Questions pratiques point de cours 4ème

Bonjour. Étant stagiaire, je dois préparer des cours de 4è et 5è à partir de vieux manuels datant d'une dizaine d'année (je n'ai rien d'autre à disposition, si ce n'est les exemples de progressions spiralées proposées ici). Il me manque aussi un livre de 6è pour voir d'où on part.

Pour l'instant, j'ai un petit problème quant aux nombres relatifs, plus exactement sur la règle du "moins x moins = plus",  la règle moins x plus = moins ne me pause pas de problème à expliciter. Je n'ai pas d'exemple ou de façon d’introduire cette règle autrement que brutalement. Auriez-vous une façon de procéder qui permettrait à l'élève d'avoir accès à un concept intelligible ?

Merci d'avance.

(Edition du titre suite aux remarques sur le niveau :o )

D'abord, les règles des signes sur les produits et quotients sont vues en quatrième (sauf erreur).

Ensuite il y a ceci : x-x=0 peut s'écrire (1-1)x=0, soit (1+(-1))x, donc en distribuant (-1)x signifie l'opposé de x.
Alors (-5)(-8)=(-1)5(-1)8=(-1)(-1)40=(-1)(-40)=40.
Dans un produit, on multiplie les distances à zéro, et chaque facteur négatif signifie qu'on prend l'opposé (et évidemment si on prend plusieurs fois l'opposé, on risque de revenir sur un positif).

Il y a aussi ceci :
-8*3=-24,
-8*2=-16,
-8*1=-8,
-8*0=0,
-8*(-1)=.... ? Que mettre pour que cela soit cohérent avec les lignes précédentes ?
Ensuite tu présentes "le produit de deux négatifs est positif comme une définition, une extension aux relatifs de la multiplication.

Bien sûr tu peux avant commencer par :
8*3=24,
8*2=16,
8*1=8,
...
8*(-3)=...

Il me semble que l'important est de montrer que les règles de calcul ne sont pas arbitraires, mais sont nécessaires pour être cohérentes avec les règles déjà connues ; il ne me semble pas que les démontrer de manière rigoureuse soit utile en collège.

Bon, mon joker : j'invoque Ycombe sur ce topic !

ben2510 a écrit:D'abord, les règles des signes sur les produits et quotients sont vues en quatrième (sauf erreur).

Ensuite il y a ceci : x-x=0 peut s'écrire (1-1)x=0, soit (1+(-1))x, donc en distribuant (-1)x signifie l'opposé de x.
Alors (-5)(-8)=(-1)5(-1)8=(-1)(-1)40=(-1)(-40)=40.
Dans un produit, on multiplie les distances à zéro, et chaque facteur négatif signifie qu'on prend l'opposé (et évidemment si on prend plusieurs fois l'opposé, on risque de revenir sur un positif).

Il y a aussi ceci :
-8*3=-24,
-8*2=-16,
-8*1=-8,
-8*0=0,
-8*(-1)=....  ? Que mettre pour que cela soit cohérent avec les lignes précédentes ?
Ensuite tu présentes "le produit de deux négatifs est positif comme une définition, une extension aux relatifs de la multiplication.

Bien sûr tu peux avant commencer par :
8*3=24,
8*2=16,
8*1=8,
...
8*(-3)=...

Il me semble que l'important est de montrer que les règles de calcul ne sont pas arbitraires, mais sont nécessaires pour être cohérentes avec les règles déjà connues ; il ne me semble pas que les démontrer de manière rigoureuse soit utile en collège.

Bon, mon joker : j'invoque Ycombe sur ce topic !

Je fais exactement comme ce qui est en gras. Pas de démonstration algébrique, trop compliqué pour mes élèves.

Effectivement, c'est juste la soustraction en 5è. Le problème est bien en quatrième. A un moment tu parles de démonstration, ce n'est pas ce que je souhaite.

