récurrence

Bonjour,

suite à une correction de devoirs de Term S, j'ai trouvé pour la première fois l'expression "d'après l'axiome de récurrence...", là où je fais écrire "d'après le principe de récurrence on conclut que..."

Je ne suis pas contre des variantes dans la rédaction, mais ce terme de "axiome" me fait tiquer. Mais je ne suis pas du tout certaine d'avoir raison de tiquer : ce n'est pas parce que je ne l'ai jamais vu que c'est faux !

Qu'en pensez-vous ?

Bah le principe de récurrence est un axiome. Reste à savoir d'où ton élève tire cette façon de dire. Un Bourbaki qui traîne à la maison ? Un oncle qui a des souvenirs de son lycée/sa prépa ? Un prof particulier en thèse ?

ben2510 a écrit:Bah le principe de récurrence est un axiome.

La construction de IN se fait par le biais d'une axiomatique. Une fois celle-ci établie, le principe de récurrence se démontre. Parler "d'axiome de récurrence" me parait donc peu judicieux.

je penche pour un prof particulier.

En fait, je veux m'assurer que si il continue à écrire ça, il ne court pas à la sanction le jour du bac (qui a dit dans le fond que mettre sanction et bac dans la même phrase c'est un raisonnement par l'absurde?)

Vous me direz, avec 4,5/20 pour commencer, mon questionnement reste très théorique:)

Sinon, d'après ce que j'ai pu lire à droite à gauche (avant d'en appeler à Néo) certaines présentations font découler tellement directement le théorème des axiomes que je pourrai comprendre le choix.
Mais si on m'avait demandé ça à froid, j'aurai dit théorème, donc pas axiome.

Tout dépend de l'axiomatique de N que l'on utilise. Si l'on utilise l'axiomatique de Peano, il existe bien un "axiome de récurrence", mais les élèves en utilisent une variante qui demeure un théorème (bien qu'il soit un corollaire trivial de l'axiomatique, voir page 2). En revanche, si l'on part de l'axiomatique ordinale, le "principe" de récurrence est un théorème à démontrer (voir ici).

En bref, il existe bien un axiome de récurrence, légèrement différent dans sa forme du principe qu'utilise un élève de terminale. Je pense que le jour du BAC, le correcteur ne pourra pas en tenir rigueur. C'est trop "pointu" pour qu'un élève lambda saisisse la différence et comme ça a été évoqué, ce n'est clairement pas de son initiative.

Franchement, est-ce qu'il existe un professeur de maths qui enlèverait des points parce que l'élève a écrit "axiome" au lieu de "principe" ? Si la récurrence est parfaitement faite, ce serait vraiment chercher la petite bête.

De plus, je ne vois pas bien l'intérêt d'écrire une telle phrase. Je rédigerais ainsi : en introduction j'écrirais "On raisonne par récurrence sur n" par exemple puis j'écrirais les étapes du raisonnement et enfin je conclurais simplement.

Bonjour
Je suis de l'avis de B-Becker...

Par contre je vous envie, je rêve d'une classe où les contraintes de calcul et de mécanique seraient devenues triviales au point où on pourrait noter (et se disputer entre nous, mais en apprenant sans doute des choses dans notre matière et en réfléchissant au sens d'un "prof de maths".......) sur le choix du bon mot....théorème, axiome, postulat, propriété, principe...etc c'est les mots du prof pour désigner ce qu'on doit lire (je n'ai pas dit apprendre ou pire comprendre...) avant l'interro pour gratter les points généreusement attribués...

Je suis aigri mais j'essaie de me soigner...

Si "axiome" est écrit sans faute d'orthographe, autant ne pas perdre de temps à se triturer les méninges ; et puis même s'il y en a une, après tout...

Balthazaard a écrit:Bonjour
Je suis de l'avis de B-Becker...

Par contre je vous envie, je rêve d'une classe où les contraintes de calcul et de mécanique seraient devenues triviales au point où on pourrait noter (et se disputer entre nous, mais en apprenant sans doute des choses dans notre matière et en réfléchissant au sens d'un "prof de maths".......) sur le choix du bon mot....théorème, axiome, postulat, propriété, principe...etc c'est les mots du prof pour désigner ce qu'on doit lire (je n'ai pas dit apprendre ou pire comprendre...) avant l'interro pour gratter les points généreusement attribués...

Je suis aigri mais j'essaie de me soigner...

ah non mais attendez, faut pas vous faire du mal, l'élève en question est nul. Vraiment. Ma question est donc d'ordre très théorique, rassurez vous.

