Entre rigueur et simplification (dérivée)

Bonjour,

A-t-on le droit d'écrire (racine(x))' pour parler de la dérivée de la fonction racine(x)?

Idem pour les autres expressions:

Exemple: f(x)=3*racine(x)+(4x-1)/(7x+3).

Peut-on écrire f'(x)=3*(racine(x))' + (4x-1)'(7x+3)-(4x-1)(7x+3)' / (7x+3)² ?

C'est tellement plus simple plutôt que de créer 36 000 fonctions u(x), v(x), w(x) etc... mais est-ce rigoureux? (Je l'ai vu dans pas mal de cours mais cela me semble peu rigoureux comme rédaction).

Merci!

Je n'ai jamais vu cette notation, mais un prof de mathématiques saura mieux répondre.
Cette notation me choque un peu.
Intuitivement, je dirais qu'on dérive la fonction qui à x associe racine de x et non la racine.

Enfin, ce type de notation marcherait -t-il avec des fonctions de plusieurs variables ?

J'évite de le faire... Pourquoi ne pas introduire et utiliser la notation ?

Cela permet de faire la différence entre et

Dans ce contexte, je conseillerais plutôt la notation d'Euler : au lieu de : le symbole est plus difficile à oublier et on risque moins les cris d'orfraies des collègues, qui craignent légitimement les abus de la notation ' utilisée à tort et à travers.

Je refuse que mes élèves le fasse. On ne dérive pas le nombre rac(x), ou alors ça fait 0.

Pour alléger le bazar, on peut les dispenser de poser toute la famille et d'appliquer juste soigneusement la formule. C'est ce que fait un de mes collègues, ça marche pas mal.

Hélips a écrit:Je refuse que mes élèves le fasse. On ne dérive pas le nombre rac(x), ou alors ça fait 0.

Pour alléger le bazar, on peut les dispenser de poser toute la famille et d'appliquer juste soigneusement la formule. C'est ce que fait un de mes collègues, ça marche pas mal.

Aurais-tu un exemple précis car je ne vois pas bien.

Mon problème se situe dans le fait de vouloir être précis (pour ceux qui rament) sans alourdir avec "on prend u(x)=.... v(x)=... etc...".

Comment présenterais-tu la correction de l'exemple que j'ai mis dans mon premier post?

Comme ça simplement :

f est la somme de la fonction racine et d'une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition privé de 0 soit ]0;+\infty[. Pour tout x>0 on a :

Il faut distinguer la racine carrée d'un nombre et la fonction racine carrée, qui sont deux notions différentes.
Après, chacun est libre d'utiliser le symbole qu'il veut pour une fonction (dans la limite du raisonnable), alors pourquoi pas utiliser le symbole radical ? je n'y vois aucune faute de rigueur, mais seulement une faute de goût.
Mais alors la dérivée de √ s'écrirait √ '.

Sous ces notations, je pourrais alors accepter √ '(x).

Ah oui je suis d'accord. Même si je ne l'utilise pas, cette notation me paraît parfaitement correcte.

Ok merci pour ces précisions!

L'abus de notation du genre (cos x)' se rencontre parfois, y compris dans certains bouquins du supérieur. Si on peut, autant l'éviter (à une époque cela faisait hurler les IPR, maintenant, ils hurlent si on ne fait pas de TICE, autre temps, autres mœurs).
À l'inverse, prendre trois plombes pour poser u(x)=, v(x)= etc. ne me paraît pas très utile.
Pour dériver un produit du type f(x)=(x^2+1)(ln(x)+1), je fais reconnaître la forme (produit, quotient, faux-quotient, racine, etc.) puis j'écris la formule, mais sans les u, v:
f'(x)=( )( )+( )( )
puis ensuite je remplis les parenthèses. Cela ne fonctionne pas trop mal. Reste que le principal souci n'est pas là:
- les élèves connaissent de moins en moins bien les formules (ils les planquent dans la calculette, et du coup ne les apprennent pas)
- ils ont du mal à reconnaître un produit, un quotient, ... ! Il n'est pas rare d'entendre par exemple que f(x)=x*exp(x)+1 est un produit. Bref, toujours le même problème, les éléments de calcul algébrique, l'usage des parenthèse et le sens inhérent à ces calculs ne sont pas acquis pour un grand nombre.

Même certaines conventions d'écriture ne sont pas très correctes. Ainsi, le cos²(x), pour (cos(x))² , m'a toujours dérangé.

