Qu'est-ce qu'une somme ? une différence ? un produit ? un quotient ?

j'en sais rien moi!

c'est juste que pi c'est un peu l'exemple type du nombre "avec une virgule mais qui n'est pas une fraction" que je sors à mes élèves quand on aborde justement l'intérêt de l'écriture fractionnaire.

en gros: nombre "à virgule" devient écriture décimale; puis je parle des nombres "écrits avec une virgule mais qui ne sont pas décimaux" pour aborder les rationnels et enfin je prends pi comme exemple de nombre qui n'est pas décimal mais qui en plus n'est même pas une fraction le bougre!

Nan mais on est bien d'accord : je fais pareil
Mais du coup, tout ce passage sur les rationnels-fractions-quotient n'était ni nécessaire, ni même vraiment utile. Sauf que y'a des spécialistes qui ont pris le temps de l'écrire, ce qui me laisse perplexe : sont-ce des buses ou a-t-on raté un truc important ?

"Des nombres écrits avec une virgule mais qui ne sont pas décimaux" ?!

Pardon ?

Des nombres "avec une virgule" sont décimaux. Tout dépend ensuite du développement décimal, si il est limité ou illimité.

Pour les élèves, oui [j'avais lu trop vite écriture décimale = écriture à virgule, je me rends compte que ce n'était pas ce qui était écrit]. Mais il est délicat de le présenter ainsi, car on pourrait très bien définir des écritures à virgule avec une autre base que la base dix. D'ailleurs je crois bien avoir vu passer cela dans des manuels des années 70 (de la collection où on introduisait en CE1 les numérations en base 4 et 5).

francois75 a écrit:"Des nombres écrits avec une virgule mais qui ne sont pas décimaux" ?!

Pardon ?

Des nombres "avec une virgule" sont décimaux. Tout dépend ensuite du développement décimal, si il est limité ou illimité.

Décimal, c'est uniquement si la partie décimale est finie (i.e. il n'y a que des zéros au-delà d'un certain rang), puisque tu dois pouvoir écrire ton nombre sous la forme N/(10^n) avec N entier relatif et n entier naturel.
2/3 = 0,6666666... n'est pas décimal et pourtant s'écrit avec une virgule.

Les seuls cas où une écriture décimale infinie correspond à un nombre décimal, c'est s'il n'y a que des 9 au-delà d'un certain rang (puisque 0,99999... = 1)

Ou alors j'ai mal compris ce que tu voulais dire

Allez je relance le schmilblick:
1-2+3-4+5-6+7-8+9
c'est une somme ?

William Foster a écrit:
Les seuls cas où une écriture décimale infinie correspond à un nombre décimal, c'est s'il n'y a que des 9 au-delà d'un certain rang (puisque 0,99999... = 1)

Je suis en train de m'imaginer expliquer à mes 6èmes que 0,999999... = 1 Je sais que c'est vrai, hein, mais penser à la tête des mes élèves !! Déjà que quand je leur dit qu'une droite est infiniment longue, ils me regardent un peu bizarrement ("nan, mais, et à la fin, quand même, elle se termine, la droite ?").

VinZT a écrit:Allez je relance le schmilblick:
1-2+3-4+5-6+7-8+9
c'est une somme ?

Ouaip ! Mais c'est une somme algébrique, une somme de nombres relatifs.
1-2+3-4 = 1+(-2)+3+(-4)
"c'était pour faire avancer le schmilblick"

VinZT a écrit:Allez je relance le schmilblick:
1-2+3-4+5-6+7-8+9
c'est une somme ?

Bah vi... Somme de 1 et -2 et 3 et -4 et 5 et -6 et 7 et -8 et 9.
Bon, je crois que je vais aller faire UN somme moi, histoire de marquer ma différence...

William Foster a écrit:

VinZT a écrit:Allez je relance le schmilblick:
1-2+3-4+5-6+7-8+9
c'est une somme ?

Bah vi... Somme de 1 et -2 et 3 et -4 et 5 et -6 et 7 et -8 et 9.
Bon, je crois que je vais aller faire UN somme moi, histoire de marquer ma différence...

Je te somme de n'en rien faire !

Ca me rappelle quand j'ai sorti aux élèves de 1ère (à propos d'une animation où l'on enroule la droite des réels sur le cercle trigo) "Elle est longue ma droite hein". Je les ai perdu

francois75 a écrit:
Ca me rappelle quand j'ai sorti aux élèves de 1ère (à propos d'une animation où l'on enroule la droite des réels sur le cercle trigo) "Elle est longue ma droite hein". Je les ai perdu  

Non seulement elle est longue mais tu arrives à l'enrouler ! Quel talent !

