquais jamais une occasion d'en rappeler le rôle, mais bon...

Bonjour,
j'ai longtemps enseigné en CM1 et j'abordais toujours les décimaux tôt dans l'année avec un problème de monnaie en introduction.
L'écriture 2,25 euros par exemple faisant toujours parti des réponses données.
Avec les euros, la partie entière et décimale séparée par une virgule passe très bien.
Ensuite j'introduis les dixièmes (10 fois plus petit que l'unité) que l'on peut relier au décimètre, décilitre...
Les aborder tôt permet ensuite de passer tout le programme sur les techniques opératoires avec décimaux.

Dans ma progression venait plus tard les fractions puis fractions décimales et le lien entre écriture décimale et fractionnaire.
13,45 : 13 unités 4 dixièmes 4 centièmes ou 13+0,4+0,05 ou 13 + 4/10+5/100 ...

mimielaclasse a écrit:Bonjour,
j'ai longtemps enseigné en CM1 et j'abordais toujours les décimaux tôt dans l'année avec un problème de monnaie en introduction.
L'écriture 2,25 euros par exemple faisant toujours parti des réponses données.
Avec les euros, la partie entière et décimale séparée par une virgule passe très bien.

Et rappelons que nous avions convenu dans la discussion de l'année dernière que cette introduction des décimaux par la monnaie se faisait sans difficulté au CE1. Et dans la continuité l'addition et la soustraction des nombres décimaux au CE1.

Dhaiphi a écrit:

EmmanuelB a écrit:

C'est que si les élèves comprennent tous la construction des nombres décimaux en passant par les fractions décimales c'est super.

Je n'ai pas cette prétention. Cette notion du plus grand nombre à tout prix n'a jamais influencé ma manière d'enseigner. Je fais ce que je juge nécessaire de faire, voilà tout.  

Et voilà.

Daiphi a écrit:Au début on peut utiliser un tableau qui permet de sortir facilement de situations qui peuvent poser problème en apparence.
Les élèves sont habitués à utiliser ces tableaux de conversion (longueur, masse) avec l'unité au centre et les multiples et sous-multiples de chaque côté.
On utilisera un tableau générique : M c d U 1/10 1/100 1/1000
Il suffit alors de placer chaque chiffre dans la colonne correspondante. La virgule sera placée dans la colonne des unités (ce qui s'avère bien plus simple que dans les conversions en système métrique où la virgule peut se déplacer en fonction de l'unité choisie).

Il s'agit de la méthode sans calcul qui permet à tous de réussir (j'ai remarqué que ce point vous souciait Wink ).

Peu à peu s'établira l'équivalence 1/10=0.1 1/100=0.01 etc...

Merci pour ton explication, qui finalement me rassure car elle correspond finalement à une introduction des décimaux avec un tableau tout comme on pourrait le faire avec les monnaies comme le dit mimielaclasse. Je sais que je joue un peu l'avocat du diable, mais finalement on pourrait se passer des fractions décimales.

Ton explication me rassure mais par contre quand je vois des documents comme celui-ci (extrait d'un document de ac-grenoble) je suis dubitatif :

Etape n°6 Introduction des nombres à virgule comme changement de notation.

 C’est au début du 17ème siècle que le mathématicien flamand Simon Stévin (dit Simon de Bruges) introduit l’écriture à virgule que nous connaissons aujourd’hui dans l’intention de simplifier les activités d’écriture, de comparaison et de calcul avec les fractions décimales.
 Utilisation du Powerpoint « Des moutons aux nombres décimaux » ? 

 La correspondance fractions décimale et nombre à virgule peut être établie en utilisant la calculette :
438 : 100 = 438/100 = 438 ÷ 100 = 4,38

Étape n°7 Étude des nombres décimaux :

Lecture et écriture, comparaison et ordre, opérations

= > Éviter les « ficelles qui peuvent permettre de réussir des exercices mais qui vont plutôt à l’encontre du sens.
= > Faire systématiquement oraliser les écritures décimales et s’appuyer sur la désignation orale pour la compréhension.

