répétition d'épreuves identiques et indépendantes (question 2)

Bonjour
J'ai plusieurs questions liées au titre du sujet, je vais commencer par la première qui selon les réponses qu'elle obtiendra mettra fin à mes questions ou au contraire en suscitera d'autres.
Merci d'avance pour votre aide.
Question 1.
Il existe une définition rigoureuse de la notion d'événements indépendants, de variables aléatoires indépendantes mais en existe-t-il pour "épreuves indépendantes" ?
J'ai un vague souvenir (impossible de retrouver la source) d'en avoir vu passer une mais qui revenait à utiliser celles de variables aléatoires indépendantes.

Bonjour,
ce qui n'a pas de définition dans « épreuves indépendantes  » c'est le mot « épreuve ».

Si tu en donnes une définition tu auras vraisemblablement une réponse à ta question.

[edit]
On défini indépendance des événements, et on en tire une définition de indépendance des variables aléatoires.
In fine tout revient à l'indépendance des événements.

Pour moi, épreuves ou événements revient au même.
L'indépendance se traduit par le fait que la proba conditionnelle est égale à la proba "tout court" de l'événement.
La seule différence éventuelle c'est que ce caractère indépendant est prévisible sans aucun calcul préalable, ce qui n'est pas le cas en général pour les evenements.

Merci Verdurin pour cette première réponse.

verdurin a écrit:
On définit indépendance des événements, et on en tire une définition de indépendance des variables aléatoires.
In fine tout revient à l'indépendance des événements.

oui, je suis d'accord.

verdurin a écrit:Bonjour,
ce qui n'a pas de définition dans « épreuves indépendantes  » c'est le mot « épreuve ».

Si tu en donnes une définition tu auras vraisemblablement une réponse à ta question.

Mince, je ne pensais pas que le problème pouvait être là, en effet.
Moi je me garderai bien de le définir.

Programme de 2° "Les situations étudiées concernent des expériences à une ou plusieurs épreuves"
Programme de 1° "exemple d'expériences aléatoires à deux épreuves"

Aurais-je fait une confusion entre "expérience" et "épreuve" ? (confusion qui me serait venue de l'expression "épreuve de Bernoulli" qui est aussi une expérience)

Qu'entendent les programmes dans les phrases suivantes ? Comment définit-on "indépendantes" ?
2° "n répétitions indépendantes de la même expérience"

extrait de :

1° "répétition d’expériences identiques et indépendantes"
Dans certains corrigés (source apmep)
"Nous répétons cette expérience de manière indépendante"

Si par contre, "épreuves" dans "épreuves de Bernoulli" ne pose pas problème, peut-on définir rigoureusement en 1°  "répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes" (puisque la notion d'indépendance d'événements est indisponible) ?

Igniatius a écrit:Pour moi, épreuves ou événements revient au même.
L'indépendance se traduit par le fait que la proba conditionnelle est égale à la proba "tout court" de l'événement.
La seule différence éventuelle c'est que ce caractère indépendant est prévisible sans aucun calcul préalable, ce qui n'est pas le cas en général pour les evenements.

On en revient à la remarque de Verdurin : définir "épreuve".
Et si épreuve se distingue d'événement, on définierait l'indépendance de plusieurs épreuves par l'indépendance des événements qu'elles engendrent ?

Caractère prévisible : dire par exemple, que l'on appellera expériences indépendantes, des expériences qui peuvent être assimilées à (ou sont) des tirages avec remise ?

Question 2
Connaissez-vous un exemple de répétition d'une même épreuve de Bernoulli (son succès et son paramètre restant donc le même) ou d'épreuves de Bernoulli identiques (c'est-à-dire de même loi) qui ne seraient pas indépendantes ?
Autrement dit, un exemple qui prouverait que si on répète une même épreuve de Bernoulli ou des épreuves de Bernoulli identiques, l'indépendance n'est pas forcément assurée.
Merci pour votre aide.

Pour les contre-exemples : voir ce fil (les mathematiques.net).


Sur l'indépendance : En proba, on parle de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes. Le lien entre les probas et les variables aléatoires est que si A est un événement, P(A) = E[1_A] où 1_A est la variable de Bernoulli caractérisée par la réalisation de A (1_A(omega) = 1 si omega appartient à A, 0 sinon).