Plus sérieusement, la transformation géométrique "enroulement de droite" m'a toujours laissé un peu perplexe (même si je l'ai utilisé, comme bon petit fonctionnaire zélé).

francois75 a écrit:
Ca me rappelle quand j'ai sorti aux élèves de 1ère (à propos d'une animation où l'on enroule la droite des réels sur le cercle trigo) "Elle est longue ma droite hein". Je les ai perdu  

:lol:

francois75 a écrit:

Déjà que quand je leur dit qu'une droite est infiniment longue

Pourquoi préciser longue ?
Oh je sais, je suis pénible.

Parce que je leur dis aussi qu'elle est infiniment fine !

Sinon, j'ai réfléchi à la phrase du programme : peut-être qu'elle est simplement très mal formulée et qu'on nous demande, non pas de différencier les rationnels des irrationnels, mais plus simplement de différencier les rationnels non décimaux des décimaux.
1/4 ou 0,25, c'est égal, on peut utiliser indifféremment l'un ou l'autre. Par contre, la valeur exacte de 1/3 ... ben c'est 1/3 et pas 0,33 ni 0,3333333333 comme l'affiche la calculatrice. (Et ça, ça a un intérêt avec les élèves de collège.)
Bon, dans mon interprétation, ça voudrait dire que le m'sieur des programmes pense qu'un nombre décimal n'est pas un rationnel ... ça serait moche !

cube a écrit:

William Foster a écrit:
Les seuls cas où une écriture décimale infinie correspond à un nombre décimal, c'est s'il n'y a que des 9 au-delà d'un certain rang (puisque 0,99999... = 1)

Je suis en train de m'imaginer expliquer à mes 6èmes que 0,999999... = 1 Je sais que c'est vrai, hein, mais penser à la tête des mes élèves !! Déjà que quand je leur dit qu'une droite est infiniment longue, ils me regardent un peu bizarrement ("nan, mais, et à la fin, quand même, elle se termine, la droite ?").

Je le fais tous les ans, dans le cadre du quotient.

En effet :
Par définition du quotient de 1 par 3, (1/3)x3 = 1
Mais (1/3)x3 = (1:3)x3 = 0,333333333333... x 3 = 0,999999999999...

Ce n'est pas une démonstration, mais ils comprennent très bien l'idée.

C'est pour cela que JPhMM est demi-dieu

VinZT a écrit:
Je te somme de n'en rien faire !

Paix ! Paix sur Terre aux sommes de bonne volonté !

wanax a écrit:

VinZT a écrit:
Je te somme de n'en rien faire !

Paix ! Paix sur Terre aux sommes de bonne volonté !

C'est un peu court, jeune homme !
On pouvait dire... oh ! Dieu ! ... bien des choses en somme.

ZDj a écrit:En 6è, lorsque l'on parle d'une somme on dit que c'est le résultat d'une addition. [...] Et plus tard lorsque l'on rencontre 3x + 4 on dit que c'est une somme, alors que l'on n'a pas de résultat. Est-ce que c'est problématique ou pas ? Est-ce que je m'égare ?

Pour moi tout dépend de l'article utilisé : une ou la.
* une somme : c'est une addition comme 3+4
* la somme : c'est le résultat d'une somme, ici ce serait 7 en référence à 3+4.

On retrouve la même distinction entre "un rayon" (un segment) et "le rayon" (une longueur).

Dans les nouveaux programmes il me semble que l'on parle de nombres entiers et de nombres décimaux, avec en implicite une exclusion, ce qui me gêne fortement.
La seule justification à cela pourrait être le regard historique et l'apparition tardive de l'écriture décimale.

Je suis un produit pur des maths modernes dans le temps, et avec des questions comme ça je me rends compte (encore une fois) comme c'était sacrément bien fait.
Quand on apprend qu'une somme, c'est le truc dans un groupe, et que dans un groupe G,+, c'est une relation (une fonction en fait) de G x G vers G, alors la réponse est évidente.  Quand on a sommes et produits, on se trouve au moins dans un anneau (tous des concepts de 5ième à cette époque), ou il y a deux relations: G,+,x
+ : G X G -> G
x : G X G -> G

alors, 5*3 + 4 s'écrit:
+(x(5,3),4)

Il y avait des calculatrices de chez HP qui utilisaient la notation Polonaise inverse, où il fallait écrire:
((5,3)x,4)+ (sans les parenthèses).

Ainsi, c'est clair: 5*3 + 4 est bien une addition, car la fonction "du haut" est +.  (4+3)*5, par contre, est une multiplication, car c'est:
x(+(4,3),5)

J'ai toujours regretté qu'on a enlevé tout ça.  Pour moi c'était clair et révélateur comme élève, pour justement, éviter ces discussions du nombre d'anges sur la tête d'une épingle qui viennent du fait qu'il n'y a plus de fondements logiques mais qu'en bas, il n'y a plus que des tripes.

