Recommandations BO pour T ES

Bonjour,

En lisant le bulletin officiel des Terminales ES, je trouve écrit : "ln x est l'unique solution de l'équation $e^y=x$. On définit ainsi la fonction log".
Que signifie dans cette phrase "on définit" ? Est-ce "on doit définir" ou "on peut définir" ?
Car j'ai envie de faire autrement sans avoir à subir, pour ce sujet, des critiques de la part d'un inspecteur. Ma question peut être plus générale : Un BO suggère-t-il ou ordonne-t-il une façon de faire ?

Une excellente question.
En TES j'ai toujours défini d'abord ln comme primitive de la fonction inverse sur R+*, s'annulant en 1, puis exp comme sa réciproque.
Pareil en TS (bien que le programme impose/suggère le contraire), avec l'avantage qu'on peut comparer diverses définitions de ln et exp et prouver qu'elles définissent le même objet, travail difficile à envisager en TES.

Bon, ça ne répond pas à ta question !
Je cherche de mon côté.

Très directif, ce programme, je trouve.
Sur les fonctions exponentielles :"Ces fonctions sont présentées comme un prolongement continu des suites
géométriques.
On admet que ces fonctions sont dérivables sur R et transforment les sommes en produits. "
Evidemment, la question reste ouverte : est-ce que "présentées" signifie "définies" ?

Je fouine dans les documents d'accompagnement ; sur Eduscol j'ai trouvé ces excellentes paroles :

Le principe de liberté pédagogique

En application de la loi n°2005-380 du 23 avril 2005 d'orientation et de programme pour l'avenir de l'École, «la liberté pédagogique de l'enseignant s'exerce dans le respect des programmes et des instructions du ministre chargé de l'Éducation nationale et dans le cadre du projet d'école ou d'établissement avec le conseil et sous le contrôle des membres des corps d'inspection».

Les programmes sont, en conséquence, la seule référence réglementaire adressée aux professeurs. Les ressources et documents proposés aux enseignants garantissent ce principe, il revient à chaque enseignant de s'approprier les programmes dont il a la charge, d'organiser le travail de ses élèves et de choisir les méthodes qui lui semblent les plus adaptées en fonction des objectifs à atteindre.

Les ressources pour faire la classe proposées par la DGESCO ne sont que des appuis à la libre disposition des professeurs.

Je ne trouve pas de document d'accompagnement pour les derniers programmes ; par contre dans http://enseignement.math.univ-angers.fr/IMG/pdf/TermS-ES.pdf  j'ai trouvé ça :


Les fonctions logarithme et exponentielle sont les nouveaux objets les plus importants que les élèves découvrent en terminale ES. Il n’est pas immédiat de comprendre le rôle central du nombre e, et il est peut-être souhaitable d’évoquer π, l’autre constante numérique que les élèves connaissent depuis longtemps, et de leur faire comprendre que ces deux nombres s’imposent à nous.
La fonction logarithme pourra être introduite par intégration de la fonction . Une méthode géométrique simple établit, sans recours à un changement de variable, que la primitive F de la fonction qui s’annule en 1 satisfait la formule fondamentale F(ab) = F(a) + F(b) pour tous les réels positifs a et b (voir le document d’accompagnement de l’option de première et terminale L, p 18-19). Cette propriété justifie l’importance accordée à cette fonction ; on la notera désormais ln.

En relisant le programme officiel, j'ai bien l'impression qu'il impose le cheminement suites géométriques --> prolongement à IR --> définition des fonctions exponentielles --> définition de la fonction exponentielle --> définition de ln comme réciproque de exp.

Hum.

La question est de savoir si ça te convient. Tout dépend de l'IPR, bien sûr, mais si la présentation ln comme primitive --> exp comme réciproque --> propriétés algébriques te convient mieux, je ne vois pas de raison pour laquelle un IPR t'emmerderait avec ça, tant que tu peux argumenter ton choix.
La dernière fois que j'ai causé de ça avec un IPR, ses arguments étaient d'ordre "pédagogique", plus précisément il défendait la progression officielle en arguant qu'elle passait mieux avec les élèves.

Merci ben2510 de tout l'attention que tu portes à cette question. Voir l'exponentielle comme prolongement continu des suites géométriques est une erreur. Il y a une infinité de tels prolongements.
Une fois qu'on aura tracé ces infinités de prolongements et qu'on aura choisit le "bon" (difficile de motiver un tel choix), est-ce que l'on aura compris ce que c'est que $0.7^\pi$ ?
Donc je présenterai le calcul de primitive, puis déf de la fonction ln, puis déf de la fonction exp comme réciproque.
Je n'aurai aucun scrupule après ça de ne pas suivre la définition du BO de l'intégrale comme "aire sous la courbe". lol.
Une dernière question (pour l'instant) sur le sujet : le programme parle des fonctions exp(u) mais rien concernant ln(u). C'est dommage je trouve. Est-ce que je peux quand même dériver ln(u) dans mon cours ?