JPhMM a écrit:Même certaines conventions d'écriture ne sont pas très correctes. Ainsi, le cos²(x), pour (cos(x))² , m'a toujours dérangé.

JPhMM a écrit:Même certaines conventions d'écriture ne sont pas très correctes. Ainsi, le cos²(x), pour (cos(x))² , m'a toujours dérangé.

Ça me paraît pas vraiment une convention. Si f et g sont deux fonctions, f×g aussi. Dans le cas ou f=g, on note f², comme pour les réels, non?
Donc cos², c'est bien une fonction, définie justement par cos²(x) = (cos(x))².

Après, effectivement, il faut faire la différence entre f×f et fof…

C'est pour ça que l'écrire sans préciser le sens de la notation comme on fait en lycée (moi y compris, hein) c'est moyen moyen.

(cos(x))' est très dérangeant à mon avis, même si certains profs le pratiquent, par contre
cos'(x) est correct.
Du coup, pour écrire (2x+1)', il faut poser, pour être correct, u(x)=2x+1...
C'est lourd, mais c'est le prix de l'exemplarité pour ne pas confondre fonction et expression d'une fonction.
Après chacun fait ce qu'il veut, les inspecteurs s'en foutent, chacun reste face à son éthique de notation...

Les puissances ça devient rigolo quand tu rajoutes la loi rond !

Pour ce qui est de la dérivée de racine de x avec des parenthèses, il m'arrive parfois de le faire lorsque ça évite des lourdeurs d'écritures en correction d'exercices. Lorsque je fais rédiger une correction, je contrains mes élèves à écrire un truc du genre: la fonction racine carrée, définie sur R+ et dérivable sur R+* admet pour dérivée x |-> 1/(2sqrt(x)) etc.

Je fais la chasse aux confusions "fonction f" et "réel f(x)" donc dans un tableau de variations, ils écrivent "signe de f'(x)" et "variations de f". Je zappe aussi les exercices dont l'énoncé commence par : soit f la fonction définie sur I par f(x)=...

En même temps, certains "anciens" profs confondent en notation f et f(x) tout en restant rigoureux pour le reste donc c'est difficile de trancher.

Pour reprendre l'exemple cité, on peut écrire que f est dérivable sur son ensemble de définition car obtenue comme somme et quotient de fonctions dérivables. Comme :



nous en déduisons :



Compte tenu du contexte, il n'y a guère d'ambiguïté quand à la définition des fonctions u, v et w et de la constante alpha.

Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

BR a écrit:
Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

Les puissances non entières ne sont plus au programme, cela dit ...

VinZT a écrit:

BR a écrit:
Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

Les puissances non entières ne sont plus au programme, cela dit ...

C'est ce que j'allais dire : ça risque d'être compliqué en première

M23 a écrit:

JPhMM a écrit:Même certaines conventions d'écriture ne sont pas très correctes. Ainsi, le cos²(x), pour (cos(x))² , m'a toujours dérangé.

Ça me paraît pas vraiment une convention. Si f et g sont deux fonctions, f×g aussi. Dans le cas ou f=g, on note f², comme pour les réels, non?
Donc cos², c'est bien une fonction, définie justement par cos²(x) = (cos(x))².

Après, effectivement, il faut faire la différence entre f×f et fof…

Hélips a écrit:C'est pour ça que l'écrire sans préciser le sens de la notation comme on fait en lycée (moi y compris, hein) c'est moyen moyen.

Oui, d'autant que f² désigne canoniquement une puissance fonctionnelle, non une puissance d'un nombre.

VinZT a écrit:

BR a écrit:
Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

Les puissances non entières ne sont plus au programme, cela dit ...

Qui n'a pas utilisé x^1/2 pour retenir la formule ?

JPhMM a écrit:

VinZT a écrit:

BR a écrit:
Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

Les puissances non entières ne sont plus au programme, cela dit ...

Qui n'a pas utilisé x^1/2 pour retenir la formule ?

Au stade algébrique où en sont nos élèves, j'aime autant qu'ils apprennent la dérivée de racine(x). Les puissances fractionnaires, qui deviennent négatives en dérivant, deux bonnes raisons de boire contrex faire des conneries dans les calculs. Des choses qui nous paraissent triviales créent trop souvent de la confusion (et ils n'en ont pas besoin). Après, si un élève l'utilise à bon escient, je ne vais rien lui dire. Mais pour les autres, ceux qui ne savent pas que multiplier par 2 est la réciproque de la division par 2, oui, je préfère qu'ils apprennent une formule en plus.

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