Résolution par méthode arithmétique

Bonjour,

Je souhaite proposer à des élèves de 3ème ce problème :

Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre (voir fichier joint).
Quelle est la mesure d'un côté du triangle ?

Je veux proposer ce problème dans le cadre d'une visite d'un formateur de l'ESPE. C'est une classe assez difficile et faible. Je veux tenter de les faire travailler en groupe (je l'ai déjà fait une fois avec eux). Le but est de les amener à constater que la mise en équation serait la méthode la plus efficace.

En travaillant sur cette activité je me suis demandé quelles méthodes les élèves pourraient utiliser pour la réaliser : méthode algébrique, méthode par essais successifs, méthode arithmétique. En faisant l'inventaire des différentes façons d'aborder le problème, je me suis demandée de quelle façon résoudre cet exercice par la méthode arithmétique et j'avoue que je sèche un peu. Auriez-vous une piste à me proposer ?

Merci d'avance.

Niveau troisième ?

En peu de mots :

Le périmètre d'un polygone régulier à n côtés est proportionnel à la longueur du côté du polygone et au nombre n. Donc on peut se ramener à l'unité pour raisonner.

Donc soit un carré de côté 1. Son périmètre est 4.
La longueur du côté du triangle équilatéral de même périmètre est 4/3.

Et on conclue avec un tableau de proportionnalité.
(Ou : par proportionnalité, un triangle équilatéral de côté 4/3a a même périmètre qu'un carré de côté a, d'où le résultat)

N'est-il pas plus intéressant de considérer des polygones réguliers de même aire ?

Quelle est la longueur du côté du triangle équilatéral de même aire que celle du carré de côté 1 ?
Soit un carré de côté 1, son aire est 1.
Soit un triangle équilatéral de côté 1, par le théorème de Pythagore est obtenue la hauteur, racine de 3 divisée par 2.
D'où une aire de racine de trois sur quatre. On désirerait avoir une aire égale à un, soit quatre sur racine de trois fois plus.
L'aire du triangle équilatéral est proportionnelle au carré de la longueur de son côté (par agrandissement), considérons la racine carrée du quotient de quatre par racine de trois, elle est le résultat cherché.

JPhMM a écrit:Niveau troisième ?

Bonsoir et merci pour ta réponse JPhMM. Pourquoi une forme interrogative pour le niveau troisième ? Penses-tu que le problème que je prévois de proposer est trop simple ?

Oui.

Mais ce n'est qu'un avis personnel.

JPhMM a écrit:Oui.

Mais ce n'est qu'un avis personnel.

Pourrais-tu me proposer un type de problème à ce niveau pour montrer la pertinence du recours à l'algèbre dans la résolution ? Je débute dans l'enseignement et j'ai encore du mal à régler le niveau de difficulté.

Les côtés des deux figures ensembles font 10. Donc 3 côtés de triangle et 3 côtés de carré font 30. Donc 7 côtés de carré fait 30 et le côté de carré fait 30/7, soit 4+2/7. Le triangle fait 5+5/7 soit 40/7 par complément à 10.

J'ai bien peur que ce que tu cherches n'existe pas.

Le recours à l'algèbre en résolution de problème peut toujours être évité. La pertinence n'est pas dans la résolution de tel ou tel problème mais dans l'acquisition d'une méthode unique qui permet de s'attaquer à une foule de problèmes qui, sinon, auraient besoin de méthodes différentes.

C'est aussi un moyen de modéliser les situations physiques pour les étudier, mais ça sera plutôt au lycée.

Merci pour ta réponse Ycombe. Je crois donc que je vais au casse-pipe avec ce projet d'activité.

Existe-t-il un triangle équilatéral qui a même périmètre et même aire que mon carré?

Rép: oui, beaucoup

MathisM a écrit:Merci pour ta réponse Ycombe. Je crois donc que je vais au casse-pipe avec ce projet d'activité.

D'autant qu'ici, la mise en équation naturelle utilise deux inconnues:
4x = 3y et x + y = 10.

Ce n'est pas si évident de raisonner avec une seule inconnue.

ycombe a écrit:[...]Le recours à l'algèbre en résolution de problème peut toujours être évité.

C'est assez optimiste.

ycombe a écrit: La pertinence n'est pas dans la résolution de tel ou tel problème mais dans l'acquisition d'une méthode unique qui permet de s'attaquer à une foule de problème qui, sinon, auraient besoin de méthodes différentes.[...]

Là je suis bien d'accord.
Mais il ne me semble pas inutile de présenter des méthodes « presque sans calcul ».
Elles invitent à considérer le problème particulier, ce qui peut-être utile.

Ça me rappelle que dans le bouquin de Perelman, il y a un exemple de problème plus simple à résoudre par l'arithmétique que par l'algèbre.

ycombe a écrit:Le recours à l'algèbre en résolution de problème peut toujours être évité.

Et la tradition de ces résolutions est la plus ancienne de l'histoire des mathématiques.

Sorti du Perelman (ce n'est pas celui auquel je pensais plus haut):

Un père a 32 ans; son fils a 5 ans. Dans combien d'année l'âge du père sera égal à 10 fois l'âge du fils?

Un autre, toujours du même bouquin:

20 personnes assistaient à une soirée dansante. Marie a dansé avec 7 hommes, Olga avec huit, Véra avec neuf, et ainsi de suite jusqu'à Nina, qui a dansé tous les hommes présents à la soirées. Combien de danseurs (hommes) y avait-il?

Tu veux que trois côtés de triangle fassent quatre côtés de carré, donc tu coupes le segment dans le rapport 3::4, aux 3/7 en partant de la gauche.