Comment définis-tu une intégrale ?

Apparemment la dérivée de ln(u) n'est pas au programme (disons pas explicitement).
Mais bien sûr il faut la mettre dans le cours ! (A mon humble avis).

L'intégrale de f sur [a;b] est le nombre réel F(b) -F(a) où F est une primitive de f.

OnizukaSensei a écrit:Merci ben2510 de tout l'attention que tu portes à cette question. Voir l'exponentielle comme prolongement continu des suites géométriques est une erreur. Il y a une infinité de tels prolongements.
Une fois qu'on aura tracé ces infinités de prolongements et qu'on aura choisit le "bon" (difficile de motiver un tel choix), est-ce que l'on aura compris ce que c'est que $0.7^\pi$ ?
Donc je présenterai le calcul de primitive, puis déf de la fonction ln, puis déf de la fonction exp comme réciproque.
Je n'aurai aucun scrupule après ça de ne pas suivre la définition du BO de l'intégrale comme "aire sous la courbe". lol.
Une dernière question (pour l'instant) sur le sujet : le programme parle des fonctions exp(u) mais rien concernant ln(u). C'est dommage je trouve. Est-ce que je peux quand même dériver ln(u) dans mon cours ?

Oui et non.
Oui, de manière générale.
Non, si tu imposes que q^((a+b)/2) = racine(q^a q^b), p.ex tu "complètes la suite 1 2 4 8 6 ... en intercalant des racines 1 rac(2) 2 2 rac(2) 4 4 rac(2) 8 8 rac(2) 16 .... pour les indices en ,5 ; puis tu itères pour prolonger ta suite à {n/2^k | n € N, k €N}, qui est dense dans IR d'où l'unicité par continuité.

En français, "l'image de la moyenne arithmétique est la moyenne géométrique des images".

OnizukaSensei a écrit:L'intégrale de f sur [a;b] est le nombre réel F(b) -F(a) où F est une primitive de f.

M'ouais. C'est le TFCI, pas une définition.
Comment fais-tu le lien avec l'aire alors ?
Personnellement je commence par la notion d'aire, j'explique la notation S f(x) dx avec la méthode des rectangles et en définissant dx comme un infiniment petit, disons 0,1 :lol: puis je démontre le TFCI dans le cas d'une fonction continue positive monotone (on pense très fort à la fonction inverse sur IR+*).

Il me semble avoir lu que Poincarré, qui avait travaillé sur les programmes de mathématiques du début du XXe (à l'époque - révolue - où l'on demandait leurs avis aux super tronches), recommandait de définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme l'aire sous la courbe et d'extrapoler à partir de ça.

Vu le niveau des lycéens de l'époque, ils devaient sûrement déjà leur parler de sommes de Darboux etc.

Le point de vue de ben2510 semble assez cohérent avec le reste des programmes. Comment définir la fonction exponentielle sans équation différentielle ? Et puis si l'on voulait passer par les fonctions qui transforment les sommes en produits, l'étude est compliquée (N, Z, Q, densité, R).

De plus, difficulté non soupçonnée par les élèves : les exposants autres qu'entiers n'ont jamais été étudiés avant la terminale et quelques rares curieux savent ce qu'est un exposent rationnel. Alors un exposant réel...

Samuel DM a écrit:Il me semble avoir lu que Poincarré, qui avait travaillé sur les programmes de mathématiques du début du XXe (à l'époque - révolue - où l'on demandait leurs avis aux super tronches), recommandait de définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme l'aire sous la courbe et d'extrapoler à partir de ça.

Vu le niveau des lycéens de l'époque, ils devaient sûrement déjà leur parler de sommes de Darboux etc.

Le point de vue de ben2510 semble assez cohérent avec le reste des programmes. Comment définir la fonction exponentielle sans équation différentielle ? Et puis si l'on voulait passer par les fonctions qui transforment les sommes en produits, l'étude est compliquée (N, Z, Q, densité, R).

De plus, difficulté non soupçonnée par les élèves : les exposants autres qu'entiers n'ont jamais été étudiés avant la terminale et quelques rares curieux savent ce qu'est un exposent rationnel. Alors un exposant réel...