Pour ce qui est des variables de Bernoulli "identiques", il faut faire attention à ce que l'on dit. Il est évident que si A et B sont des événements avec 1_A = 1_B alors A=B. Par conséquent, deux variables de Bernoulli identiques ne peuvent être indépendantes (on ne peut pas être indépendant de soi-même sauf cas triviaux de mesures 0 ou 1).

Deux variables de Bernoulli définies sur le même Omega sont indépendantes si et seulement si elles sont les indicatrices d'événements indépendants.

Sur la répétition indépendante d'épreuves : Les épreuves, au sens du programme sont les "étapes" de l'expérience. Le problème est que lorsqu'on "répète de manière indépendante" une "même expérience" on change complètement la modélisation.

Supposons que l'on partait d'un espace probabilisé (Omega_1,F_1,P_1) d'un événement A_1 de F_1 et de la variable de Bernoulli associée 1_A_1. Ce que l'on appelle "répéter" en langage courant s'exprime formellement en créant une deuxième copie de l'espace (Omega_2,F_2,P_2) avec un événement A_2 qui vérifie P_1(A_1)=P_2(A_2).

Lorsqu'on étudie les deux "épreuves indépendantes" conjointement, on étudie en fait l'espace produit Omega = Omega_1 x Omega_2 dans lequel vit les couples de résultats de chacune des épreuves. Si à l'issue de l'expérience on veut que A "se soit réalisé deux fois", cela correspond à deux issues omega_1 de A_1 et omega_2 de A_2. C'est le modèle que l'on utilise avec le tableau à double entrée pour la répétition de pile ou face.

L'ensemble F des événements de Omega est la tribu engendrée par les produits cartésiens d'événements de F_1 et de F_2 (ce n'est donc pas exactement l'ensemble des produits cartésiens, revoir la théorie de la mesure au cas où). La mesure de proba P est définie pour tout A_1 de F_1 et A_2 de F_2 par P(A_1 x A_2) = P_1(A_1) P_2(A_2).

Ceci mis en place, on parle de variables aléatoires sur cet Omega compliqué en les pensant comme des fonctions de deux variables, la première dans le premier Omega et la deuxième dans le second.

Si je joue à pile ou face deux fois, je peux noter A l'événement "obtenir pile au premier lancer (sans se préoccuper de ce qui se passe après)". En réalité c'est un événement un poil plus compliqué : en notant A_1 l'ensemble des issues de Omega_1 qui correspondent à pile, A = A_1 x Omega_2 ! De même si je note A' l'événement "obtenir pile au second lancer", j'ai A'=Omega_1 x A_2 où A_2 est l'ensemble des issues qui donnent pile.

Lorsque je considère l'indépendance des "expériences", je considère en fait l'indépendance de A et A', et tels que créés, puisque A inter A' = A_1 x A_2, par définition de P,

P(A inter A') = P_1(A_1)P_2(A_2), mais de plus, P(A) = P_1(A_1)P_2(Omega_2) = P_1(A_1) et de même P(A') = P_2(A_2), ce qui prouve que A et B sont indépendants sous P (donc sous la perspective de la répétition indépendante). Ceci engendre en particulier le fait que les deux variable de Bernoulli associées, 1_A et 1_A' sont indépendantes.

En définitive, si l'on modélise une expérience de la façon dont je l'ai faite (donc en considérant l'espace produit et en définissant P comme je l'ai fait), on obtient toujours l'indépendance des événements liés aux "épreuves".

Pour ne pas qu'il y ait indépendance, il faut modifier la façon dont s'enchaînent les deux étapes, et pour cela on utilise un noyau de transition (voir par exemple le chapitre sur le conditionnement du tome 2 d'Ouvrard ou ce pdf, ou encore celui-ci).

Une suite de tirages sans remise est un exemple de répétition d'épreuves identiques qui ne sont pas indépendantes. Ainsi, si je distribue des cartes d'un jeu de 52 cartes, pour tout entier n inférieur ou égal à 52, la probabilité de tirer l'as de Cœur au n-ième tirage est toujours égale à 1/52 : les épreuves sont identiques...