Ex : 438/100 = 400/100 + 30/100 + 8/100 = 4 + 3/10 + 8/10 = 4,38
(Dire : 4 unités et trente huit centièmes)

1239/100 = 1200/100 + 30/100 + 9/100 = 12 + 3/10 + 9/10 = 12,39
(Dire : 12 unités et trente neuf centièmes)

J'aime bien le début avec le rappel historique, mais finalement Simon Stévin apporte un argument qui va dans mon sens :

l'intention de simplifier les activités d’écriture, de comparaison et de calcul avec les fractions décimales.

Pourquoi maintenant qu'on a inventé l'écriture décimale, faudrait-il passer par les fractions décimales pour comprendre l'écriture décimale ? Et pire quand on voit que la correspondance peut être établie avec la calculette !!! Stévin a-t-il utilisé une calculette ?

Et on voit bien qu'il faut comprendre comment 438/100 donne 4,38 et franchement ce n'est pas facile du tout. Déjà 3/10 + 8/100 = 38/100 ce n'est pas simple. Cela suppose de connaître les fractions égales : 3/10 = 30/100.

Par ailleurs dans les nombreuses activités de découverte ont fait comme si les élèves connaissaient déjà l'écriture décimale. Par exemple sur une droite graduée on demande de trouver combien fait 32/10. Ok, c'est vrai que de de nombreux élèves connaissent un peu l'écriture décimale, mais bon cela me dérange. Si j'osais le rapprochement, on n'apprend pas à lire en supposant que les élèves savent déjà lire.

EmmanuelB a écrit:Je sais que je joue un peu l'avocat du diable, mais finalement on pourrait se passer des fractions décimales.

J'ai du mal à voir où vous voulez en venir ?
Un cm est un centième de m, un m divisé en 100 parties égales soit 1/100 de m, comment y échapper ?

EmmanuelB :
3/10 + 8/100 = 0,38 est autant nécessaire que (5 x 100) + (6 x 10) + 9 = 569, non ?

Disons que si on a inventé l'écriture décimale c'est justement parce que on voulait simplifier les calculs en évitant de passer par le calcul fractionnaire.

Avant on avait 2438/100 ou 24 + 38/100 ou 24 + 3/10 + 8/100 et avec l'écriture décimale on a 24,38 = 2 x 10 + 4 x 1 + 3 x 0,1 + 8 x 0,01 et ce n'est plus utile de maîtriser le calcul fractionnaire car pour passer de 24 + 3/10 + 8/100 à 2438/100 il faut passer par 2400/100 + 30/100 + 8/100 ce qui n'est pas évident quand on ne maîtrise pas le calcul fractionnaire. Et malheureusement il y a beaucoup d'activités où on considère que 24 + 3/10 + 8/100 = 2438/100  s'explique finalement en passant par l'écriture décimale alors qu'on est en train de la découvrir si bien que la construction est très bancale.

EmmanuelB a écrit:ce qui n'est pas évident quand on ne maîtrise pas le calcul fractionnaire.

J'ai comme l’impression que vous cherchez une justification pour épargner à vos élèves la compréhension et la maîtrise du système fractionnaire.

Et malheureusement il y a beaucoup d'activités où on considère que 24 + 3/10 + 8/100 = 2438/100  s'explique finalement en passant par l'écriture décimale alors qu'on est en train de la découvrir si bien que la construction est très bancale.

L'écriture décimale n'explique rien.

Je crois percevoir quelque-chose de "bancal" dans votre discours mais ce n'est pas la construction du système fractionnaire, ni son écriture décimale.

EmmanuelB a écrit:Disons que si on a inventé l'écriture décimale c'est justement parce que on voulait simplifier les calculs en évitant de passer par le calcul fractionnaire.

