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ycombe
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par ycombe Mer 26 Juil 2017 - 23:49
archeboc a écrit:
Spoiler:
Chapeau !

J'avais cherché un truc comme ça mais j'avoue y avoir renoncé. Trop complexe pour moi...
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par ycombe Mer 26 Juil 2017 - 23:53

J'ai usé (et peut-être même un peu abusé) de mon privilège de modérateur pour mettre en spoiler les solutions.


Je propose de placer les solutions en spoiler systématiquement, pour ceux qui voudraient garder le plaisir de chercher.

Dernier problème posé:
https://www.neoprofs.org/t99289p200-petits-problemes-de-mathematiques#4159543

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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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par Fenrir Jeu 27 Juil 2017 - 11:27
Ma réponse. (je suis plus efficace le matin on dirait)

Réponse:

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À quoi bon mettre son pédigrée, on est partis pour 40 ans*. ████ ████. * 42, il faut lire 42.
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par ycombe Jeu 27 Juil 2017 - 21:42
Oui. Ça marche.

Ma solution:

J'étais content de moi, j'ai trouvé une autre solution
Autre idée:

et puis je suis tombé sur celle là qui m'a bien fait comprendre à quel point j'avais des progrès à faire en géométrie pure:
La solution du livre:


Dernière édition par ycombe le Jeu 27 Juil 2017 - 21:57, édité 1 fois

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par ycombe Jeu 27 Juil 2017 - 21:56
ycombe a écrit:
La solution du livre:

Cette solution m'a aiguillé vers une autre:
Spoiler:

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archeboc
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par archeboc Jeu 27 Juil 2017 - 22:48

On est sur des propriétés très particulières et très peu connues !

Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :

Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)

ycombe
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par ycombe Ven 28 Juil 2017 - 14:59
archeboc a écrit:
On est sur des propriétés très particulières et très peu connues !

Spoiler:


Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :

Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)

Disons que si f(0)=0, alors la fonction est nulle.

Je vous laisse trouver les autres possibilités. abi

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par ycombe Sam 9 Sep 2017 - 10:54

Un nombre non premier est dit spécial si ni lui ni son double ne sont divisibles par un carré.
Trouver la liste des nombres spéciaux inférieurs à 50.
Ma fille a eu ça en anglais euro (1ère). J'aime bien.

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William Foster
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par William Foster Sam 9 Sep 2017 - 11:14
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par ben2510 Sam 9 Sep 2017 - 12:40
ycombe a écrit:

Un nombre non premier est dit spécial si ni lui ni son double ne sont divisibles par un carré.
Trouver la liste des nombres spéciaux inférieurs à 50.
Ma fille a eu ça en anglais euro (1ère). J'aime bien.

Effectivement, on peut trouver rapidement des théorèmes, ce qui permet le plaisir de la découverte. Si en plus on connaît la DEFP, on peut conclure rapidement !

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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
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archeboc
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par archeboc Sam 9 Sep 2017 - 15:31
ycombe a écrit:
archeboc a écrit:
Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :

Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)

Disons que si f(0)=0, alors la fonction est nulle.

Je vous laisse trouver les autres possibilités. abi

Personne pour nous débloquer ? J'arrive à résoudre sur Z, j'ai des pistes pour Q, mais je ne vois pas comment on se débrouille pour R.
kioupsPBT
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par kioupsPBT Sam 9 Sep 2017 - 16:11
Si les fonctions sont continues, résoudre sur Q suffit.

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Spoiler:
ben2510
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par ben2510 Sam 9 Sep 2017 - 18:45
J'ai trouvé quelques documents sympas,
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/Equationfonctionnelle.pdf
http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Stages/2003%20Saint%20Malo/Equations%20Fonctionnelles/eqfonc-cours.pdf

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archeboc
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par archeboc Dim 10 Sep 2017 - 0:24
ben2510 a écrit:J'ai trouvé quelques documents sympas,
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/Equationfonctionnelle.pdf
http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Stages/2003%20Saint%20Malo/Equations%20Fonctionnelles/eqfonc-cours.pdf

La seconde référence devrait être la meilleure, puisque c'est une préparation d'olympiade. Mais les exemples qu'elle traite sont constitués soit de problèmes sur N ou Q, soit de problème ajoutant à l'équation une hypothèse supplémentaire de continuité, ou assimilée.

Le problème des dernières olympiades sur lequel nous séchons ne propose aucune hypothèse de ce type, et porte bien sur l'ensemble R.

Attend-on dans ce cas des compétiteurs qu'ils ajoutent les hypothèses qui manquent ? Difficile dans ces conditions de faire une notation équitable.
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Vincent83
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par Vincent83 Dim 10 Sep 2017 - 21:02
On montre assez facilement que si f est non nulle alors f(0)=+/-1. Comme f est solution ssi -f l'est on suppose par la suite f(0)=1.
SI on sait montrer que f est injective (je cherche encore!) alors:

la relation appliquée à x et 0 donne f(f(x))+f(x)=1
le relation appliquée à f(x) et 0 donne f(f(f(x)))+f(f(x))=1

D'où f(f(f(x)))=f(x) et par injectivité f(f(x))=x donc f(x)=1-x

Ceci sans continuité de f à priori!