Les expériences ne sont pas identiques parce que les probabilités sont modifiées : à chaque étape le nombre de cartes diminuant de 1 (sans compter que la proba de tirer l'as est modifiée à chaque fois) la probabilité n'est pas constante... Ou peut-être n'ais-je pas compris ce que tu disais ? Tu parles bien des probabilités conditionnellement au passé à chaque étape ?

Tu confonds une répétition d'épreuves identiques et indépendantes (les lois de chaque épreuve sont identiques et indépendantes) et une répétition d'épreuves identiques (les lois de chaque épreuve sont identiques mais pas nécessairement indépendantes).

Relis bien précisément ce que j'ai écrit : un tirage sans remise est un exemple de répétition d'épreuves identiques : les résultats de chaque tirage suivent exactement la même loi (1 chance sur 52 de tirer chacune des cartes). Si je réalise un grand nombre de fois l'expérience proposée et que j'étudie d'un côté le résultat du premier tirage et de l'autre celui du 42-ième tirage, tu constateras que les lois des deux tirages sont indistinguable (aux intervalles de fluctuation usuels près...)

Par contre, comme tu l'écris : «à chaque étape, la probabilité n'est pas constante», c'est à dire : les épreuves ne sont pas indépendantes.

Il n'y a pas de définition probabiliste du mot expérience. On est obligé de se ramener soit au modèle probabiliste, soit aux variables aléatoires.

Quel est donc ton Oméga ? Est-ce les 52-uplets de cartes ? Dans ce cas le problème se ramène à décrire ces 52-uplets qui sont tous à priori équiprobables oui

Modélisons proprement les choses : nous déciderons donc que Oméga est l'ensemble des 52-listes sans répétition parmi les 52 cartes du jeu (c'est à dire les 52-uplets de cartes). L'algèbre des événement est l'ensemble des parties de Oméga, que l'on munit de la probabilité uniforme : P(A)=cardinal(A)/cardinal(Oméga)
On peut définir les variables aléatoires X_1, ..., X_52 par X_k=1 si succès au tirage k, 0 si échec, où on convient par exemple, qu'il y a succès si on tire un carreau. Ces variables aléatoires ne sont pas indépendantes, mais elles suivent toutes la même loi. Dans l'exemple que j'ai choisi, on a une chance sur quatre de tirer un carreau au tirage k...

Ok, là je te suis. Je n'avais pas en tête le même espace probabilisé.

BR a écrit:Modélisons proprement les choses : nous déciderons donc que Oméga est l'ensemble des 52-listes sans répétition parmi les 52 cartes du jeu (c'est à dire les 52-uplets de cartes). L'algèbre des événement est l'ensemble des parties de Oméga, que l'on munit de la probabilité uniforme : P(A)=cardinal(A)/cardinal(Oméga)
On peut définir les variables aléatoires X_1, ..., X_52 par X_k=1 si succès au tirage k, 0 si échec, où on convient par exemple, qu'il y a succès si on tire un carreau. Ces variables aléatoires ne sont pas indépendantes, mais elles suivent toutes la même loi. Dans l'exemple que j'ai choisi, on a une chance sur quatre de tirer un carreau au tirage k...

Oui mais alors ce sont les v.a. qui sont identiques, pas les épreuves.
De ce que je comprends, on a 52 épreuves successives différentes, qui conduisent en effet à 52 v.a. suivant la même loi.

Les va ne sont pas identiques, en revanche elles ont la même loi (Bernoulli de même paramètre). En revanche on ne sait pas ce qu'est une "expérience" ou une "épreuve" puisque ce ne sont pas des concepts probabilistes.

Bon en probabilités (les vraies), une binomiale n,p a la loi d'une somme de n variables de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées de paramètre p. C'est ce point qui est traduit par le programme de 1S.