Avant on avait 2438/100 ou 24 + 38/100 ou 24 + 3/10 + 8/100 et avec l'écriture décimale on a 24,38 = 2 x 10 + 4 x 1 + 3 x 0,1 + 8 x 0,01 et ce n'est plus utile de maîtriser le calcul fractionnaire car pour passer de 24 + 3/10 + 8/100 à 2438/100 il faut passer par 2400/100 + 30/100 + 8/100 ce qui n'est pas évident quand on ne maîtrise pas le calcul fractionnaire. Et malheureusement il y a beaucoup d'activités où on considère que 24 + 3/10 + 8/100 = 2438/100  s'explique finalement en passant par l'écriture décimale alors qu'on est en train de la découvrir si bien que la construction est très bancale.

Euh... non. Je n'en connais pas.
D'une part, l'écriture décimale est une convention d'écriture, une notation issue des fractions décimales. Elle est à peu près incompréhensible sans les fractions décimales. Pardon, mais comment j'explique ce que signifie 0,1 sans utiliser les fractions décimales, sans utiliser le mot "dixième" par exemple ?
D'autre part, il n'y a pas de calcul fractionnaire à maîtriser, il faut juste être familiarisé avec des concepts et des jeux d'écriture.
(1) Dix dixièmes font une unité.
(2) Dix centièmes font un dixième.
(3) Deux dixièmes et trois dixièmes font cinq dixièmes. Quand on se souvient de ce que signifie "numérateur" (le nombre de choses comptées) et "dénominateur" (la dénomination de la chose comptée), on mémorise que 2 dixièmes et 3 dixièmes font 5 dixièmes comme 2 chaises et 3 chaises font 5 chaises (c'est un peu plus touffu au niveau des concepts, mais peu importe, j'ai bien écrit "mémorise").
C'est pas la mer à boire.

JPhMM a écrit:Euh... non. Je n'en connais pas.

Pourtant plus haut j'en trouve une qui vient du site de ac-grenoble où on passe par 438/100 = 438 : 100 c'est à dire par la division décimale.

JPhMM a écrit:l'écriture décimale est une convention d'écriture, une notation issue des fractions décimales

Oui tu as parfaitement raison, c'est une convention d'écriture qui a été inventée pour éviter de passer les fractions décimales dans un esprit de simplification.
Passer par un dixième n'implique par forcement d'utiliser les fractions décimales on utilise 1/10 ou 0,1 qui se définissent tous les deux par l'unité divisée en 10.

Et je suis d'accord, 2 dixièmes + 3 dixièmes = 5 dixièmes c'est facile à comprendre en écriture fractionnaire : 2/10 + 3/10 = 5/10

Mais le problème c'est quand on dépasse l'unité car on utilise une autre facette des fractions qu'on utilise beaucoup en France et pas dans d'autre pays

7/10 + 4/10 = 11/10 ne nous dérange pas en France mais d'autres pays préfèrent écrire 7/10 + 4/10 = 1 + 1/10

7 mm + 4 mm = 11 mm ne posera pas le même problème car 1 mm est une unité de longueur.

1/10 c'est aussi une fraction partage et la fraction partage ne dépasse pas 1.

Je suis d'accord qu'on peut d'abord maîtriser toutes les facettes de la notion de fraction avant de découvrir l'écriture décimale mais c'est long. Les élèves auront cette maîtrise vers le niveau 4ème actuellement.
Et souvent les activités de découverte de l'écriture décimale utilise des prorpiétés des fractions que les élèves ne connaissent et parfois comme dans celle citée plus haut même des propriétés de l'écriture décimale. quand on dit 438/100 = 438:100 = 4,38 alors que les élèves connaissent uniquement 438 : 100 a pour quotient 4 et reste 38.

