propriétés et réciproques

Bonsoir,

Lorsqu'on aborde, en classe de quatrième, les propriétés du triangle rectangle et du cercle circonscrit, faut-il aussi énoncer les réciproques. J'ai parcouru le programme officiel mais j'avoue que j'ai un peu de mal à interpréter les instructions. Pourriez-vous me faire profiter de votre expérience ?

Merci d'avance.

Salut MathisM.
Le programme indique :
"- Caractériser le triangle rectangle par son
inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est
un côté du triangle.
- Caractériser les points d’un cercle de diamètre
donné par la propriété de l’angle droit."

(La caractérisation en langage mathématique, d'un objet X par une propriété P signifie non seulement que X possède la propriété P mais de plus que X est le seul objet à posséder la propriété P. (wiki))

Donc on doit étudier les deux sens.
Ca ne veut pas dire non plus qu'il faut tout démontrer,
on a une certaine liberté de ce côté.
On peut passer un peu moins de temps suivant les cas sur les réciproques.

Dans ce cas précis, la réciproque est même plus importante que la propriété directe. Elle permet de démontrer qu'un triangle est rectangle. On l'utilise beaucoup en 4e et en 3e. Donc oui il faut l'énoncer.

profnours a écrit:
Donc on doit étudier les deux sens.
Ca ne veut pas dire non plus qu'il faut tout démontrer,
on a une certaine liberté de ce côté.
On peut passer un peu moins de temps suivant les cas sur les réciproques.

Les deux démonstrations sont simples, il faut les donner. On peut faire le théorème direct par le théorème des milieux par exemple, la réciproque en passant par un rectangle.

Merci à vous pour vos réponses, je débute et j'essaie de m'imprégner au maximum des textes afin de ne pas faire trop d'erreurs l'année prochaine.

Pour le théorème de Pythagore le programme indique ceci :

"- Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.
- Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.
Commentaire : on ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle."

Dans ce cas précis, faut-il donner l'énoncé et sa réciproque (et la contraposée) ou bien l'un des deux seulement ? En fait, c'est le commentaire qui me pose question.

MathisM a écrit:Merci à vous pour vos réponses, je débute et j'essaie de m'imprégner au maximum des textes afin de ne pas faire trop d'erreurs l'année prochaine.

Pour le théorème de Pythagore le programme indique ceci :

"- Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.
- Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.
Commentaire : on ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle."

Dans ce cas précis, faut-il donner l'énoncé et sa réciproque (et la contraposée) ou bien l'un des deux seulement ? En fait, c'est le commentaire qui me pose question.

S'il y a marqué «caractériser», c'est qu'il faut donner les deux sens. Le commentaire demande de ne pas distinguer le sens direct de la réciproque et de tout regrouper dans une seule formulation.

C'est un bon exemple de la manière dont les exigences s'allègent et conduisent les élèves à ne plus rien comprendre.

MathisM a écrit:Merci à vous pour vos réponses, je débute et j'essaie de m'imprégner au maximum des textes afin de ne pas faire trop d'erreurs l'année prochaine.

Pour le théorème de Pythagore le programme indique ceci :

"- Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.
- Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.
Commentaire : on ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle."

Dans ce cas précis, faut-il donner l'énoncé et sa réciproque (et la contraposée) ou bien l'un des deux seulement ? En fait, c'est le commentaire qui me pose question.

Il y a un fil consacré à ce sujet : https://www.neoprofs.org/t75563-theoreme-de-pythagore-comment-l-aborder-en-classe?highlight=theoreme+de+pythagore

- Le nouveau programme tend effectivement à cacher les problèmes et à casser la compréhension de la différence entre le sens direct, la réciproque et la contraposée.
- Il faut bien évoquer cette différence au niveau du cours mais au niveau de la rédaction, il est autorisé d'insérer "d'après l'égalité de Pythagore" (dans les 3 cas...)

J'ai encore un peu de mal à synthétiser tout cela mais j'avance.

Merci pour vos réponses.