[Maths] Les transformations en collège

Bonsoir, je suis en train de m'arracher les quelques cheveux qui me restent pour construire ce qui doit ressembler à un cours un minimum solide sur les transformations remises à l'honneur (*tousse * tousse) par la réforme.

Pour ceux qui ont manqué le début, l'idée est de présenter les translations sans la notion de vecteur, les rotations sans angle orienté et les homothéties sans coefficient négatif.
Je ne vais pas aller trop loin mais je ne peux pas me résoudre à ne faire que de la frise et du pavage ce qui m'amène donc à devoir préparer un "cours" dans lequel je me propose de suivre ce plan:

I) Introduction:

Au collège, une transformation est un processus qui, a chaque point d'une figure géométrique, associe un unique point appelé son image par la transformation.

Spoiler:

Parmi les transformations déjà étudiées on retrouve les symétries (symétrie axiale et symétrie centrale) mais ce ne sont pas les seules; ainsi on peut associer des transformations particulières à des déplacements de la figure d'origine ou à son agrandissement/réduction.

II) Isométries:

De manière générale, une transformation qui conserve les longueurs est appelée une isométrie du plan.
Exemples: la symétrie axiale et la symétrie centrale sont des isométries.
Les isométries conservent les alignements des points, les longueurs, les angles et les aires.

Spoiler:

         a) Les translations:

Effectuer la translation d'une figure c'est tracer son image par un glissement.

Spoiler:

Exemple: construire l'image du polygone par la translation qui transforme A en B.

Propriété admise: L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle.

         b) Les rotations:

Effectuer la rotation d'une figure autour d'un centre O et d'angle α°  c'est tracer la figure obtenue en la faisant tourner de α° autour du centre O.

Spoiler:

Exemple: Construire sur le quadrillage ci-dessous l'image du quadrilatère par la rotation de centre O et d'angle α°=90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

Spoiler:

III) Homothéties:
Soit O un point du plan et soit k un nombre positif non nul.
On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à chaque point M du plan associe le point M' tel que OM'=k × OM.

Spoiler:

Mon problème, il est là.
Il n'y a rien de solide là dedans et tout est tellement confus, biscornu, bizarre que ça ne présente pas d'intérêt.
Pas d'identité, pas de lien entre symétrie axiale et translation, entre symétrie axiale et rotation.
On a fait Thalès, il est naturel de parler d'homothétie de coefficient négatif en lien avec le "papillon" et bim, c'est "interdit". Il me paraît aussi important de ne pas restreindre les homothéties aux seuls agrandissements/réductions et j'ai peur que tout cela n'amène de fausses représentations ou de fausses idées aux élèves. Bref, que ce chapitre ne fasse plus de mal que de bien.
Je suis ouvert à toutes vos critiques ou conseils pour améliorer tout ça, ça en a bien besoin.

a chaque point d'une figure géométrique, associe un unique point appelé son image par la transformation.

Spoiler:
   j'ai pas mieux pour faire sentir le côté bijectif sans le dire

La définition n'est pas correcte, l'application qui à tout point du plan associe un même point A vérifie cette définition, mais n'est pas bijective.

Les isométries conservent les alignements des points, les longueurs, les angles et les aires.

Les isométries conservent les longueurs, donc les angles, les alignements, etc...

L'idée de parler d'isométries ici est de ne pas avoir à répéter par la suite les translations conservent... et les rotations conservent...

J'aurais tendance à penser, mais c'est personnel, qu'il vaut mieux justement reprendre ça pour chaque type de transformation, pour ensuite que les élèves eux-mêmes en viennent à dire qu'en fait c'est toujours pareil. 2 cents.

OM'=k × OM.

Ne pas oublier de préciser que M' est sur [OM), sinon, ça n'a pas de sens.
Pour les translations, parallélogrammes ad nauseam.
Sans oublier qu'il s'agit de collégiens, on peut avec la seule définition des isométries construire des images ( On connaît A, A', B, B', C où se trouve C' ? )
Si une droite D est strictement invariante par une isométrie f, quelle peut être l'image d'un point M extérieur à f ?
Tout ça au compas.

