l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

J'ai envoyé le lien vidéo à mon aîné et sa réponse a été "trop drôles les trucs sur ses étagères, c'est un pote à toi? "

Jean-charles a écrit:

JPhMM a écrit:
C'est balayer les arguments de Hardy, Ramanujan, Euler... un peu vite. En la matière, la prudence me semble de mise. Quand quelqu'un que je connais désespérément (pour moi) supérieur à moi dans un certain domaine me dit ce que je pense absurde, je me garderais bien de dire en trois lignes qu'il a tort sans me pencher sur les arguments qu'il propose.

Après, chacun fait comme il veut.

PS : je rappelle que l'équation x + 5 = 2 a provoqué des réactions du type Game Over pendant des siècles (et plus encore).

Je te rassure ces génies me sont infiniment supérieurs aussi.
Je me rappelle d'une égalité, il me semble la somme "infinie" des 1/k^2 égale pi^2/6, trouvée par Euler d'une façon absolument géniale et manquant totalement de rigueur.

Je dis simplement que faire des mathématiques c'est manipuler des objets clairement définis et la somme infinie 1-1+1-1..... n'a aucune définition et du coup on peut faire tout et n'importe quoi.

D'ailleurs comme tu le fais remarquer en regroupant les termes d'une autre façon, on peut justifier que la somme vaut 0 et probablement beaucoup d'autres valeurs en modifiant les groupements...

Après la vidéo est amusante et intéressante...

Oui, oui, je comprends bien.
Souvenons-nous qu'il s'agit d'une vidéo de vulgarisation qui tente de rendre compte de résultats étudiés de façon bien plus rigoureuse.

J'ai ajouté deux liens ci-dessus pour en témoigner, et je dois avouer que l'envie me démange de me plonger dans le prestigieux

JPhMM a écrit:Et rappelons que l'un des principaux moteurs (sinon le principal) de révolution dans l'histoire des mathématiques est le posture "et si en fait s'était possible ?" : nombres relatifs, réels, complexes, géométriques non-euclidiennes, distributions, etc etc.

Oui mais à chaque fois on crée de nouveaux objets (comme les complexes) avec de nouvelles propriétés qui ne peuvent pas modifier les propriétés des objets déjà existants.

Par exemple: dans l'ensemble des complexes, on a i^2=-1.

Par contre dans l'ensemble des réels, x^2 est toujours positif et le restera toujours !

Donc écrire qu'une somme infinie de réels strictement positifs vaut un réel strictement négatif, c'est juste impossible...

Sur ce je retourne à mes copies pour voir les nouvelles découvertes de mes élèves.

Jean-charles a écrit:

JPhMM a écrit:Et rappelons que l'un des principaux moteurs (sinon le principal) de révolution dans l'histoire des mathématiques est le posture "et si en fait s'était possible ?" : nombres relatifs, réels, complexes, géométriques non-euclidiennes, distributions, etc etc.

Oui mais à chaque fois on crée de nouveaux objets (comme les complexes) avec de nouvelles propriétés qui ne peuvent pas modifier les propriétés des objets déjà existants.

Par exemple: dans l'ensemble des complexes, on a i^2=-1.

Par contre dans l'ensemble des réels, x^2 est toujours positif et le restera toujours !

Donc écrire qu'une somme infinie de réels strictement positifs vaut un réel strictement négatif, c'est juste impossible...

Sauf si c'est possible pour une raison que nous ignorons mais qui semblait une évidence absolue pour Ramanujan.

PauvreYorick a écrit:

barèges a écrit: je me demande finalement simplement comment quelqu'un a eu l'idée de passer par les calculs de A ou B pour résoudre l'équation

Question à ceux qui savent : c'est Ramanujan ? ou quelqu'un d'autre ?

Je crois en effet me souvenir que le résultat est l'un des résultats "absurdes" que Ramanujan envoya à Hardy dans une lettre, qu'il a failli jeter — pourquoi ne pas jeter une liste de résultats impossibles venant d'un sombre illuminé inconnu de tous, qui dit simplement qu'elles sont évidentes et qu'il n'est pas nécessaire de les démontrer ? Littlewood et Hardy sont peut-être à l'origine du calcul.