C'est comme ça que j'ai appris en TC en 87.
Somme inférieure, somme supérieure, tout ensemble de IR borné admet un infimum et un supremum, et définition de l'intégrabilité comme égalité du sup des sommes inférieures et du inf des sommes supérieures.
Il reste à prouver que toute fonction continue est intégrable sur tout segment, facile si on sait que la continuité sur un segment implique l'uniforme continuité.

C'était une autre époque.

Pour les exposants rationnels, il n'y a pas de difficulté particulière, mais c'est un peu chiant (p.ex il faut montrer que a^(p/q) = a^((kp)/(kq)) ), ce genre de choses. Mais c'est après que ça se gâte, dans la mesure où la construction de IR par les suites de Cauchy est un peu hors programme... Sans parler de la dérivabilité avec l'exposant comme variable.

Sinon on peut poser exp(x)=somme(x^k / k!), mais ça pose d'autres soucis...

En fait le programme d'analyse de TS est un peu léger, sans parler de celui de TES, du coup il faut vraiment aller droit au but (avec quand même quelques démonstrations en TS : unicité de exp, positivité, propriétés algébriques ; pour l'existence on peut jeter un coup d'oeil aux docs d'accompagnement de 2002 ; peut-être à donner en DM pour les bons ?).

Samuel DM a écrit:Il me semble avoir lu que Poincarré, qui avait travaillé sur les programmes de mathématiques du début du XXe (à l'époque - révolue - où l'on demandait leurs avis aux super tronches), recommandait de définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme l'aire sous la courbe et d'extrapoler à partir de ça.

Vu le niveau des lycéens de l'époque, ils devaient sûrement déjà leur parler de sommes de Darboux etc.

Le point de vue de ben2510 semble assez cohérent avec le reste des programmes. Comment définir la fonction exponentielle sans équation différentielle ? Et puis si l'on voulait passer par les fonctions qui transforment les sommes en produits, l'étude est compliquée (N, Z, Q, densité, R).

De plus, difficulté non soupçonnée par les élèves : les exposants autres qu'entiers n'ont jamais été étudiés avant la terminale et quelques rares curieux savent ce qu'est un exposent rationnel. Alors un exposant réel...

Pas tant que ça !
Supposons que f soit une fonction définie sur IR et dérivable en zéro telle que f(x+y)=f(x)f(y) pour tous x,y réels.
i) f(0+0)=f(0)f(0) donc f(0)=0 (et f est identiquement nulle par f(x+0)=f(x)f(0)) ou f(0)=1 cas dans lequel on se place désormais.
ii) Soit x fixé et h variable non nul ; (f(x+h)-f(x))/h=(f(x)f(h)-f(x))/h=f(x) ((f(h)-1)/h) ----> f(x) f'(0) quand h --->0 donc f est dérivable sur IR et est solution de l'ED y'=ay où on a posé a=f'(0).
iii) donc f est continue sur IR, positive sur IR, monotone sur IR (on retombe sur la définition de exp comme solution à un problème de Cauchy et on utilise les mêmes démonstrations).

Sans la dérivabilité en zéro, c'est un autre problème.

Concernant la discussion sur la définition d'une intégrale, finalement, je vous rejoins. Je n'avais pas suffisamment réfléchi et en repensant à la définition d'une intégrale de Riemann avec les sommes de Darboux, c'est très logique de définir l'intégrale par une aire.
Définir exp comme solution à un problème de Cauchy me parait risqué. La démo que je connais du théorème de Cauchy-Lipschitz utilise le lemme de Gronwall qui lui-même utilise l'exp.

OnizukaSensei a écrit:Concernant la discussion sur la définition d'une intégrale, finalement, je vous rejoins. Je n'avais pas suffisamment réfléchi et en repensant à la définition d'une intégrale de Riemann avec les sommes de Darboux, c'est très logique de définir l'intégrale par une aire.
Définir exp comme solution à un problème de Cauchy me parait risqué. La démo que je connais du théorème de Cauchy-Lipschitz utilise le lemme de Gronwall qui lui-même utilise l'exp.

La définition "officielle" de exp en TS est "exp est la solution du pb de Cauchy y'=y et y(0)=1".
Mais on n'est pas supposé parler de "pb de Cauchy" devant les élèves !
Evidemment, c'est autant un théorème qu'une définition, puisque "est" nécessite une démonstration de l'existence (qui est admise en TS, Cauchy-Lipshitz est hors programme même en prépa), et "la" nécessite une démonstration de l'unicité (très facile en dérivant h(x)=exp(-x)g(x)  où g est une autre solution, en admettant h'=0 => h=cste).