merci pour les corrections

Quelle plaie, ce programme ! Il faut parler des transformations, sans les étudier et sans les outils mathématiques ... En formation, on nous a bien dit de s'appuyer sur les logiciels de géométrie (i.e de s'en contenter) : "Quand tu appuies sur le bouton translation de géogébra, que ce passe-t-il ? Ca fait glisser la figure. Une translation est donc un glissement. Faisons maintenant une zolie frise". Et zou, terminée, la translation. La rotation, ça tourne et l'homothétie, ça agrandit ou ça réduit.
Et surtout, on ne formalise pas trop et on évite de trop rédiger.
Je ne suis même pas sûre qu'on doive vraiment faire un cours sur les transformations .... c'est du survol. Et il me semble avoir lu dans un document (une ressource d'éduscol, sans doute) qu'il ne fallait pas parler de l'effet de l'homothétie ou de la translation point par point, juste rester dans "l'effet global" sur la figure.
Je pense qu'ils nous ont collé ça dans les programmes parce que ça peut servir dans les EPI, pas pour qu'on fasse vraiment des études de cas géométriques.
Après, rien n'interdit de rentrer un peu dans les détails et de faire un chapitre qui tient la route, mais ça va prendre du temps sur d'autres notions... et ça va être galère en 3ème de compenser tous les changements de programme !

Et en même temps dans les docs d'accompagnement il y a dans le doc sur les questions flash (RA16_C4_MATH_geo_plane_flash) une rosace à 6 branches avec Décrire une symétrie centrale, deux symétries axiales et deux rotations qui laissent invariante cette rosace.

Sinon, j'ai modifié la première définition mais c'est d'un lourd!

Au collège, une transformation du plan est un processus qui, à chaque point du plan, associe un unique point appelé son image par la transformation et tel que deux points distincts aient toujours deux images distinctes.

Bonjour

Je ne suis plus en collège depuis longtemps mais il me semble qu'on évite de définir les transformations comme applications ponctuelles (ce qui revient sans doute à ne plus les définir du tout d'ailleurs). Cela  a peut-être changé mais vérifie les instructions.
j'aime bien les périphrases pour éviter d'employer les termes corrects (ce n'est pas ta faute)
Définir une translation par un glissement....comment dire. Rien de mieux pour nous convaincre que les profs de maths vivent sur une autre planète...tu vois ce que c'est que faire glisser une figure? ben en maths c'est une translation...mais à quoi ça sert de dire ça puisqu'on a dit qu'on faisait glisser, c'est là où le copain dit "tais toi c'est des maths"

J'exagère mais combien de fois les concepts mathématiques ne servent pas à débrouiller des situations confuses (ce qui serait leur rôle) mais au contraire l'intuitif et le réel viennent clarifier les notions mathématiques qui apparaissent du coup une complication inutile.

Ce n'est pas dirigé contre toi du tout mais contre ce qu'est devenu notre matière

Dw4rF_Naheulbeuk a écrit:
I) Introduction:

Au collège, une transformation est un processus qui, a chaque point d'une figure géométrique, associe un unique point appelé son image par la transformation.

Spoiler:

Cette définition me semble presque juste, mais pourquoi limiter l'ensemble de départ à une figure géométrique? Une transformation associe un point du plan à un autre, cela suffit largement.

Et les transformations ne sont pas toutes bijectives (voir plus bas).

wanax a écrit:

a chaque point d'une figure géométrique, associe un unique point appelé son image par la transformation.

Spoiler:
   j'ai pas mieux pour faire sentir le côté bijectif sans le dire

La définition n'est pas correcte, l'application qui à tout point du plan associe un même point A vérifie cette définition, mais n'est pas bijective.

J'avais pensé à la classique projection orthogonale sur une droite comme contre-exemple.  Elle était au programme en quatrième il y a 30 ans.

Dw4rF_Naheulbeuk a écrit:
Au collège, une transformation du plan est un processus qui, à chaque point du plan, associe un unique point appelé son image par la transformation et tel que deux points distincts aient toujours deux images distinctes.

Cette définition est fausse. L'homothétie de rapport 0 (exemple de @wanax) et les projections associent la même image à plusieurs points du plan, par exemple.

Une transformation est bijective, non ?

pignolo a écrit:Une transformation est bijective, non ?

Ce n'est pas la définition qu'on m'a donné au collège. Pour moi, la projection est une transformation géométrique non bijective.

Je ne suis pas le seul à le penser, par exemple:
http://warmaths.fr/MATH/geometr/Transfgeogene.htm#cour

Edit: je précise la définition mathématique. Pour moi, une transformation géométrique est une application du plan dans lui même, c'est à dire une relation telle que tout élément du plan a une et une seule image dans ce même plan.