Je trouve la position de JPM réductrice malgré son apparente ouverture d'esprit (sans polémique vaine ni animosité, ce n'est pas le lieu...)
"si c'est possible" ne signifie pas "tout est possible", le "tout est possible" aboutit finalement à "rien n'est certain"....pas vraiment d'évolution
On peut toujours en maths poser un nouveau concept encore faut-il qu'il soit, cohérent avec lui même, non contradictoire avec ce qui existe et surtout fécond pour la suite et tout ce dont parle JPhMM obéit à ces règles
Pour ce qui est de la somme infinie, elle existe, qu'on le veuille ou non, ne serait-ce que parce qu'on peut l'écrire et visualiser sa construction....après....

Balthazaard a écrit:Je trouve la position de JPM réductrice malgré son apparente ouverture d'esprit (sans polémique vaine ni animosité, ce n'est pas le lieu...)
"si c'est possible" ne signifie pas "tout est possible", le "tout est possible" aboutit finalement à "rien n'est certain"....pas vraiment d'évolution
On peut toujours en maths poser un nouveau concept encore faut-il qu'il soit, cohérent avec lui même, non contradictoire avec ce qui existe et surtout fécond pour la suite  et tout ce dont parle JPhMM obéit à ces règles.

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Balthazaard a écrit:Pour ce qui est de la somme infinie, elle existe, qu'on le veuille ou non, ne serait-ce que parce qu'on peut l'écrire et visualiser sa construction....après....

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Elle n'existe pas au sens mathématique ou alors donnez en une définition.
D'ailleurs on ne peut pas l'écrire !
Ou alors chronométrez vous quand vous aurez fini d'écrire la somme infinie de tous les termes indiquez nous combien de temps il vous aura fallu... :lol:

J'admire avec des yeux de gosse ; je trouve ça génial. Merci Will.

D'autant que, comme Bolzano, j'ai commencé par me dire que A valait zéro.

JPh, si tu as une minute, dans un futur plus ou moins proche, pour partager avec nous le résultat graphique, sache que Rendash ne sera pas le seul à le regarder attentivement (à plus forte raison parce que mes mathématiques sont trop loin derrière moi pour que je puisse comprendre pleinement ta démonstration de la page précédente).

Bolzano a écrit:Pour troubler (et émerveiller aussi je l'espère) encore un peu plus les non matheux du forum, je voudrais ajouter ceci :

La vidéo dit que
A = 1-1+1-1+... = 0,5.
Mais on peut aussi faire le calcul en groupant les termes deux par deux.
A = 1-1+1-1+...
A = (1-1)+(1-1)+...
A = 0+0+...
A = 0.
Bizarre... Quelle est la bonne valeur pour A ? D'ailleurs, en groupant autrement on pourrait aboutir à A = 1. Evidemment, ces nouvelles valeurs pour A changent celles qu'on obtient pour B et C, qui en dépendent.

Oui mais selon le nombre d'éléments considérés dans la somme A, le résultat est 0 ou 1. Si on a un nombre pair d'éléments (somme de 2/4/6/... élements) , ça donne effectivement 0, mais si tu as un nombre impair, ça donne 1 (somme de 1/3/5/... éléments). Par conséquent, 0,5 me semble tout à fait logique. Enfin, étant donné que tu es matheux et pas moi, j'ai peut-être loupé une subtilité, mais je ne vois aucune bizarrerie.

Jean-charles a écrit:

JPhMM a écrit:Et rappelons que l'un des principaux moteurs (sinon le principal) de révolution dans l'histoire des mathématiques est le posture "et si en fait s'était possible ?" : nombres relatifs, réels, complexes, géométriques non-euclidiennes, distributions, etc etc.

Oui mais à chaque fois on crée de nouveaux objets (comme les complexes) avec de nouvelles propriétés qui ne peuvent pas modifier les propriétés des objets déjà existants.

Par exemple: dans l'ensemble des complexes, on a i^2=-1.

Par contre dans l'ensemble des réels, x^2 est toujours positif et le restera toujours !