ZeSandman a écrit:Dans les nouveaux programmes il me semble que l'on parle de nombres entiers et de nombres décimaux,  avec en implicite une exclusion, ce qui me gêne fortement.
La seule justification à cela pourrait être le regard historique et l'apparition tardive de l'écriture décimale.

Je suis d'accord avec vous, c'est une horreur, ce truc !  Je ne le connaissais même pas jusqu'à ce que mon fils le montre dans son cours.  Cet ensemble est même dépendant de la base dans laquelle on écrit ces nombres.  Les nombres décimaux ont un développement fini en base 10, mais c'est différent en base 2 par exemple.  1/10 n'est pas un "nombre décimal" en base 2.  
On pourrait aussi définir l'ensemble des nombres qui ne contiennent pas de "7" dans leur écriture décimale...

On constate bien que la personne qui a inventé cette notion, n'a aucune notion de structure mathématique, où on confond concept mathématique et représentation.  Ici, on confond le concept de nombre, et le concept de représentation du nombre (en écriture décimale).  Là où toute la difficulté de l'apprentissage de mathématiques consiste justement à faire faire abstraction de la notation, pour accéder au concept mathématique derrière.

L'horreur qu'on fait ici, c'est de confondre la notion de nombre, et sa notation. C'est comme si le 5 en écriture Indo-Arabe serait différent du nombre Romain V. Autant dire qu'il y ait des "nombres Romains". Combien fait alors VII + 8 ? Est-ce un nombre Romain ou non ?

C'est du même niveau de bêtises que quand on veut faire accéder des petits enfants au concept de nombre *sans objet* de montrer qu'il y a quelque chose de commun entre 5 vaches, 5 sous, 5 enfants, 5 ballons etc....et puis on va dire qu'on ne considère que les nombres qui rentrent dans une boîte quand c'est des ballons...

Ça doit faire parti de la guerre contre la pensée abstraite...

VinZT a écrit:Allez je relance le schmilblick:
1-2+3-4+5-6+7-8+9
c'est une somme ?

Dans le concept de "somme" dans le groupe, donc relation G x G -> G, cette expression serait, sans explication supplémentaire, même mal formulée, car une somme c'est la fonction de DEUX vers UN élément.

En suite, "moins" n'existe pas vraiment, mais est l'addition avec l'élément inverse, qui est une fonction exigée dans le groupe:
- : G -> G: u -> (-u).

Ainsi, strictement parlé, vous pourriez écrire votre expression comme ceci:
+(+(+(+(+(+(+(+(+(1,(-2)),3),(-4)),5),(-6)),7),(-8)),9)

Seulement, dans les propriétés générales d'un groupe, il y a l'associativité, qui dit que +(a,+(b,c)) est la même chose que +(+(a,b),c).  C'est de cette associativité qu'on peut donner un sens à une addition a plus que deux éléments: +(a,b,c).  Notez qu'on a introduit une nouvelle fonction ici, de G x G x G vers G.  L'associativité permet d'introduire beaucoup de fonctions G x G .... x G -> G: +(a,b,c,...,d) -> s

En discutant de cela, l'élève comprend exactement ce qu'est une "somme à plusieurs termes": c'est une notation rapide pour une des alternatives +(+(a,b),c) ou +(a,+(b,c)).

Si on introduit aussi la commutativité, +(a,b) = +(b,a), on voit qu'une permutation des termes ne change pas le résultat.

Finalement, la "soustraction" est un raccourci pour a + (-b).  L'essentiel c'est la fonction inverse, qui est une exigence pour un groupe. Ainsi, on peut dire qu'une "soustraction" ce n'est qu'une addition dans le fond, mais avec la prescription de prendre l'inverse pour le deuxième élément. Le vrai coeur de la "soustraction" c'est l'élément inverse, aussi une exigence de base du groupe.

Ça a l'air "lourd" mais au moins, une fois dit, il n'y a plus de questionnements et de "problèmes philosophiques" sur ces points.  C'est limpide comme de l'eau de source.

Call_BB5A a écrit:

ZDj a écrit:En 6è, lorsque l'on parle d'une somme on dit que c'est le résultat d'une addition. [...] Et plus tard lorsque l'on rencontre 3x + 4 on dit que c'est une somme, alors que l'on n'a pas de résultat. Est-ce que c'est problématique ou pas ? Est-ce que je m'égare ?

Pour moi tout dépend de l'article utilisé : une ou la.
* une somme : c'est une addition comme 3+4
* la somme : c'est le résultat d'une somme, ici ce serait 7 en référence à 3+4.