Pour des TES (et même pour des TS...) il faut vraiment aller à l'essentiel :
* position du problème, les suites arithmétiques correspondent aux fonctions affines, les suites géométriques correspondent aux fonctions exponentielles.
* la fonction exponentielle est ... + tableau de variations complet (insiste sur e^x >0) + dérivée de exp(u) + propriété algébrique fondamentale ; éventuellement quelques démonstrations, plutôt en S ; e est l'image de 1, et on note exp(x)=e^x car les règles de calcul sur les exponentielles sont précisément celles vues en quatrième sur les puissances entières ; et il te reste 40 min pour donner à étudier quelques fonctions du genre y=(2x+6)e^x, y=x²e^-x  etc.
* auto-contrôle au début de chacune des 5 ou 6 séances suivantes, puis une fois par semaine jusqu'à la fin de l'année : "prenez un morceau de feuille, tableau complet de exp, dérivée de e^u, propriété algébrique fondamentale".   Et la même chose pour ln, bien sûr. (Mes moyennes de TES ont pris deux points quand j'ai commencé à faire ça)

Je viens de récupérer la filière S dans mon établissement (1S l'an dernier, 1S+TS cette année) et je me rends compte que s'il y a quand même quelques outils pour démontrer des trucs, c'est quand même assez difficile. Limites de suites, de fonctions et continuité par exemple c'est truffé de trucs techniques à démontrer et il me vient une envie folle de passer aux epsilon pour raccourcir les démonstrations, et puis je me rends compte que ça devient progressivement un cours de sup', donc j'efface les démonstrations et je mets admis sur les théorèmes...

C'est quand même un peu frustrant de faire semblant de faire des math !

Personnellement j'ai choisi ce que j'admettais :
* d'une part les théorèmes trop techniques (convergence monotone, existence de exp, TFCD...)
* d'autre part les théorèmes "en pack" du genre opérations et limites, j'en démontre deux et j'admets le reste du paquet

Mais il me semble que la règle reste de démontrer ce qu'on avance, même si parfois on se limite à un cas particulier, en disant clairement que parfois on admet certains résultats et pourquoi (difficulté de la preuve ou manque de temps).

J'ai animé des groupes de soutien de TES l'année dernière, donc mon avis n'est que très partiel :

Le pire c'est qu'au baccalauréat TES, certaines questions sur 4 points sont des Q.C.M. pour lesquels on "conjecture" sans rien démontrer. il y a également des exercices de statistiques parfaitement stupides, toujours identiques et où rien n'est démontré. A quand le commentaire de texte. Ce qui ajoute à l'approximation d'élèves qui arrivent les mains dans les poches, sans rien avoir révisé, et donne une impression de "n'importe quoi". Certains élèves ne feront pas la différence entre "ce qui est admis" et "ce qui est démontré". Personnellement, je pense qu'il vaut mieux s'interroger sur la manière de préparer de manière intensive les élèves au baccalauréat, avec une méthode de type "athlétique", basée sur une préparation quotidienne et intensive. Quand tu leur a "collé" quatre ou cinq exercices du baccalauréat sur le sujet, tu peux revenir et les intéresser aux fondements mathématiques. A mon avis, c'est mieux de procéder ainsi, sinon tu risques de t'exprimer dans un vide sidéral.

Un dernier exemple : en fin de seconde, on aperçoit la notion de taux de variation (sans le nommer). Les élèves qui comprennent feront une bonne 1S, les autres iront principalement en 1ES. En terminale ES, on demande aux élèves d'apprendre par coeur les dérivées, pas de les recalculer. C'est que le programme est taillé pour l'audience (sans critique). En début d'année de terminale ES, j'imagine que l'audience ne sait pas et n'a pas compris ce qu'est un taux de variation.

J'ai donné cours à côté d'une classe de TES, et quand j'étais au repos, je pouvais entendre et suivre les cours d'économie (bon prof par ailleurs). Pour avoir fait de l'économie durant mes études, je peux t'affirmer que tout ce qui est enseigner est parfaitement flou et même discutable. C'est du blabla. Je le dis sous couvert d'anonymat, parce qu'au lycée, il m'a été reproché de faire de la retape auprès de bons élèves de seconde pour aller en S et éviter à tout prix la section ES.

Plutôt d'accord avec Kellog's, il y a très peu de démonstration en TES.
Mais mon message précédent concernait les TS, j'avais quelque peu dévié du sujet.