(On peut parler de transformation dans l'espace aussi).

Une transformation est bijective, c'est sa définition.
Et au collège, bien que je n'en suis pas un spécialiste, il n'y a que des transformations (symétries, rotations, translations).

Je ne suis pas le seul à le penser ;-) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique

pignolo a écrit:Une transformation est bijective, c'est sa définition.
Et au collège, bien que je n'en suis pas un spécialiste, il n'y a que des transformations (symétries, rotations, translations).

Je ne suis pas le seul à le penser ;-) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique

Sauf que Wikipédia n'est pas cohérent, puisqu'il dit dans le même temps que les projections sont des transformations de l'espace, alors qu'elles ne sont pas bijectives.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Projection_orthogonale

Un autre lien ? On peut aller loin avec ça :-) .
http://www.animath.fr/IMG/pdf/transfos.pdf
http://www.normalesup.org/~sage/TSI/cours/05Transfo.pdf
etc.

De toute façon je suppose que cette problématique ne fait pas partie des attendus au collège.

Balthazaard a écrit:
j'aime bien les périphrases pour éviter d'employer les termes corrects (ce n'est pas ta faute)
Définir une translation par un glissement....comment dire. Rien de mieux pour nous convaincre que les profs de maths vivent sur une autre planète...tu vois ce que c'est que faire glisser une figure? ben en maths c'est une translation...mais à quoi ça sert de dire ça puisqu'on a dit qu'on faisait glisser, c'est là où le copain dit "tais toi c'est des maths"

[...]

Ce n'est pas dirigé contre toi du tout mais contre ce qu'est devenu notre matière

Ben c'est surtout que c'est bien ça le problème justement, et je ne le prends pas contre moi du tout   . Je pense seulement que je n'ai rien de ce qu'il faut pour pouvoir parler correctement des transformations du plan au collège (je crois même que les propriétés des quadrilatères particuliers ne sont pas un exigible du socle en fin de 3ème.) alors je me débats avec des définitions floues, des concepts fumeux et des exemples pourris .

Le but de ce post c'est simplement d'avoir des avis sur ce qui passerait ou pas avec des collégiens sans trop leur mettre de fausses représentations dans le crâne pour la suite.

Recherche rapide:

https://www.netmaths.net/lexique/transformation%20g%C3%A9om%C3%A9trique

Transformation géométrique

Application du plan ou de l'espace dans lui-même.

Les déplacements, les retournements, les similitudes et les projections sont des exemples de transformations géométriques.

Accessoirement si on monte un cran plus haut, dans un cours universitaire:
http://www.math.u-psud.fr/~rumin/enseignement/S2PMCP/6-Applications%20lin%C3%A9aires.pdf

On verra que les transformations géométriques : les projections, les symétries, les rotations,
sont des applications linéaires.

(Si les projections sont des transformations géométriques, celles-ci ne peuvent pas se restreindre aux bijections.)

Je ne vois pas l'intérêt de restreindre les transformations aux bijections, personnellement. Comment appelle-t-on les applications du plan dans lui même, si ce ne sont pas les transformations géométriques?

Pourquoi ne pas définir la translation à partir de deux points (la "translation qui associe A à B"  est la transformation qui à tout point M associe le point N tel que ABNM est un parallélogramme) ?

ycombe a écrit:
Cette définition est fausse. L'homothétie de rapport 0 (exemple de @wanax) et les projections associent la même image à plusieurs points du plan, par exemple.

C'est pourquoi j'excluais k=0 quand je parlais des homothéties justement. Cependant je reconnais que la vision que je donne d'une transformation est peut-être fausse mais à ce moment là, garder une vision générale de la notion ne risque t il pas de rendre l'ensemble incompréhensible?
Il me reste alors le choix de ne pas parler de transformation et de balancer directement translations, rotations et homothéties.

ycombe a écrit:Recherche rapide:

https://www.netmaths.net/lexique/transformation%20g%C3%A9om%C3%A9trique

Transformation géométrique

Application du plan ou de l'espace dans lui-même.

Les déplacements, les retournements, les similitudes et les projections sont des exemples de transformations géométriques.

Accessoirement si on monte un cran plus haut, dans un cours universitaire:
http://www.math.u-psud.fr/~rumin/enseignement/S2PMCP/6-Applications%20lin%C3%A9aires.pdf

On verra que les transformations géométriques : les projections, les symétries, les rotations,
sont des applications linéaires.