Donc écrire qu'une somme infinie de réels strictement positifs vaut un réel strictement négatif, c'est juste impossible...

Sur ce je retourne  à mes copies pour voir les nouvelles découvertes de mes élèves.

J'imagine que dans le cas des séries divergentes, on n'est plus dans le registre d'une extension d'un concept mathématique au sens où on l'entend d'ordinaire ; pour que la théorie obtenue soit cohérente, on doit sans doute perdre des propriétés usuelles qui sont incompatibles avec les nouvelles. A moins que la confusion ne réside dans l'utilisation un peu cavalière du symbole =.

"On" me demande de demander s'il existe une théorie mathématique suivant laquelle les entiers feraient une sorte de boucle. On partirait de 0 vers les entiers naturels 1, 2, 3, etc. et on "reviendrait" par les entiers relatifs -3, -2, -1. Le côté "circulaire" expliquerait les différences de résultats pour A.

Jean-charles a écrit:

Balthazaard a écrit:Je trouve la position de JPM réductrice malgré son apparente ouverture d'esprit (sans polémique vaine ni animosité, ce n'est pas le lieu...)
"si c'est possible" ne signifie pas "tout est possible", le "tout est possible" aboutit finalement à "rien n'est certain"....pas vraiment d'évolution
On peut toujours en maths poser un nouveau concept encore faut-il qu'il soit, cohérent avec lui même, non contradictoire avec ce qui existe et surtout fécond pour la suite  et tout ce dont parle JPhMM obéit à ces règles.

+100

Je n'ai pas dit que tout est possible, simplement que parfois un "c'est impossible" témoigne d'une clôture de théorie qui peut être dépassée par l'idée que cet impossibilité pourrait devenir possibilité dans une théorie plus large et conséquemment plus riche. La découverte des hyperensembles par Robinson en est un exemple récent tout à fait symptomatique.

Jean-charles a écrit:

JPhMM a écrit:Et rappelons que l'un des principaux moteurs (sinon le principal) de révolution dans l'histoire des mathématiques est le posture "et si en fait s'était possible ?" : nombres relatifs, réels, complexes, géométriques non-euclidiennes, distributions, etc etc.

Oui mais à chaque fois on crée de nouveaux objets (comme les complexes) avec de nouvelles propriétés qui ne peuvent pas modifier les propriétés des objets déjà existants.

Par exemple: dans l'ensemble des complexes, on a i^2=-1.

Par contre dans l'ensemble des réels, x^2 est toujours positif et le restera toujours !

Donc écrire qu'une somme infinie de réels strictement positifs vaut un réel strictement négatif, c'est juste impossible...

Je comprends bien l'idée de cette impossibilité. Voilà pourquoi je me demandais si la question première ici n'était pas précisément le sens que l'on donne à ce signe "=".

Dalathée2 a écrit:JPh, si tu as une minute, dans un futur plus ou moins proche, pour partager avec nous le résultat graphique, sache que Rendash ne sera pas le seul à le regarder attentivement (à plus forte raison parce que mes mathématiques sont trop loin derrière moi pour que je puisse comprendre pleinement ta démonstration de la page précédente).

Je réfléchis à comment l'expliquer, ce qui n'est pas une mince affaire.

"Ou alors chronométrez vous quand vous aurez fini d'écrire la somme infinie de tous les termes indiquez nous combien de temps il vous aura fallu..."
une telle position risque d'entrainer le rejet de beaucoup de concepts mathématiques depuis plus d'un siècle

JPhMM a écrit:

Jean-charles a écrit:

JPhMM a écrit:Et rappelons que l'un des principaux moteurs (sinon le principal) de révolution dans l'histoire des mathématiques est le posture "et si en fait s'était possible ?" : nombres relatifs, réels, complexes, géométriques non-euclidiennes, distributions, etc etc.

Oui mais à chaque fois on crée de nouveaux objets (comme les complexes) avec de nouvelles propriétés qui ne peuvent pas modifier les propriétés des objets déjà existants.

Par exemple: dans l'ensemble des complexes, on a i^2=-1.

Par contre dans l'ensemble des réels, x^2 est toujours positif et le restera toujours !