Je vais donner un exemple :
3x(-2) c'est 3 fois (-2) donc (-2)+(-2)+(-2). Par exemple, je te donne 100 francs et je t'enlève 3 fois deux euros etc...

Maintenant, pour le cas -x-=+, je ne retrouve pas d'exemple sur lequel partir et travailler. Effectivement, il y a une question de cohérence. C'est cohérent de poser -x-=+, pour cela on peut développer 3x(-2) et (4-1)x(-2). Mais je cherche un exemple qui soit compréhensible dans la vie courante et auquel me rattacher.

double post

Sewe a écrit:Effectivement, c'est juste la soustraction en 5è. Le problème est bien en quatrième. A un moment tu parles de démonstration, ce n'est pas ce que je souhaite.

Je vais donner un exemple :
3x(-2) c'est 3 fois (-2) donc (-2)+(-2)+(-2). Par exemple, je te donne 100 francs et je t'enlève 3 fois deux euros etc...

Maintenant, pour le cas -x-=+, je ne retrouve pas d'exemple sur lequel partir et travailler. Effectivement, il y a une question de cohérence. C'est cohérent de poser -x-=+, pour cela on peut développer 3x(-2) et (4-1)x(-2). Mais je cherche un exemple qui soit compréhensible dans la vie courante et auquel me rattacher.

Mais est-il utile d'avoir un exemple prétendument concret ?
N'est-il pas plus direct d'amener la règle, de l'énoncer, puis de l'appliquer, dans sa brutale simplicité ?

En tout cas, je suis comme toi : spontanément je ne vois pas d'exemple (à part reculer de -3 pas qui revient à avancer de trois pas, mais ça c'est plutôt pour la cinquième).

Sewe a écrit:Effectivement, c'est juste la soustraction en 5è. Le problème est bien en quatrième. A un moment tu parles de démonstration, ce n'est pas ce que je souhaite.

Je vais donner un exemple :
3x(-2) c'est 3 fois (-2) donc (-2)+(-2)+(-2). Par exemple, je te donne 100 francs et je t'enlève 3 fois deux euros etc...

Maintenant, pour le cas -x-=+, je ne retrouve pas d'exemple sur lequel partir et travailler. Effectivement, il y a une question de cohérence. C'est cohérent de poser -x-=+, pour cela on peut développer 3x(-2) et (4-1)x(-2). Mais je cherche un exemple qui soit compréhensible dans la vie courante et auquel me rattacher.

Tu ne trouveras pas d'exemple, il n'y en a pas.
Je commence comme toi pour - par +, mais ensuite j'utilise la simple distributivité.
On sait que (-6)*3=-18
On veut savoir combien font (-6)*(-3).
On s'intéresse à (-6)*(3+(-3))=-6*0=0
Mais (-6)*(3+(-3))=(-6)*3+(-6)*(-3)=-18+....=0
Donc (-6)*(-3)=+18
Ensuite, je généralise à partir de cet exemple.

Je n utilise jamais la distributivite pour illustrer le cas moins par plus car ça me gêne de manipuler une règle de calcul (la distributivite) déjà pas maîtrisée par tous et surtout uniquement rencontrée avec des positifs jusqu'à present.
Ce qui me gêne aussi est que de toute façon, dans ce qui est écrit au dessus, on est obligé de "gruger":
-pourquoi -6×0 ferait 0 ?
-pourquoi la distributivite serait applicable avec -6 "devant" la parenthèse?

Je pense que de toute façon ça perdrait tout le monde ou presque et que ça n'a pas grande utilité.
J illustre le plus par moins comme évoqué en gras plus haut puis le moins par moins de la même façon mais tout ceci n'est de toute façon que de l illustration.

Je pense de plus en plus qu on ne peut/ doit pas tout essayer de (pseudo) demontrer au collège.


Dans le genre il y a "cosinus" : perso je vais de plus en plus directement aux applications concrètes.
Qu ils sachent l utiliser sans avoir passé deux voire trois heures comme le font certains de mes collègues à faire les activités du bouquin montrant  l'indépendance du triangle choisi en gros et qui sont tellement à la bourre qu ils ne font que ça du chapitre.