Je continue à chercher pour l'injectivité, vu le peu d'hypothèses sur f c'est probablement une piste valable...mais à force d'essayer on s'y perd ;-)
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archeboc
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par archeboc Lun 11 Sep 2017 - 0:52

J'ai essayé de montrer l'injectivité, je n'ai rien trouvé. Il me semble que la condition d'injectivité est encore plus forte que la condition de continuité, car la condition de continuité est souvent locale.

Mes étapes sont :
- f(0)=1 ou f(0)=-1 [j'avais loupé la symétrie f/-f]

- si x<>1, posons y=x/(x-1), alors xy=x+y et donc f(f(x).f(y)) = 0
on en déduit dans le même temps que f(x) n'est pas nul et qu'il existe un antécédent de 0 : cet antécédent est donc 1. Donc f(1)=0

- il vient facilement que pour tout x, f(0)=f(x)-f(x+1), et par récurrence, que nf(0)=f(x)-f(x+n).

- f réalise donc une injection sur Z. Dans le cas f(0)=1, f(n)=1-n

- A partir de là, je suis dans le brouillard. Je vois bien deux trois pistes, mais rien qui permettent d'atteindre R.
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Matheod
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par Matheod Lun 11 Sep 2017 - 1:31
Comment vous faites pour montrer que f(0) = 1 ou f(0) = -1 ?
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archeboc
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par archeboc Lun 11 Sep 2017 - 7:09
Matheod a écrit:Comment vous faites pour montrer que f(0) = 1 ou f(0) = -1 ?

Tu as raison, il y a un problème dans l'ordre de mes étapes. Je reprends :

- si x<>1, posons y=x/(x-1), alors xy=x+y et donc f(f(x).f(y)) = 0

- si f n'est pas la fonction nulle, alors pour tout x différent de 1, f(x) est non nul.

- du même résultat, on déduit qu'il existe un antécédent de 0 : cet antécédent est unique et vaut 1.

- en posant x=y=0, on a f( f(0)² ) = 0  et par ce qui précède,  f(0)²=1

- il vient facilement que pour tout x, f(0)=f(x)-f(x+1), et par récurrence, que nf(0)=f(x)-f(x+n).

- f réalise donc une injection sur Z. Dans le cas f(0)=1, f(n)=1-n

- A partir de là, je suis dans le brouillard. Je vois bien deux trois pistes, mais rien qui permettent d'atteindre R.


Dernière édition par archeboc le Lun 11 Sep 2017 - 7:40, édité 1 fois
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Vincent83
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par Vincent83 Lun 11 Sep 2017 - 7:16
Pour l'injectivité : si f(x)=f(y) on peut essayer de montrer que f(x-y+1)=0 car par ce qui précède on a alors x-y=0. J'ai une preuve simple de ce fait mais elle ne tiendrait pas dans cette case...
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lale
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par lale Lun 11 Sep 2017 - 9:26
si f(0)=1alors f(f(x))+f(x)=1 donc pour tout z dans f(R) f(z)=1-z
et alors c'est  la surjectivité qui pose problème
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par JPhMM Mer 11 Oct 2017 - 7:48
Petit truc en passant : comment calculer mentalement le produit de deux nombres "proches" ?

Par exemple : 23 x 27 = ?

20+3=23
20+7=27
20+7+3=30

Et bien 20 x 30 + 3 x 7 = 621 = 23 x 27

En effet :
a x (a+b+c) + bc = a² + ab+ac+bc
(a+b)(a+c)=a² + ab+ac+bc

Autre exemple :
215x207=?
200x(215+7)+15x7=200x222+105=44400+105=44505.

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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par JPhMM Mer 11 Oct 2017 - 8:24
Plus joli encore:
(a-b)(a-c)=a²-ab-ac+bc=ax(a-b-c)+bxc
Donc 195x187=200x(195-13)+5x13=200x182+65=36400+65=36465

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par JPhMM Mer 11 Oct 2017 - 9:31
Un autre ?
297 x 283 = 300 x (283 - 3) + 17x3=300x280+51=84051

Very Happy

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archeboc
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par archeboc Mer 11 Oct 2017 - 11:30
JPhMM a écrit:Un autre ?
297 x 283 = 300 x (283 - 3) + 17x3=300x280+51=84051
Very Happy

Avec un peu plus de calcul, mais plus de calculs simples : 297 x 283 = (290+7)(290-7) = 290²-7² = (290-10)(290+10)+10²-7²

Le problème, c'est qu'on ne peut faire cela qu'avec des nombres de même parité. Mais comme tu n'as donné dans tes exemples que des couples de nombres impairs, ce n'est pas bien grave. Pourtant, ta méthode fonctionne aussi avec des couples pair-impair.

24*27=21*30+3*6=630+18=648

497*486=500*(486-3) + 14*3 = 243000 - 1500 + 42 = 241542

Joli.
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par JPhMM Mer 11 Oct 2017 - 11:38
Tu as raison.
Et en effet, j'aurais du utiliser au moins une fois le produit d'un pair par un impair.

Hop :

(a-b)(a+c)=a²-ab+ac-bc=a(a-b+c)-bc

1972 x 2017 =
2000*(1972+17) - 28*17=
2000*1989 - [20*(28-3)-8*3]=
3978000 - 500 + 24 = 3977524

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