Ceci dit, il est vrai que j'ai la chance d'avoir quelques élèves franchement brillants (oui oui plusieurs dans la même classe) et du coup ça me donne envie de creuser un peu.

Après sur la notation au bac, pour avoir vu quelqu'un expliquer que tel élève a faux parce qu'il a mis B au lieu de b pour une longueur (ben oui, tout le monde sait que des majuscules, c'est pour des aires voyons !), j'ai tendance à être méfiante. Très.

Comme dit ci-dessus, c'est cohérent.
Et s"il fallait enlever des points pour ça, plus personne n'aurait son bac...

J'ai une remarque à faire sur la récurrence : j'ai cette année d'énormes problèmes avec le principe de récurrence et en particulier avec la notion d'hypothèse de récurrence, j'ai mis trois semaines à entrevoir la source du problème : les élèves (qui font des SVT en parallèle, ça a son importance) prennent une hypothèse pour une conjecture, comme c'est le cas en sciences expérimentales. Ils cherchent donc à tout démontrer sans base solide, ils ne saisissent pas bien la notion d'hypothèse ni de conclusion puisque tout est logiquement flou. Après recadrage les choses s'arrangent mais la polysémie transdisciplinaire laisse de méchantes traces...

ça s'apparente plus à une démonstration par l'absurde où on réfute "l'hypothèse" de départ, en cela ils n'ont pas tout à fait tort....d'ailleurs dans le vocabulaire des tests statistiques, on parle bien de l'hypothèse nulle H0, que l'on rejette parfois à la fin....
mais je reconnais que c'est gênant, sans parler des hypothèses de Sherlock Holmes..

Quand j'étais en prépa, la récurrence avait en effet été présentée comme une conséquence de l'axiomatique de N.

Personnellement, cela ne me gênerait pas dans une copie, mais je me demanderais d'où cela sort.

Bonjour,

J'interviens cette année en maths expertes, donc une option commune à tous les groupes de spé maths de terminale de mon lycée. J'ai malheureusement eu une réaction épidermique (poils hérissés, visage empli d'horreur, bref, impossible à cacher) à certaines propositions de rédaction d'un raisonnement par récurrence, au niveau de l'hérédité :

- "on suppose qu'il existe un entier k tel que P(k), montrons que P(k+1) est vraie" <- c'est la première qu'on m'a suggérée et qui m'a fait réagir, après, le choc était passé
- "on suppose que P(k) est vraie pour k \geq 1, ..."
- "on suppose que P(k) est vraie pour un certain k, ..."
- "on suppose que ``l'égalité est vérifiée' ' pour k \geq 1, ..."
- "soit k \in N tel que P(k) est vraie, ..."

J'ai bien conscience que certaines (toutes ?!?) de ces rédactions ne seront pas pénalisées au bac. Mais parmi mes collègues, aucun ne semble être gêné par ces propositions, la plupart n'y voyant pas vraiment de problème ou suggérant même que les différentes rédactions sont équivalentes à un raisonnement par récurrence.

Je vais mordre sur ma chique, et accepter ces rédactions cette année, en faisant de mon mieux pour ne pas mettre en défaut mes collègues devant les élèves, mais, dans l'optique de l'année suivante, que pensez-vous de ces rédactions ? Y a-t-il un modèle de rédactions acceptées au bac (je n'ai jamais été de correction, et je croise les doigts pour que cela dure) ? pour le supérieur ?

Merci d'avance !!!

Patatine a écrit:Bonjour,

J'interviens cette année en maths expertes, donc une option commune à tous les groupes de spé maths de terminale de mon lycée. J'ai malheureusement eu une réaction épidermique (poils hérissés, visage empli d'horreur, bref, impossible à cacher) à certaines propositions de rédaction d'un raisonnement par récurrence, au niveau de l'hérédité :

- "on suppose qu'il existe un entier k tel que P(k), montrons que P(k+1) est vraie" <- c'est la première qu'on m'a suggérée et qui m'a fait réagir, après, le choc était passé
- "on suppose que P(k) est vraie pour k \geq 1, ..."
- "on suppose que P(k) est vraie pour un certain k, ..."
- "on suppose que ``l'égalité est vérifiée' ' pour k \geq 1, ..."
- "soit k \in N tel que P(k) est vraie, ..."

