Conseils rédactionnels CAPES mathématiques

Merci, commandé à l'instant.

Introduction à la logique mathématique
P. S. Novikov.
B0014QY25I

Votre forum et la communauté sont une mine d'or, merci !
Je sens que cette préparation au CAPES va être un vrai plaisir grâce à vous, de véritables vacances intellectuelles.

Merci !

wanax a écrit: mais pour (...)' , je ne vois pas.

C'est parce qu'on dérive des fonctions et non des expressions.

JPhMM a écrit:Je voulais dire :
« Soit x élément de A, il existe y élément de B, tel que... » ne me semble pas d'une rigueur absolue, transposé en calcul des prédicats. A cause du mélange des genres, précisément.
Mes cours de logique du premier ordre sont loin, mais (x∈A)(∃y∈B) ne me semble pas vouloir dire grand chose.

Personnellement, je préfèrerais écrire
« Pour tout x élément de A, il existe y élément de B, tel que... »
(∀x∈A)(∃y∈B) me semble en effet préférable.

Mais je ne pense pas que le jury sanctionnerait un tel écart.

Pour une démonstration avec quantificateurs universels, j'ai toujours procédé ainsi :
Soit x élément de A, il existe.... et on déroule la démonstration.
Une phrase de conclusion s'impose effectivement, et c'est seulement à ce moment là que j'utilise "Ainsi, pour tout x élément de A, il existe y élément de B tel que".

Écrit en français, oui bien sûr, je ne m'empêche pas de le faire. Il faut sans doute s'appeler Russell ou Tarski pour s'y refuser. D'où "je ne pense pas que le jury sanctionnerait un tel écart".

Mais après réflexion, par transposition en calcul symbolique des prédicats, cela ne me semble pas très rigoureux. Mais oui, il est clair que je chipote.

Filnydar a écrit:

wanax a écrit: mais pour (...)' , je ne vois pas.

C'est parce qu'on dérive des fonctions et non des expressions.

Mais où est le risque, pour quelqu'un qui sait faire la distinction entre une fonction et son expression ?
Quelles erreurs, quelles confusions cela peut-il entraîner ?

A vrai dire je n'ai jamais fait de logique pure... Ma rédaction me vient exclusivement de mes années prépa, je ne suis donc surement pas la mieux placée pour en parler :lol: Apres au niveau des exigences des concours (capes ou post CPGE), ce genre de rédaction a toujours payé et plaisait à mes différents professeurs (et n'ayant pratiqué qu'elle, j'avoue l'avoir chevillée au corps :lol: )
Pour du plus haut niveau (Agreg par exemple) il se peut en effet que ce soit considéré comme incorrect (mais je laisse l'appréciation à ceux qui s'y connaissent )

Je raisonne comme toi, Ainah, et c'est passé aussi pour l'agreg. En fait, je n'arrive pas à imaginer  que toute démonstration puisse se transcrire en écriture symbolique. Mais il est vrai que je n'ai fait des maths qu'en classe prépa, et pas en fac, d'où peut-être un certain manque de rigueur dans la rédaction.

:lol:

C'est pas beau de se moquer des anciens étudiants de fac.

Je ne moquais pas ! Ce que je voulais dire, c'est que je n'ai jamais fait de maths pures après bac +2, je n'ai pas suivi de cours de licence ni de master.

kellogs a écrit:Bonjour,

Après 20 années sans faire les moindres mathématiques, j'ai commencé il y a quelques jours à réviser le CAPES.

J'ai commencé par parcourir Algèbre et Analyse de Camille Lebossé, ainsi que Traité de Mathématiques Spéciales chez Masson.
Ces ouvrages sont excellents, dommage que je ne les ai pas utilisé à l'époque.

Je me pose des questions générales concernant le rédactionnel, avec un exemple :

Dans le rapport des concours 2014, il est écrit que seuls environ 20% des candidats ont réussi à démontrer :
"Z inclus D inclus Q et que ces inclusions sont strictes."

Pour quelqu'un comme moi, élevé au maths modernes et à la construction par les classes d'équivalence, c'est simplement faux. Z est assimilé à son image par l'injonction canonique dans Q, c'est cette image qui est strictement incluse dans Q (et c'est trivial en plus dans la construction). Si on définit D comme la partie de Q dont les éléments sont dans une classe de type a/10^n, c'est trivial pour D aussi.

Ils devaient donner une définition dans le sujet pour que ça puisse être vrai?

Je serais tenté d'écrire pour Z inclus dans D :
Quel que soit x appartient à Z, x= 1.x = 10⁰.x dont le produit est stable dans Z et qui satisfait la propriété d'appartenance à D, donc Z est inclus dans D. L'élément 1/10=10⁻1 est inclus dans D et non dans Z, donc D et Z sont distincts, ainsi Z est strictement inclus dans D.

mais ne ne sais pas quelles sont les exigences de formalisme durant les concours ?

