Sens des crochets pour intervalle lors de la croissance/décroissance

Bonjour à tous,

J'aimerais être clair avec mes élèves lorsque l'on parle des intervalles sur lesquels les fonctions sont croissantes ou décroissantes.

Peut-on dire aux élèves que dans le cas de ces intervalles, on ne tourne un crochet vers l'extérieur que lorsqu'il s'agit d'une valeur interdite?
Par exemple, que peut-on dire à un élève qui noterait "la fonction carrée est croissante sur ]0;+inf["?
Ma réponse: Que si on prend a=0 et b>0 on peut prouver que la fonction est croissante sur [0;b] donc qu'il faut bien inclure 0?).

Que peut-on dire aussi aux élèves qui sont dérangés de voir le 0 inclus aussi bien dans l'intervalle sur lequel la fonction est croissante que dans celui sur lequel la fonction est décroissante?
Ma réponse: Idem que plus haut, c'est à dire en reprenant la définition de la croissance, décroissance et prouver que 0 est bien inclus dans les 2?).

Je peux résumer mes interrogations par cette phrases: "Dans les cas des intervalles sur lesquels les fonctions sont croissantes ou décroissantes, à quel moment cela peut-il être utile de tourner le crochet vers l'extérieur (autre que pour exclure une valeur interdite)".
Ma première réponse serait "jamais".

Merci!

La phrase "la fonction carrée est croissante sur ]0;+inf[" est vraie.
J'explique à mes élèves qu'ils verront plus tard que les intervalles avec les crochets fermés sont souvent plus confortables d'une part, et que, tant qu'à faire, on tente de prendre l'intervalle le plus grand possible.
Pour le dérangement : comme toi, on reprend la définition, et on voit bien que ça marche.

Là où ça devient sportif je trouve, c'est passer de "f'>0" sur l'ouvert à "f strictement croissante" sur le fermé.

Fritz a écrit:Peut-on dire aux élèves que dans le cas de ces intervalles, on ne tourne un crochet vers l'extérieur que lorsqu'il s'agit d'une valeur interdite?
Par exemple, que peut-on dire à un élève qui noterait "la fonction carrée est croissante sur ]0;+inf["?

On peut lui dire qu'il a parfaitement raison vu que si une fonction est croissante sur un intervalle I, alors elle est croissante sur tout intervalle inclus dans I.

Hélips a écrit:Là où ça devient sportif je trouve, c'est passer de "f'>0" sur l'ouvert à "f strictement croissante" sur le fermé.

On peut parfois contourner cette difficulté avec la variante "f'>0 sauf en un nombre fini de points où elle s'annule", mais cela ne résout pas certains cas où interviennent des racines carrées donnant des fonctions non dérivables en une borne de l'ensemble de définition ; en fait, là il manque la notion de continuité pour pouvoir conclure.

Merci pour vos réponses. :-)

Oui, bien entendu sa phrase est juste, je me demandais simplement comment lui faire comprendre qu'on prend plutôt [0;+inf[.
J'aimerais éviter les erreurs du type "f(4)<f(7) car f est croissante sur ]4;7[".

Comme Hélips, je leur dis qu'il vaut mieux considérer l'intervalle le plus grand possible mais ils ont parfois du mal à comprendre pourquoi, c'est pour ça que je souhaitais d'autres astuces.

Sans continuité c'est dur à voir. Sinon il est facile de construire une fonction qui soit croissante sur ]0; + inf[ et non sur [0; +inf[.
De même que l'on répond à une équation en donnant toutes les solutions, on parle d'une fonction croissante sur l'intervalle fermé pour bien signaler que la borne n'est pas exclue.

Tous ne suivront pas le raisonnement, mais l'énoncer est une bonne occasion de permettre à ceux qui le peuvent de se souvenir de la vraie définition et pas juste du "la courbe monte".

Moonchild a écrit:

Hélips a écrit:Là où ça devient sportif je trouve, c'est passer de "f'>0" sur l'ouvert à "f strictement croissante" sur le fermé.

On peut parfois contourner cette difficulté avec la variante "f'>0 sauf en un nombre fini de points où elle s'annule", mais cela ne résout pas certains cas où interviennent des racines carrées donnant des fonctions non dérivables en une borne de l'ensemble de définition ; en fait, là il manque la notion de continuité pour pouvoir conclure.

Oui c'est ce que je fais en terminale S (en première S et en ES, je reste discrète sur ce point). Et vendredi, paf, étude de x->x+sin(x). Les meilleurs comprennent qu'il y a une subtilité sur "un nombre fini de points" et les autres se contentent d'une croissance non stricte.

Fritz a écrit:Comme Hélips, je leur dis qu'il vaut mieux considérer l'intervalle le plus grand possible mais ils ont parfois du mal à comprendre pourquoi, c'est pour ça que je souhaitais d'autres astuces.

Et pourquoi ne pas simplement leur dire qu'étudier une fonction, c'est donner le plus d'informations possibles sur cette fonction ?
Et que la croissance sur [0;+oo[ contient plus d'information que la croissance sur ]0;+oo[ ?

S'ils n'ont pas compris quelle est l'information supplémentaire, tu peux la leur expliquer.
S'ils se demandent encore ensuite pourquoi [0;+oo[ et pas ]0;+oo[ tu peux leur répondre par une autre question : pourquoi ]0;+oo[ et pas [1;2]... ? Je suis sûr qu'ils trouveront tout seul...

C'est un peu toujours le même principe. Quand on leur demande le domaine de définition d'une fonction, on ne s'attend pas à [0;1] pour une fonction définie sur R. On veut le plus grand possible !

Fritz a écrit:Merci pour vos réponses. :-)

Oui, bien entendu sa phrase est juste, je me demandais simplement comment lui faire comprendre qu'on prend plutôt [0;+inf[.
J'aimerais éviter les erreurs du type "f(4)<f(7) car f est croissante sur ]4;7[".

Comme Hélips, je leur dis qu'il vaut mieux considérer l'intervalle le plus grand possible mais ils ont parfois du mal à comprendre pourquoi, c'est pour ça que je souhaitais d'autres astuces.

Il faut que tes élèves reviennent à la définition: ∀(a,b) ϵ I ...

Dans ce cas ils seront surement d'accord sur le fait que 4 et 7 ne sont pas dans intervalle ]4,7[.