J'ai bien conscience que certaines (toutes ?!?) de ces rédactions ne seront pas pénalisées au bac. Mais parmi mes collègues, aucun ne semble être gêné par ces propositions, la plupart n'y voyant pas vraiment de problème ou suggérant même que les différentes rédactions sont équivalentes à un raisonnement par récurrence.

Je vais mordre sur ma chique, et accepter ces rédactions cette année, en faisant de mon mieux pour ne pas mettre en défaut mes collègues devant les élèves, mais, dans l'optique de l'année suivante, que pensez-vous de ces rédactions ? Y a-t-il un modèle de rédactions acceptées au bac (je n'ai jamais été de correction, et je croise les doigts pour que cela dure) ? pour le supérieur ?

Merci d'avance !!!

Montrer l'hérédité, c'est montrer que  P(k) => P(k+1). La dernière rédaction que tu proposes "Soit k \in N tel que P(k) est vrai. Montrons que P(k+1) est vrai" suffit à montrer cette hérédité, et je dirais que c'est celle qu'on emploie généralement. Les puristes répondraient qu'il n'est pas nécessaire qu'il existe un entier k tel que P(k) soit vrai pour montrer que P(k) => P(k+1), mais ça me semble une considération bien loin du niveau terminale.

Toutes les autres rédactions sont pour moi fautives ou au mieux obscures, mais c'est devenu si difficile à faire comprendre...et effectivement, je ne suis pas sûr que tous les collègues soient au point là dessus.

Edit : la première proposition que tu donnes, "on suppose qu'il existe un entier k tel que P(k)" est très commune. Pourtant elle est fausse, parce qu'il n'est pas nécessaire qu'il existe un entier k tel que P(k) soit vrai pour montrer que l'hérédité est vraie. Il existe des propriétés héréditaires mais fausses pour tout entier k, exemple ici :

http://guern91.e-monsite.com/medias/files/heredite-1.pdf

Même des collègues réputés font cette erreur...

https://youtu.be/udGGlHdSAgc?t=389

La 5 est effectivement bancale pour la raison que tu évoques (et ce n'est donc pas une rédaction que je proposerais en correction), même si cela prouve la bonne phrase logique.
Je considère la 3 comme correcte, sous réserve de préciser à quel ensemble appartient le certain k.
Le reste est à bannir, car il fait appel soit au mauvais quantificateur, soit au bon quantificateur mais au mauvais endroit de la phrase logique à démontrer ($\forall n \in N, (P(n) ⇒ P(n+1))$).

Je fais (probablement) partie des puristes
Pour ma part, la seule rédaction qui me paraît acceptable en terminale (avec les variations de vocabulaire/formulations) est la suivante :
- Soit k \in N (ou plus grande que le n_0 qu'on considère). On suppose que P(k) est vraie, montrons que P(k+1) est vraie.
En fait, la formulation "Soit k \in N tel que P(k) est vrai. Montrons que P(k+1) est vrai" me paraît ambigüe : quel est le quantificateur associé au k ? si c'est un quelque soit, ok, mais pourquoi mettre un tel que ? c'est une formulation qui 'pour moi' est uniquement associée à un quantificateur d'existence.

Je suis bien d'accord avec toi que c'est une considération bien loin du niveau de terminale. Mais l'option maths expertes s'adresse principalement (mais pas uniquement) à des élèves qui souhaitent faire des maths formelles. Puis tant qu'à faire, autant apprendre ce qui est juste

Patatine a écrit:En fait, la formulation "Soit k \in N tel que P(k) est vrai. Montrons que P(k+1) est vrai" me paraît ambigüe : quel est le quantificateur associé au k ? si c'est un quelque soit, ok, mais pourquoi mettre un tel que ? c'est une formulation qui 'pour moi' est uniquement associée à un quantificateur d'existence.

J'interprète la première phrase que tu cites comme « Soit k dans {n \in N | P(n)} », le « tel que » correspondant au schéma de restriction.
Par conséquent, l'énoncé qui est démontré est « \forall k \in {n \in N | P(n)}, P(k+1) », qui est une reformulation valable bien qu'exotique de la propriété d'hérédité.

Mathador a écrit:

Patatine a écrit:En fait, la formulation "Soit k \in N tel que P(k) est vrai. Montrons que P(k+1) est vrai" me paraît ambigüe : quel est le quantificateur associé au k ? si c'est un quelque soit, ok, mais pourquoi mettre un tel que ? c'est une formulation qui 'pour moi' est uniquement associée à un quantificateur d'existence.