(Si les projections sont des transformations géométriques, celles-ci ne peuvent pas se restreindre aux bijections.)

Je ne vois pas l'intérêt de restreindre les transformations aux bijections, personnellement. Comment appelle-t-on les applications du plan dans lui même, si ce ne sont pas les transformations géométriques?

"Application" alors une inversion n'est pas une transformation... je me demande si cette discussion recouvre quelque chose de fécond.

Balthazaard a écrit:

ycombe a écrit:Recherche rapide:

https://www.netmaths.net/lexique/transformation%20g%C3%A9om%C3%A9trique

Transformation géométrique

Application du plan ou de l'espace dans lui-même.

Les déplacements, les retournements, les similitudes et les projections sont des exemples de transformations géométriques.

Accessoirement si on monte un cran plus haut, dans un cours universitaire:
http://www.math.u-psud.fr/~rumin/enseignement/S2PMCP/6-Applications%20lin%C3%A9aires.pdf

On verra que les transformations géométriques : les projections, les symétries, les rotations,
sont des applications linéaires.

(Si les projections sont des transformations géométriques, celles-ci ne peuvent pas se restreindre aux bijections.)

Je ne vois pas l'intérêt de restreindre les transformations aux bijections, personnellement. Comment appelle-t-on les applications du plan dans lui même, si ce ne sont pas les transformations géométriques?

"Application"  alors une inversion n'est pas une transformation... je me demande si cette discussion recouvre quelque chose de fécond.

Tu as raison. Pourtant, même wikipedia qui est partisan de la transformation comme bijection parle de transformation pour l'inversion. Tout cela manque de cohérence.

Pour accepter l'inversion, il va falloir considérer les transformations comme des fonctions du plan dans lui même ou je m'abuse?

Je ne doute pas que le débat mathématique soit intéressant mais je reviens égoïstement à mon sujet de départ ^^
Voilà mon brouillon/doc de travail quasi définitif. Il me reste en gros jusqu'à la Toussaint pour le finaliser.
Je le mets là pour donner des idées à ceux qui veulent et pour bénéficier de vos conseils sachant que j'ai pris note de vos remarques et si je ne peux pas faire un document "carré" j'aurais au moins réfléchi au bouzin et je pourrai défendre mes choix en cas d'inspection.

Spoiler:

Je me répète, mais pourquoi ne pas donner la définition de l'image d'un point par la translation qui transforme A en B ?

mathmax a écrit:Je me répète, mais pourquoi ne pas donner la définition de l'image d'un point par la translation qui transforme A en B ?

Pardon j'étais passé à côté de ton message. Pour le coup ça me plaît bien, c'est moins flou que "glissement".
Merci!

mathmax a écrit:Pourquoi ne pas définir la translation à partir de deux points (la "translation qui associe A à B"  est la transformation qui à tout point M associe le point N tel que ABNM est un parallélogramme) ?

Il me semble que c'est la définition que l'on donne aux élèves de seconde. Est-ce bien cela ?
Dans ce cas, peut-on la donner à des collégiens ? (Ce que je veux dire, ne peut-on pas nous le reprocher ?)

Marounette a écrit:

mathmax a écrit:Pourquoi ne pas définir la translation à partir de deux points (la "translation qui associe A à B"  est la transformation qui à tout point M associe le point N tel que ABNM est un parallélogramme) ?

Il me semble que c'est la définition que l'on donne aux élèves de seconde. Est-ce bien cela ?
Dans ce cas, peut-on la donner à des collégiens ? (Ce que je veux dire, ne peut-on pas nous le reprocher ?)

Le programme de seconde:
"A tout point C du plan, on associe, par la translation qui transforme A en B, l'unique point D tel que [AD] et [BC] ont le même milieu."

J'ai du mal à comprendre l'intérêt de passer par les milieux. Pour construire plus facilement le point D ?

Je pense que ça élimine l'histoire du parallélogramme aplati.

Hélips a écrit:Je pense que ça élimine l'histoire du parallélogramme aplati.

Non justement, ça ne l'élimine pas, ça correspond au cas particulier des points alignés ... et donc un parallélogramme peut être éventuellement aplati sans aucun problème dans la suite du chapitre, puisque la notion de translation sert à introduire les vecteurs en seconde (et les élèves oublient très vite la définition de la translation à l'aide des milieux, pour ne retenir que les vecteurs ...)