Daiphi disait qu'il passait directement par le tableau avec 1/10 et 1/100, c'est très bien car on évite les confusions et on respecte l'idée de convention en identifiant très rapidement 1/10 et 0,1 et les techniques de calculs seront décimales.

Je ne vois pas le problème.

5 dixièmes et 7 dixièmes font 12 dixièmes, donc 10 dixièmes et 2 dixièmes.
Mais 10 dixièmes font 1 unité.
Donc 1 unité et 2 dixièmes.

EmmanuelB a écrit:438/100 = 438:100 = 4,38 alors que les élèves connaissent uniquement 438 : 100 a pour quotient 4 et reste 38.

Je crains que vous n'exerciez dans un collège au public bien défavorisé.

JPhMM a écrit:Je n'ai pas écrit cela.

Vous me voyez navré de n'avoir pas vérifié suffisamment le contenu de mon précédent message.

C'est rien.
Merci pour la correction. Hop, je vais faire de même.

JPhMM a écrit:Je ne vois pas le problème.

5 dixièmes et 7 dixièmes font 12 dixièmes, donc 10 dixièmes et 2 dixièmes.
Mais 10 dixièmes font 1 unité.
Donc 1 unité et 2 dixièmes.

Pourtant le problème existe bien pour les pays qui écrivent pas 12/10 et préfère 1 + 2/10 ok c'est pareil mais pas au niveau de la compréhension.

Tout comme 7/10 + 5/10 = 12/10 ne se comprend pas de la même manière que 7 mm + 5 mm = 12 mm par une facette c'est pareil mais pas par une autre.

On rencontre aussi ce problème quand on remplit un verre aux 12/10 de sa capacité.

@ Daiphi : Quand les élèves découvrent l'écriture décimale, je pense qu'il est logique qu'ils ne connaissent pas la division décimale 438/100 = 4,38 je n'ai pas dit qu'au collège ils ne le savent pas.

Les différences d'écriture relèvent, à mon sens, plus de traditions, que de "problèmes".
Dans certains pays, on écrit même plus volontiers 2½ que 2,5.
Que ce soit différent au niveau de la compréhension (comme une demi-heure est égale à 0,5 heure et est égale à 30 minutes) n'implique pas que cela soit symptôme de l'existence d'un problème. Les écritures différentes permettent simplement de gérer plus ou moins facilement des situations différentes.

Non, non l'obstacle est réel, c'est un obstacle épistémologique bien connu. A une époque toutes les fractions étaient inférieures à 1.
Et quand on demande de compléter une droite graduée avec des fractions où l'unité est divisée en 5, on verra souvent l'erreur 7/10 à la place de 7/5 car les élèves pensent "fractions partage" au lieu de "fraction nombre", et c'est très difficile de corriger cette erreur. On rencontre le même problème avec les pourcentages supérieurs à 100 %. Dans un partage impossible de dépasser 100%, par contre dans une augmentation c'est possible et cela bouscule notre entendement.

EmmanuelB a écrit:Non, non l'obstacle est réel, c'est un obstacle épistémologique bien connu. Dans un partage impossible de dépasser 100%, par contre dans une augmentation c'est possible et cela bouscule notre entendement.

Je ne sais si cela est un obstacle "épistémologique", je n'ai point l’habitude d'employer ce terme que je laisse à disposition des formateurs en ESPE.
Toutefois je veux bien vous concéder qu'il peut être surprenant pour le jeune apprenant de partager sous-entendu une unité et de pouvoir se retrouver avec une quantité supérieur à l'unité.
Ceci dit quelques exercices ad hoc sur les fractions inférieures, égales et supérieures à l'unité et l'entendement bousculé retrouve rapidement sa stabilité.

Oui c'est possible de faire des exercices avec des fractions supérieures à 1. Mais comment expliquer ? Ce n'est pas simple. On risque de passer par les nombres décimaux ou par 11 mm = 1,1 cm mais ce n'est pas très correct quand on n'a pas encore vu l'écriture décimale.