J'interprète la première phrase que tu cites comme « Soit k dans {n \in N | P(n)} », le « tel que » correspondant au schéma de restriction.
Par conséquent, l'énoncé qui est démontré est « \forall k \in {n \in N | P(n)}, P(k+1) », qui est une reformulation valable bien qu'exotique de la propriété d'hérédité.

Oh merci ! Je ne l'avais jamais vu de cette façon ! Par contre, une virgule ne permettrait plus de l'associer à cet ensemble, si ? "Soit k \in N, tel que P(k) est vrai".
J'ai l'impression que ça vient du fait que "Soit k \in N tel que P(k) est vrai" peut être parenthésé de deux façons :
- "Soit k \in (N tel que P(k) est vrai)" -> ok,
- mais "(Soit k \in N) tel que (P(k) est vrai)" -> on prend le k dans N, puis seulement ensuite on ajoute l'hypothèse que P(k) est vraie, mais le tel que ne pourrait plus être une restriction de l'ensemble, puisque l'ensemble aurait été choisi auparavant.

Mathador a écrit:

Patatine a écrit:En fait, la formulation "Soit k \in N tel que P(k) est vrai. Montrons que P(k+1) est vrai" me paraît ambigüe : quel est le quantificateur associé au k ? si c'est un quelque soit, ok, mais pourquoi mettre un tel que ? c'est une formulation qui 'pour moi' est uniquement associée à un quantificateur d'existence.

J'interprète la première phrase que tu cites comme « Soit k dans {n \in N | P(n)} », le « tel que » correspondant au schéma de restriction.
Par conséquent, l'énoncé qui est démontré est « \forall k \in {n \in N | P(n)}, P(k+1) », qui est une reformulation valable bien qu'exotique de la propriété d'hérédité.

Oui, c'est ça. La rédaction de Patatine est plus claire, mais je pense que la tentation d'utiliser cette restriction vient du fait qu'il est difficile psychologiquement d'accepter de montrer que l'hérédité est vraie indépendamment du fait que P(k) soit vraie ou non. L'hérédité, c'est dire que si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie.

Mais c'est vrai que ça amène souvent à la rédaction fautive du type "on suppose qu'il existe P(k) tel que P(k) soit vraie...".

J’avoue ne pas bien saisir le problème. Dans les 2 cas, on prouve que si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie. Le fait de supposer qu’il existe effectivement un k pour lequel P(k) est vrai ne vient pas invalider cette preuve il me semble, même si c’est superflu. De plus traditionnellement en terminale on a montré avant que P(n0) est vraie.

Patatine a écrit:- mais "(Soit k \in N) tel que (P(k) est vrai)" -> on prend le k dans N, puis seulement ensuite on ajoute l'hypothèse que P(k) est vraie, mais le tel que ne pourrait plus être une restriction de l'ensemble, puisque l'ensemble aurait été choisi auparavant.

Je ne vois pas le problème dans ce cas: on prend k dans N, puis on suppose P(k) vrai, puis on obtient P(k+1).
Si je formalise (à peu près) en déduction naturelle en logique du premier ordre:
1) on obtient donc, suite au raisonnement subséquent, un séquent k \in N, P(k) \vdash P(k+1)
2) on applique la règle d'introduction de ⇒ pour en déduire le séquent k \in N \vdash P(k) ⇒ P(k+1)
3) avec la règle d'introduction du quantificateur universel on en déduit que \forall k \in N, P(k) ⇒ P(k+1).
(en toute rigueur la logique du premier ordre fait des quantifications dans l'absolu, pas dans un ensemble, mais je passe outre)

Mathador a écrit:

Patatine a écrit:- mais "(Soit k \in N) tel que (P(k) est vrai)" -> on prend le k dans N, puis seulement ensuite on ajoute l'hypothèse que P(k) est vraie, mais le tel que ne pourrait plus être une restriction de l'ensemble, puisque l'ensemble aurait été choisi auparavant.