DenPA a écrit:Je n utilise jamais la distributivite pour illustrer le cas moins par plus car ça me gêne de manipuler une règle de calcul (la distributivite) déjà pas maîtrisée par tous et surtout uniquement rencontrée avec des positifs jusqu'à present.

Je fais des révisions de la simple distributivité avant sous forme de calcul rapide en début de cours.

DenPA a écrit:
Ce qui me gêne aussi est que de toute façon, dans ce qui est écrit au dessus, on est obligé de "gruger":
-pourquoi -6×0 ferait 0 ?

Ca ne pose pas de problème aux élèves. C'est eux qui me disent que cela fait 0.

DenPA a écrit:
-pourquoi la distributivite serait applicable avec -6 "devant" la parenthèse?

Je n'y avais pas pensé, mais là encore cela ne perturbe pas les élèves.

DenPA a écrit:

Je pense que de toute façon ça perdrait tout le monde ou presque et que ça n'a pas grande utilité.

Tous ne comprennent pas, mais cela convainc les bons et moyens élèves qui aiment bien savoir "pourquoi" et qui n'aiment pas qu'on leur impose une règle sans la comprendre. Je n'y passe que 10 min, ensuite on écrit le cours et les autres apprennent juste la règle des signes.

DenPA a écrit:
J illustre le plus par moins comme évoqué en gras plus haut puis le moins par moins de la même façon mais tout ceci n'est de toute façon que de l illustration.

Je pense de plus en plus qu on ne peut/ doit pas tout essayer de (pseudo) demontrer au collège.

L'idée n'est pas de démontrer, mais plus de convaincre les élèves qui aiment savoir "pourquoi".

Je ne sais pas faire de copier-coller de mon téléphone donc ça ne va pas être simple...
Sur ta dernière phrase, je suis bien d accord. On ne démontre pas, on essaie de convaincre. Mais perso je ne  m embarquerai pas dans  l utilisation de la distributivite pour cela.
Je trouve le système de la "suite logique" évoquée plus haut plus efficace pour convaincre et nécessitant moins de passer sous silence des choses jamais démontrées, et admises "de bon sens" alors qu on a de cesse de leur dire de ne pas considéré un résultat qui les arrange comme acquis le reste du temps sans explication et que c est précisément ce qu on fait alors parce que ça nous arrange à ce moment:

C est clair qu ils vont tous dire que -6×0=0 et ne verront pas le problème d utiliser la distributivite avec un négatif. ...ça me va aussi tant qu on admet alors que c est purement de  l intuitif et pas une demonstration. ( tout comme la suite logique d'ailleurs )
Ce qui me gênait c était de laisser éventuellement  entendre que tout cela pouvait être une démonstration...ce que tu n'as d ailleurs pas dit.

On peut présenter l'action de la multiplication par une quantité négative avec des engrenages en comptant des tours dans un sens imposé, par exemple celui des aiguilles d'une montre. Quand on met trois roues en série, les roues situées aux extrémités tournent dans le même sens. C'est une approche qui est discutable d'un point de vue formel mais qui répond davantage à la question de la compréhension.

DenPA a écrit:
Ce qui me gênait c était de laisser éventuellement  entendre que tout cela pouvait être une démonstration...ce que tu n'as d ailleurs pas dit.

On est bien d'accord. (Et comme je généralise un exemple, ça aurait été très léger pour une démonstration.)
Il y a 2 ans, j'avais utilisé les suites logiques. Cette année j'ai utilisé la distributivité. Je préfère la distributivité. L'année à venir, je n'aurai pas de 4^e, donc la question ne se pose pas.
Après ça dépend des élèves : quand j'étais stagiaire, dans une classe de 3^e, j'ai été obligée de démontrer sin²x + cos²x = 1 car une gamine, très bonne élève, refusait de l'admettre sans preuve. (ça avait beaucoup amusé mon tuteur car vraiment, elle ne lâchait rien). Dans mon autre 3^e, je n'ai rien démontré et ça leur allait très bien comme cela.

cos2+sin2=1 est une des démonstrations que je fais systématiquement en 3e car elle est me semble t il abordable et présente une belle utilisation du théorème de Pythagore.