Merci pour vos réponses et pour le lien Samuel DM.
Je vais regarder tout ça à tête reposée (ce qui risque d'attendre un peu).
Je précise que je cherchais plutôt un exemple présentable en 1° (donc qui n'évoque pas les variables aléatoires indépendantes) mais c'est déjà très intéressant d'en avoir un ou plusieurs peu importe le niveau.
J'avais examiné cet exemple là :
On dispose de deux dés A et B,
Le dé A a 4 faces rouges et 2 faces jaunes.
Le dé B a 2 faces rouges et 4 jaunes.
On tire au hasard un dé puis on lance n fois le dé choisi.
Pour tout i de 1 à n, on note Xi la variable aléatoire telle que Xi=1 si une face jaune sort au ième jet et 0 si une face rouge sort au ième jet.
Il me semble que
chaque Xi est bien une variable de Bernoulli de paramètre ½
les Xi ne sont pas indépendantes puisque par exemple, p(X1=1;X2=1)≠p(X1=1)p(X2=1)
la loi de Sn=X1+X2+…Xn n’est pas la loi binomiale
Qu'en pensez-vous ?
Mais de toutes façons, il n'est pas utilisable en 1°.
En fait, ma question, c'est par rapport aux situations qu'on rencontre et aux rédactions qu'on voit utiliser en 1° et T° du type :
on réalise (répète) n épreuves de Bernoulli indentiques et indépendantes (ou une même épreuve de Bernoulli de manière indépendante ou encore on répète de façon indépendante n fois CETTE épreuve)
Lors d'une épreuve le succès est ……… avec p(S)=……
X compte le nombre de succès donc X suit la loi binomiale de paramètres ……
Dans laquelle je me demande comment justifier que 'indépendant" n'est pas automatiquement acquis par la présence de "identique"

L'exemple de néo-fit me parait compliquer inutilement les choses. Il procède à une suite de tirage identiques et indépendants conditionnellement à un choix aléatoire. Cela doit certainement être reposant de penser qu'une fois effectué un choix aléatoire, on retombe dans une routine classique; mais cela renvoie la difficulté au choix initial; et cela a de plus l'inconvénient de faire penser qu'une suite d'épreuves identiques se ramène à une suite d'épreuves identiques _et_ indépendantes à une variable cachée près (le choix aléatoire de l'urne...).

L'exemple du tirage sans remise est à mon avis beaucoup plus instructif : il est impossible de trouver un modèle dans lequel on se ramène à des tirages indépendants à une variable cachée près. Il permet de plus de remettre en cause l'intuition que l'on a des tirages sans remise. Il me semble beaucoup plus intéressant de faire _comprendre_ que la probabilité d'obtenir, par exemple, un cœur est la même au douzième tirage comme au premier tirage. C'est là un résultat profondément contre intuitif, qui permet d'illustrer de façon frappante la différence entre probabilité et probabilité conditionnelle... ce qui est précisément le problème que néo-fit soulève dans sa question.

Le problème (ce qui fait que c'est difficile à comprendre par les élèves) est que l'on se place naturellement dans la configuration de l'espace probabilisé produit (décrite ici) qui induit automatiquement l'indépendance. En fait c'est que l'indépendance est le modèle intuitif que l'on fixe.

On pourrait dire aussi que l'on est conditionnés pour penser l'indépendance puisque de nombreux problèmes de la vie courante s'étudient usuellement sous le prisme de l'indépendance (parfois une indépendance conditionnelle comme soulevé par BR).

J'opine dans le sens de Samuel.

Je pense d'ailleurs qu'il n'est pas raisonnable de soulever devant les élèves les questions posées par néo-fit : l'expression «répétition d'épreuves identiques et indépendantes» amène naturellement à modéliser le problème par un univers produit et il me paraît important d'inculquer ce réflexe aux lycéens sans chercher à exposer les subtilités cachées dans l'association des mots «identiques» et «indépendantes». Que les élèves sachent reconnaître une loi binomiale et faire des calculs avec la loi binomiale est déjà un succès suffisant : inutile de s'appesantir sur des subtilités qui risque les dépasser.

C'est un peu comme si on commençait à expliquer au collège que xy=yx est vrai parce que la multiplication des rationnels est commutative, et qu'il est important de citer la propriété de commutativité avant de l'utiliser...

Il est cependant important, à mon avis, que l'on garde en tête un exemple comme celui des tirages sans remise qui permet d'avoir les idées claires sur le sujet (et, éventuellement, de clouer le bec à un importun qui s'aviserait de vous chercher des poux dans la tête...).

Samuel DM a écrit:En revanche on ne sait pas ce qu'est une "expérience" ou une "épreuve" puisque ce ne sont pas des concepts probabilistes.

Bon en probabilités (les vraies), une binomiale n,p a la loi d'une somme de n variables de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées de paramètre p. C'est ce point qui est traduit par le programme de 1S.