Je ne vois pas le problème dans ce cas: on prend k dans N, puis on suppose P(k) vrai, puis on obtient P(k+1).
Si je formalise (à peu près) en déduction naturelle en logique du premier ordre:
1) on obtient donc, suite au raisonnement subséquent, un séquent k \in N, P(k) \vdash P(k+1)
2) on applique la règle d'introduction de ⇒ pour en déduire le séquent k \in N \vdash P(k) ⇒ P(k+1)
3) avec la règle d'introduction du quantificateur universel on en déduit que \forall k \in N, P(k) ⇒ P(k+1).
(en toute rigueur la logique du premier ordre fait des quantifications dans l'absolu, pas dans un ensemble, mais je passe outre)

Dans ce que tu dis, il y a plusieurs choses qui me gênent :
- un "tel que" suppose un lien, au moment de l'introduction, donc forcément une existence (dans ce cas, on revient au point précédent : une récurrence c'est \forall k \in N (P(k) => P(k+1), donc pas possible), ou une restriction d'ensemble (impossible car le parenthésage signifie qu'on a finit de définir l'ensemble) -> seule possibilité : la syntaxe est mauvaise, donc pas acceptable.
- si on considère que le tel que ne suppose pas de lien, mais agit plutôt comme un "et", on a effectivement dans notre contexte k \in N et P(k), ce qui permet effectivement, comme tu le montres, d'aboutir sur \vdash \forall k \in N, (P(k) => P(k+1)). (Il y a du latex sur le forum ?)
Mais... "tel que" et "et" sont-ils synonymes ? ou comment introduire autrement plusieurs éléments dans notre contexte ? (à part faire plusieurs phrase du style 'Soit ...', 'On pose ...', ...)

mathmax a écrit:J’avoue ne pas bien saisir le problème. Dans les 2 cas, on prouve que si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie. Le fait de supposer qu’il existe effectivement un k pour lequel P(k) est vrai ne vient pas invalider cette preuve il me semble, même si c’est superflu. De plus traditionnellement en terminale on a montré avant que P(n0) est vraie.

Montrer que la propriété P est héréditaire, encore une fois, c'est montrer que pour un entier naturel k quelconque, P(k)=>P(k+1), ce qui implique que (Pour tout entier naturel k, P(k)=>P(k+1) ).

Commencer sa rédaction par "Supposons qu'il existe un entier k tel que P(k) est vrai. Montrons que P(k+1) est vraie." d'une part est inutile (voir exemple ci-dessus : il existe des propriétés héréditaires et fausses pour tout entier n), d'autre part semble dans la formulation indiquer que tu te places dans le cas d'un entier k particulier.


Par ailleurs, pour revenir ta dernière remarque, si on a précédemment montré l'initialisation, il n'est pas la peine de supposer qu'il existe un entier k tel que P(k) est vrai : on le sait déjà.

@Patatine:
Ce sont peut-être plus les collègues de français qu'il faudrait interroger à ce stade
De mon point de vue, le subjonctif « soit » précise l'existence de n, qu'on caractérise par la suite par les prédicats « appartenant à n » puis « tel que P(n) » (que le Wikitionnaire considère comme une locution adjectivale*).
On se rapproche donc de ton deuxième point.

* si on substitue par un adjectif, on obtient une formulation du type « soit n \in N pair », ou dans un autre domaine « soient (u,v) \in E² colinéaires » (avec E espace vectoriel), dont l'interprétation me semble sans ambiguïté.

Prezbo a écrit:

mathmax a écrit:J’avoue ne pas bien saisir le problème. Dans les 2 cas, on prouve que si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie. Le fait de supposer qu’il existe effectivement un k pour lequel P(k) est vrai ne vient pas invalider cette preuve il me semble, même si c’est superflu. De plus traditionnellement en terminale on a montré avant que P(n0) est vraie.

Montrer que la propriété P est héréditaire, encore une fois, c'est montrer que pour un entier naturel k quelconque, P(k)=>P(k+1), ce qui implique que (Pour tout entier naturel k, P(k)=>P(k+1) ).

Commencer sa rédaction par "Supposons qu'il existe un entier k tel que P(k) est vrai. Montrons que P(k+1) est vraie." d'une part est inutile (voir exemple ci-dessus : il existe des propriétés héréditaires et fausses pour tout entier n), d'autre part semble dans la formulation indiquer que tu te places dans le cas d'un entier k particulier.


Par ailleurs, pour revenir ta dernière remarque, si on a précédemment montré l'initialisation, il n'est pas la peine de supposer qu'il existe un entier k tel que P(k) est vrai : on le sait déjà.

Je suis tout à fait d'accord avec toi ! C'est bien pour ça que cette rédaction m'a horrifiée quand je l'ai vue
Dans toutes les rédactions que je montrais (et découvertes), je ne parlais que de l'hérédité : l'initialisation était faite par ailleurs, sinon, je ne vois même pas comment on pourrait appeler cela une récurrence (bon, hormis pour certains cas très particuliers de récurrence généralisée).