On retrouve la même distinction entre "un rayon" (un segment) et "le rayon" (une longueur).

Là aussi, on peut parfaitement éclaircir cela avec "les maths modernes".  Je m'en souviens encore, et je me suis trouvé démuni quand je voulais expliquer cela à mon gamin sans cette machinerie.

On est en fait en train de confondre deux notions quand on hésite entre "est-ce que la somme, c'est 3 + 4, ou c'est 7" ?  Cette confusion vient du fait qu'on a oublié ce que veut dire "égale": l'association de l'appel de fonction, et son image.  +(3,5) - l'appel de fonction ; et 8 (l'image).

Quand on considère l'ensemble des *expressions* qui représentent des éléments d'ensembles et des appels de fonction avec des suites de caractères ayant une syntaxe correcte - on pourrait formaliser cela, mais intuitivement c'est relativement clair, une expression qui a "au niveau haut" une fonction +(.,.) est une somme.

Par contre, sur cet ensemble d'expressions, on définit une relation d'équivalence "représente le même objet mathématique que". En d'autres termes, on remplace les appels de fonction par leurs images et on teste sur l'égalité des images. Les classes d'équivalence sont alors les objets mathématiques en question.  Dans la même classe, on trouve alors "3+4", "7", "9-2", ...  La notion de "somme" ne veut plus rien dire, on a des nombres ici.  La classe est le nombre 7, car l'image de toutes les expressions est bien le nombre 7.

On peut aussi dire que l'image sous la fonction "plus" s'appelle "la somme", mais c'est en fait "l'image" de la fonction.  

Ainsi, 3+5 est une somme (c'est une expression d'un appel de fonction), et l'image de cette fonction est le nombre 8.

Donc,  on a l'ensemble {"3+3", "2 - 8", "9*5", "8+3*5", ... }, les "expressions en Z".  Puis, on a, sur cet ensemble, la relation d'équivalence "est égal à", qui donne lieu à des classes d'équivalence: { {"3+3", "6", "2*3", "7-1". ....} , {"1+2", "3", "18 - 15", "1 + 1 + 1"...} ....} et une bijection avec les nombres entiers dans ce cas-ci, car les expressions sont toutes des fonctions qui ont leurs images en Z.

Zarathustra a écrit:Je suis un produit pur des maths modernes dans le temps, et avec des questions comme ça je me rends compte (encore une fois) comme c'était sacrément bien fait.
Quand on apprend qu'une somme, c'est le truc dans un groupe, et que dans un groupe G,+, c'est une relation (une fonction en fait) de G x G vers G, alors la réponse est évidente.  Quand on a sommes et produits, on se trouve au moins dans un anneau (tous des concepts de 5ième à cette époque), ou il y a deux relations: G,+,x
+ : G X G -> G
x : G X G -> G

alors, 5*3 + 4 s'écrit:
+(x(5,3),4)

Il y avait des calculatrices de chez HP qui utilisaient la notation Polonaise inverse, où il fallait écrire:
((5,3)x,4)+ (sans les parenthèses).

Ainsi, c'est clair: 5*3 + 4 est bien une addition, car la fonction "du haut" est +.  (4+3)*5, par contre, est une multiplication, car c'est:
x(+(4,3),5)

J'ai toujours regretté qu'on a enlevé tout ça.  Pour moi c'était clair et révélateur comme élève, pour justement, éviter ces discussions du nombre d'anges sur la tête d'une épingle qui viennent du fait qu'il n'y a plus de fondements logiques mais qu'en bas, il n'y a plus que des tripes.

On pourrait dire qu'une expression algébrique porte le nom de la dernière opération effectuée lorsqu'on respecte la priorité des opérations, non ?

neo-fit a écrit:
On pourrait dire qu'une expression algébrique porte le nom de la dernière opération effectuée lorsqu'on respecte la priorité des opérations, non ?

Effectivement. Ou bien le nom de la chose "atomique" en question (un nombre).

Mais le souci est qu'avec une expression comme 3 + 5 - 8, ce n'est pas évident: on peut avoir (3+5) - 8, ou 3 + (5 - 8). Est-ce donc une "addition" ou une "soustraction" ? Quand on considère que, en vertu de l'associativité, nous avons une "addition de 3 éléments" (donc une fonction G x G x G -> G), la dernière opération est cet appel de fonction (donc "somme à 3 termes"). Quand on veut rester avec les opérations binaires de base, on peut choisir car il y a ambiguïté dans l'expression. L'important n'est pas d'avoir le nom juste, mais d'avoir compris tout ça, selon moi.

Et je trouvais que l'approche "maths modernes" était imbattable à ce sujet.