Oui mais c'est bien une traduction : on évoque donc répétition d'épreuves ou expériences qui n'ont pas de légitimité en probabilité, c'est troublant, sinon facheux mais finalement ça ne gêne pas la compréhension.

BR a écrit:
L'exemple du tirage sans remise est à mon avis beaucoup plus instructif : il est impossible de trouver un modèle dans lequel on se ramène à des tirages indépendants à une variable cachée près. Il permet de plus de remettre en cause l'intuition que l'on a des tirages sans remise. Il me semble beaucoup plus intéressant de faire _comprendre_ que la probabilité d'obtenir, par exemple, un cœur est la même au douzième tirage comme au premier tirage. C'est là un résultat profondément contre intuitif, qui permet d'illustrer de façon frappante la différence entre probabilité et probabilité conditionnelle... ce qui est précisément le problème que néo-fit soulève dans sa question.

Oui merci beaucoup pour votre exemple, c'est effectivement ce que je cherchais : un exemple de variables de même loi (c'est ce que j'entendais par identiques mais avec ce que dit SamuelDM dans un message précédent, j'ai un doute sur ce que signifie en fait identiques) mais pas indépendantes.
Or, à chaque fois que je pensais tirages sans remise (c'était là que pouvait se glisser la non indépendance) je voyais le changement de paramètre et n'arrivais pas à trouver d'exemple qui conduisait à des variables de même loi. Surement à cause de ce que vous dites : profondément contre-intuitif. L'exemple n'était pourtant pas loin.

Samuel DM a écrit:Le problème (ce qui fait que c'est difficile à comprendre par les élèves) est que l'on se place naturellement dans la configuration de l'espace probabilisé produit (décrite ici) qui induit automatiquement l'indépendance. En fait c'est que l'indépendance est le modèle intuitif que l'on fixe.

On pourrait dire aussi que l'on est conditionnés pour penser l'indépendance puisque de nombreux problèmes de la vie courante s'étudient usuellement sous le prisme de l'indépendance (parfois une indépendance conditionnelle comme soulevé par BR).

Si j'ai bien compris toutes vos explications, je pense que c'est pour ça que je n'arrivais pas à voir en quoi "indépendance" devait faire partie des hypothèses, parce que de fait toutes les situations qu'on rencontrait l'étaient par construction.
Et le doute était d'autant plus grand que par exemple dans les documents d'accompagnement, indépendance se trouve aléatoirement précisée au fil des paragraphes.
Ou dans ce document là, http://www.math.u-psud.fr/~fouquet/src/ProbabilitesFouquet.pdf , l'auteur énonce que les tirages de Bernoulli sont indépendants (p16, 20) sans l'avoir posé au préalable comme hypothèse (mais ça m'a peut être échappé).

BR a écrit:J'opine dans le sens de Samuel.

Je pense d'ailleurs qu'il n'est pas raisonnable de soulever devant les élèves les questions posées par néo-fit : l'expression «répétition d'épreuves identiques et indépendantes» amène naturellement à modéliser le problème par un univers produit et il me paraît important d'inculquer ce réflexe aux lycéens sans chercher à exposer les subtilités cachées dans l'association des mots «identiques» et «indépendantes». Que les élèves sachent reconnaître une loi binomiale et faire des calculs avec la loi binomiale est déjà un succès suffisant : inutile de s'appesantir sur des subtilités qui risque les dépasser.

Je vous rassure, pas question de soulever cette question devant les élèves, et en bon soldat, j'y allais de mon "identiques et indépendantes" mais vous l'aurez compris sans être profondément convaincue qu'il n'y avait pas pléonasme.

BR a écrit: Il est cependant important, à mon avis, que l'on garde en tête un exemple comme celui des tirages sans remise qui permet d'avoir les idées claires sur le sujet (et, éventuellement, de clouer le bec à un importun qui s'aviserait de vous chercher des poux dans la tête...).

C'est bien pour avoir les idées claires et pouvoir répondre à une telle question, que d'ailleurs je ne jugerai pas importune mais plutôt légitime, que je cherchais cet exemple.
Je m'étonne même plutôt que la question ne soit pas posée.
Il restera qu'il sera toujours délicat de parler d'"épreuves" non "indépendantes" (plutôt que de variables) sans la "vraie" définition de l'indépendance.[/quote]