Dans la série des démo abordables, il y a aussi Pythagore, les Th des milieux, Thalès, cosinus, triangles rectangles et cercle circonscrit, distance, triangle et cercle inscrit... (Cette année, je les ai toutes faites en 4^e.)

Pythagore.... ça dépend comment tu la fais...

Théorème des milieux j ai zappe la démo cette année. Je la trouve laborieuse avec toutes ces propriétés qu ils ne connaissent pas ou plus assez...

Tu démontres Thales en 4e? Comment?

Triangle rectangle et cercle circonscrit ok
Distance ok
Le reste niet pour moi.

Ça dépend aussi des classes...mais je préfère passer du temps sur d autres parties.Notamment rester très longtemps sur équation et calcul littéral, Thales et Pythagore, proportionnalité...entre autres.

J'avoue que distance ...bissectrice ...tangente....ça va très vite.
C est mal...

Pythagore, c'est en découpant 2 carrés identiques.
1er carré, 4 triangles rectangles identiques aux 4 coins du carré. Un grand carré au milieu. (pour être rigoureux, faut prouver que c'est un carré)
2ème carré, 4 triangles rectangles identiques mais disposés en 2 rectangles ce qui permet de faire apparaitre un petit et un moyen carré.
Tous les triangles rectangles sont identiques et les 3 carrés obtenus par découpages ont pour côté un des côté d'un des triangle rectangle.
Aire du grand carré = Aire du carré de départ - Aire de 4 triangles rectangles
Aire du moyen carré + Aire du petit carré = Aire du carré de départ - Aire de 4 triangles rectangles
Donc Aire du grand carré = Aire du moyen carré + Aire du petit carré

Pour Thalès et le cosinus, j'utilise les agrandissements et réductions (en fait les triangles semblables). Ensuite, c'est juste de la proportionnalité.

Mais si j'ai pu faire toutes ces démos, c'est aussi parce que j'ai eu 4h par semaine... (avec 3,5h, j'aurais sûrement dû aller plus vite). J'avais aussi de plutôt bonnes classes.

Tangente aussi, je le démontre, mais ça prend 2 min, juste à l'oral. (après avoir démontrer la distance)

ben2510 a écrit:Bon, mon joker : j'invoque Ycombe sur ce topic !

:mdr3:



Dans ce cas, là, en général je sors mon Lebossé-Hèmery et je regarde comment on expliquait ça à l'époque où l'on s'abstenait de faire découvrir les notions aux élèves par eux même.



Sinon il y a aussi cette vidéo  dont l'idée est sympa:

Multiplication_des_relatifs par dhenin2

Il y a une difficulté, et comme dit Rudolf Bkouche il ne faut pas la cacher aux élèves. La difficulté est que le choix des signes est arbitraire et que l'identification nombres positifs = nombres arithmétiques (utilisés pour compter) est arbitraire également.

Si on tient compte de tout ça on a:
(-4) + (-4) + (-4) = (-4)×3   (définition de la multiplication en arithmétique)
                          = (-4)×(+3) (identification nombres arithmétiques - nombres positifs)
                          = (-12) (règle d'addition des relatifs qui provient de leur définition pour mesurer les déplacements par exemple).
Ça a l'air simple mais ce choix d'identifier 3 et +3 est arbitraire. Il permet d'étendre la multiplication arithmétique aux relatifs dans ce cas:

multiplier un relatif par un positif ne change pas le signe, parce que les nombres positifs ont été identifiés aux nombres arithmétiques.