Donc écrire qu'une somme infinie de réels strictement positifs vaut un réel strictement négatif, c'est juste impossible...

Je comprends bien l'idée de cette impossibilité. Voilà pourquoi je me demandais si la question première ici n'était pas précisément le sens que l'on donne à ce signe "=".

C'est une des premières questions qui me vient avec cette vidéo (comme dans certaines conversations avec les physiciens, d'ailleurs). Pardonnez les absurdités qu'une non-scientifique va dire, je me place dans mon point de vue d'observateur lointain, naïf et émerveillé.
Certaines "réalités", propriétés, et mêmes liens logiques (parlez à certains physiciens de causalité...) se diluent, se transforment ou perdent de leur pertinence à certaines "échelles" ou dans certaines dimensions. Qu'est-ce qui permet de garder d'autres liens ou propriétés, comme ici le signe =, quand on constate que par ailleurs l'addition d'entiers positifs vers l'infini se solde par un résultat négatif ? Pourquoi les chiffres finissent-ils par devenir complètement contre-intuitifs, alors que le "lien" demeure identique ?

PauvreYorick a écrit:

barèges a écrit: je me demande finalement simplement comment quelqu'un a eu l'idée de passer par les calculs de A ou B pour résoudre l'équation

Question à ceux qui savent : c'est Ramanujan ? ou quelqu'un d'autre ?

Apparemment, ce serait Euler — que Ramanujan ne connaissait semble-t-il pas au moment où il produisit lui-même ses résultats.

Dalathée2 a écrit:"On" me demande de demander s'il existe une théorie mathématique suivant laquelle les entiers feraient une sorte de boucle. On partirait de 0 vers les entiers naturels 1, 2, 3, etc. et on "reviendrait" par les entiers relatifs -3, -2, -1. Le côté "circulaire" expliquerait les différences de résultats pour A.

La question de ton "On" me rappelle la projection "stéréographique" d'un cercle sur une droite et le compactifié d'Alexandrov de l'ensemble des nombres réels.

@kero : J'ai l'impression que tu raisonnes comme s'il y avait un nombre fini de termes dans la somme, soit pair auquel cas A=0, soit impair auquel cas A=1. Or il y en a une infinité, et du coup la somme vaut en même temps 0 et 1. Je voulais juste exprimer que cette somme n'a pas de sens mathématique, à cause de cette simultanéité de valeurs.

On peut faire dire tout ce qu'on veut à cette somme, précisément en raison de l'infinité des termes qui la composent. Par exemple, je mets tous les +1 à gauche et tous les -1 à droite, c'est toujours la même somme. J'obtiens deux groupes
A = (+1+1+1+...)+(-1-1-1-...)
Comme j'ai des +1 et des -1 à volonté, j'en sors par exemple 12 d'un type et 7 de l'autre et je les mets devant, c'est encore la même somme. Il en reste toujours autant dans les parenthèses, puisque la réserve est infinie (j'ai des arguments pour le justifier s'il le faut). J'obtiens
A = +12-7+(+1+1+1+...)+(-1-1-1-...)
A =        5+(+1+1+1+...)+(-1-1-1-...)
Puis je barre tous les +1 et les -1 qui se compensent. Il me reste
A = 5.

Quant au 0,5 qui résulterait de la moyenne de 0 et de 1, comme on pourrait l'envisager assez naturellement, est-ce qu'après avoir trouvé 12 points dans une copie, et puis 13 au second décompte, on mettrait 12,5 à la copie ou on recompterait une troisième fois ? Le problème ici est qu'on obtient une foule de résultats différents selon la façon dont on mène le calcul. Du coup, on n'arrive pas à identifier ce qu'on a écrit. Ce A n'est pas un nombre. Il n'y a pas moyen de mettre une note à la copie.

@Dalathée : La droite graduée infinie refermée sur elle-même s'appelle la droite projective, ses deux "extrémités" se rejoignent au point à l'infini. Mais je n'arrive pas à faire de rapport avec la calcul de A.

Bolzano a écrit:@Dalathée : La droite graduée infinie refermée sur elle-même s'appelle la droite projective, ses deux "extrémités" se rejoignent au point à l'infini. Mais je n'arrive pas à faire de rapport avec la calcul de A.