Bourrinement je conseillerais:

Prouvons que Z est strictement inclus dans D.

Montrons d'abord l'inclusion: tout élément de Z est élément de D:
Soit x dans Z
patati patati patata
donc x appartient à D.

Montrons maintenant  que cette inclusion est stricte:
1/10 appartient à D, montrons qu'il ne peut appartenir à Z.
patati patati patata
donc 1/10 n'est pas dans Z.


Finalement, Z est bien strictement inclus dans D. CQFD

Concernant l'utilisation des propriétés, rien n'est indiqué concernant Z. Doit-on démontrer que Z est stable pour la multiplication ou peut-on considérer ce résultat comme acquis ?

Acquis.

Doit on également rappeler que "A inclus dans B, ssi (quel que soit x appartient à A, x appartient à B)" ou est-ce implicite dans ma réponse ?

C'est la définition de l'inclusion, donc c'est connu et tu t'en sers.

Bref ... je me pose la question à quel point ont doit développer un raisonnement et faire des rappels de cours ou citer des propriétés.
Est-il permis de rédiger des réponses courtes au CAPES ?

Une réponse courte est non rédigée, donc ta question est oxymorique. Tu rédiges. La rédaction peut être courte, mais les réponses doivent être rédigées.

Par ailleurs, quel ouvrage me conseiller pour apprendre à rédiger et réviser des notions de logique?
C'est un domaine où je n'ai jamais été très fort et j'aimerais progresser.

Étudie les démonstrations de n'importe quel ouvrage de prépa des années 70 (ou début des annés 80). Arnaudiès-Fraysse par exemple.

wanax a écrit:

Filnydar a écrit:

wanax a écrit: mais pour (...)' , je ne vois pas.

C'est parce qu'on dérive des fonctions et non des expressions.

Mais où est le risque, pour quelqu'un qui sait faire la distinction entre une fonction et son expression ?
Quelles erreurs, quelles confusions cela peut-il entraîner ?

quelque soit x réel sin'(x) est un réel égal à cos(x). C'est la valeur en x de la fonction sin'. C'est clair, la notation Machin(x) est la valeur en x d'une fonction Machin.

(sin(x))' c'est la fonction dérivée par rapport à t de la fonction t |-> sin(x) ? Ou c'est la valeur en x de sin'? sin(x) est un réel, la dérivé d'un réel n'a pas de sens, sauf si on considère ce réel comme une fonction constante.

wanax a écrit:
Mais où est le risque, pour quelqu'un qui sait faire la distinction entre une fonction et son expression ?
Quelles erreurs, quelles confusions cela peut-il entraîner ?

Une erreur très fréquente due à cette notation : pour dériver x->"intégrale de a à x de f", les étudiants écrivent l'intégrale sous la forme F(x)-F(a), où F est une primitive de f, puis (F(x)-F(a))'=F'(x)-F'(a)=f(x)-f(a)...

Filnydar a écrit:

wanax a écrit:
Mais où est le risque, pour quelqu'un qui sait faire la distinction entre une fonction et son expression ?
Quelles erreurs, quelles confusions cela peut-il entraîner ?

Une erreur très fréquente due à cette notation :  pour dériver x->"intégrale de a à x de f", les étudiants écrivent l'intégrale sous la forme F(x)-F(a), où F est une primitive de f, puis (F(x)-F(a))'=F'(x)-F'(a)=f(x)-f(a)...

Certes. J'aime bien, en Première S, poser le petit exercice suivant : f : x -> f(x) = x²
Donner (f(3))' puis Donner f'(3)

Ou encore, demander de dériver sqrt(2)
Mais si la variable par rapport à laquelle on dérive est clairement identifiée, l'erreur suivante (F(x)-F(a))'=F'(x)-F'(a)=f(x)-f(a)
devrait pouvoir être évitée, non ?

Quid des notations df/dx, qu'on 'spécialise' ainsi :


Il va falloir que j'y réfléchisse sérieusement, car j'utilise systématiquement les ()', en particulier pour dériver des composées, je trouve ça efficace et léger.

Beaucoup d'équations fonctionnelles nécessitent juste d'avoir compris la notion de fonction dérivée :
trouver toutes les fonctions f de R vers R dérivables de sorte que, pour tout couple (x,y) de réels, f(x+y)=f(x)+f(y).

(On peut le poser avec des fonctions continues, mais ce n'est plus du même niveau)

wanax a écrit:

Quid des notations df/dx, qu'on 'spécialise' ainsi :


Il va falloir que j'y réfléchisse sérieusement, car j'utilise systématiquement les ()', en particulier pour dériver des composées, je trouve ça efficace et léger.

Il me semble que ces notations sont "réservées" aux fonctions de plusieurs variables.

Le problème de (F(x)-F(a))' c'est qu'on dérive g: x|->F(x)-F(a), et que là-dedans F(a) est une constante malgré la notation fonction. Les élèves auraient du mal avec l'idée que cela ne m'étonnerait pas.