La question qui suit consiste à définir la multiplication par un nombre négatif. On ne peut plus utiliser l'addition répétée parce que ça n'a pas plus de sens de répéter une addition -3 fois que ça n'en a de la répéter +3 fois. L'idée de LH est d'utiliser la construction par les mesures orientées: l'extension de la multiplication vue pour un nombre positif a une traduction pour le déplacement, inversons le sens et regardons ce qui se passe pour un nombre négatif. C'est bien pensé.

Une autre approche est classiquement d'utiliser les règles de la multiplication, et en particulier celle de distributivité, et de dire que ces règles qui ont été établies pour la multiplication arithmétique doivent être conservées. On ne demandera pas pourquoi, cela vaut mieux:

(+3)×(-4)=(-12) par conservation de la commutativité dans la «nouvelle» multiplication.
((+3) + (-3))×(-4)= (+3)×(-4)+(-3)×(-4) = (-12)+(-3)×(-4) par conservation de la distributivité. Comme il faut que cela fasse 0, on n'a pas le choix et il faut que (-3)×(-4) fasse (+12).

D'où la deuxième règle:

multiplier un nombre relatif par un nombre négatif change le signe

Évidemment, nous nous adressons à des élèves pour qui les mots multiplicande et multiplicateur n'ont pas vraiment de sens, ce qui augmente un peu la difficulté de l'explication.

@ben2510, j'espère que j'ai été à la hauteur de tes espérances.  

DenPA a écrit:Sur ta dernière phrase, je suis bien d accord. On ne démontre pas, on essaie de convaincre.

En fait, on définit la multiplication des relatifs. Cette définition doit garder une certaine cohérence en particulier parce qu'on identifie les nombres arithmétiques et les nombres positif. Ce n'est pas une démonstration, c'est une analyse des règles qui doit respecter cette nouvelle multiplication pour assurer cette cohérence.

Edit: à titre d'illustration, dans la page du LH ci-dessus les règles des signes sont définies dans un paragraphe qui s'appelle Définition. Il s'agit bien de définir la multiplication des relatifs et pas de prouver qu'elle marche comme ça.

SandyVeg a écrit:Dans la série des démo abordables, il y a aussi Pythagore, les Th des milieux, Thalès, cosinus, triangles rectangles et cercle circonscrit, distance, triangle et cercle inscrit... (Cette année, je les ai toutes faites en 4^e.)

Les démonstrations concernant les médiatrices, hauteurs, bissectrices, médianes et centre de gravité d'un triangle sont accessibles aussi.

SandyVeg a écrit:
Pour Thalès et le cosinus, j'utilise les agrandissements et réductions (en fait les triangles semblables). Ensuite, c'est juste de la proportionnalité.

Pour Thalès, tu fais un raisonnement circulaire. Les propriétés des agrandissements et des réductions se démontrent à l'aide de Thalès (la version d'Euclide qui est plus restreinte que l'actuelle).

Il faut voir cette vidéo de Daniel Perrin. Le son est dégueulasse mais le contenu mérite de faire l'effort:
http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/les_mathematiques_autour_du_theoreme_de_thales/
(J'ai réussi à en garder une copie sur mon disque dur mais je ne me souviens plus comment j'ai fait).

Voir ce PDF pour le théorème de Thalès qui doit correspondre au contenu de la vidéo:
http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/ThalesDP.pdf

On peut démontrer Thalès par les aires en quatrième je pense.

Je le démontrais en m'appuyant sur le th des milieux puis en passant aux rapports rationnels (positifs!) par récurrence (sans faire pleurer les gosses). D'abord un th style 1.3 dans Perrin puis le th plus classique (4e).

Il y a une démonstration animée de Thalès sur mathkang.org avec une démonstration par les aires, via le théorème du papillon.

Vous faites la démonstration sous forme d'exercice ? vous le démontez seul au tableau ? Vous ne la démontrez pas ?

Combien de temps passez-vous sur cette démonstration ? Elle n'est pas facile ...

deux minutes et dix-sept secondes sur l'animation flash du site du Kangourou.