J'ai l'impression que dans l'idée relayée par Dalathée, il y aurait quelque chose comme une permutation circulaire sur une somme infinie qui fait qu'on pourrait tomber sur des résultats différents selon la manière de faire.

Et pour répondre à la suggestion "On partirait de 0 vers les entiers naturels 1, 2, 3, etc. et on "reviendrait" par les entiers relatifs -3, -2, -1" : sur la droite projective, il n'y a plus de relation d'ordre total qui serait compatible avec les opérations algébriques. Autrement dit, on ne peut pas ranger l'infini aux côtés des nombres positifs et des nombres négatifs sans perdre sans perdre la possibilité de faire des additions et des multiplications qui restent cohérentes avec l'ordre (et donc avec les signes).

Moonchild a écrit:Et pour répondre à la suggestion : "On partirait de 0 vers les entiers naturels 1, 2, 3, etc. et on "reviendrait" par les entiers relatifs -3, -2, -1", sur la droite projective, il n'y a plus de relation d'ordre total qui serait compatible avec les opérations algébriques. Autrement dit, on ne peut pas ranger l'infini aux côtés des nombres positifs et des nombres négatifs sans perdre sans perdre la possibilité de faire des additions et des multiplications qui restent cohérentes avec l'ordre (et donc avec les signes).

Et comme il est question ici de la proposition 1+2+3+4+... = -1/12 nous revenons bien sur ce qui semble "impossible" : qu'une somme (?) de nombres positifs soit strictement négative. Bolzano, peut-être l'idée avancée par ce "On" vient-elle précisément de cette propriété de la droite projective.

Merci ! Je ne suis pas sûre d'avoir compris toutes les références (le compactifié d'Alexandrov ?), mais je transmets. "On" sera content.

EDIT : Oui-oui, il y a bien un rapport avec la question d'origine (ahem ), explicité par JPhMM juste au-dessus.

En même temps, vu la réputation de « on » ici...

C'est comme la somme des angles d'un triangle est égale à 900°.
Appartement ça n'a pas l'air possible, n'est-ce pas.
En ce qui concerne les sériés divergentes, il me semble que l'on puisse obtenir n'importe quelle valeur en changeant l'ordre de sommation.

Dalathée2 a écrit:(le compactifié d'Alexandrov ?)

Dans le cas présent, cela signifie intuitivement que tu déformes une droite pour coller l'un de ses "bouts" (qui n'existe pas :lol: ) sur l'autre bout (qui n'existe pas plus), avec un point (de colle).



Je te propose la déformation suivante.
On "envoie" chaque point D de la droite (des réels par exemple) sur le cercle, où il "devient" un point E, selon le procédé illustré ci-dessus.
Donc à chaque point de la droite correspond un point du cercle. MAIS il existe un point du cercle qui ne correspond à aucun point de la droite, c'est le point que j'ai appelé "Nord". On ajoute donc ce point "Nord", qui correspondrait (dans un certain sens qu'il faut explicitement justifier en mathématiques) à la fois à l' "infiniment loin" à gauche de la droite, et à son "infiniment loin" à droite de la droite. Ce point "Nord" est le point de colle dont je te parlais.

JPhMM a écrit:

Dalathée2 a écrit:(le compactifié d'Alexandrov ?)

On "envoie" chaque point D de la droite (des réels par exemple) sur le cercle, où il "devient" un point E, selon le procédé illustré ci-dessus. Donc à chaque point de la droite correspond un point du cercle. MAIS il existe un point du cercle qui ne correspond à aucun point de la droite, c'est le point que j'ai appelé "Nord". On ajoute donc ce point "Nord", qui correspondrait (dans un certain sens qu'il faut explicitement justifier en mathématiques) à la fois à l' "infiniment loin" à gauche de la droite, et à son "infiniment loin" à droite de la droite. Ce point "Nord" est le point de colle dont je te parlais.

Je comprends, merci d'avoir pris le temps de m'expliquer cela. Je vais transmettre aussi, okazou.

HS : j'avais bien compris.