Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

Une vidéo connaît en ce moment un grand succès sur le net :



Beaucoup y voient une illusion d'optique. Est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

Magnifique !   

C'est très joli mais y a-t-il quelque chose à expliquer au-delà de ce que montre déjà la vidéo?

Oui, car je pense qu'on peut démontrer que les points, étant donné leur situation sur chaque diamètre, forment un octogone régulier (et il me semble que les sommets d'un octogone régulier sont toujours inscrits dans un cercle).

Plus généralement même, tout polygone régulier est inscrit dans un cercle oui !

Le tout ensuite consiste à s'assurer qu'ils bougent de la même façon (au même rythme: je pense que c'est celui d'une pastille sur une roue de vélo qu'on regarderait de face et qui tournerait à vitesse constante) et de faire partir chaque bille au bon moment.

Ca n'a rien de magique, ni de "crazy".
La clé tient à deux points :
le cercle intérieur a un rayon moitié du grand cercle
la vitesse de rotation du centre du cercle intérieur est la même que celle de ce dit cercle.
Ensuite, un peu de changement de repère et de trigonométrie et ça marche.

La vidéo est faite en partant des cercles, pas des diamètres : un point fixe sur un cercle de rayon r roulant sans glisser à l’intérieur d’un cercle de rayon 2r décrit un diamètre de ce dernier. Ils ont choisi les diamètres correspondant à des points bien choisis du cercle intérieur.

Pour la démonstration :

On définit le point M comme l’intersection du diamètre [AC] et du cercle vert. L’arc AB mesure 2rα, l’arc MB mesure rβ, et par le théorème de l’angle au centre, β = 2α, donc les deux arcs sont de même longueur. Cela signifie que lorsque l’on fait rouler le cercle vert à l’intérieur du cercle bleu, le point qui commence en A reste toujours sur le diamètre [AC].

Très élégant ! et niveau seconde actuelle.

Ah oui, très joli!

Sauf que le théorème de l'angle inscrit doit être démontré, et que les élèves de seconde n'ont aucune idée de ce qu'est une démonstration, ils commencent à peine à comprendre de quoi il s'agit en passant leur bac...

Mais cette démonstration est très jolie, illustre la définition du radian, hors programme en seconde, même si tout prof sensé s'y attelle...

Cela signifie que lorsque l’on fait rouler le cercle vert à l’intérieur du cercle bleu, le point qui commence en A reste toujours sur le diamètre [AC].

Belle démonstration !   

C'est beau, les maths !!

(Bon, perso, je fais juste semblant de comprendre, hein...   )

J’avais écrit théorème de l’angle inscrit, c’est le théorème de l’angle au centre qui est utilisé ici.

FD a écrit:
On définit le point M comme l’intersection du diamètre [AC] et du cercle vert. L’arc AB mesure 2rα, l’arc MB mesure rβ, et par le théorème de l’angle au centre, β = 2α, donc les deux arcs sont de même longueur. Cela signifie que lorsque l’on fait rouler le cercle vert à l’intérieur du cercle bleu, le point qui commence en A reste toujours sur le diamètre [AC].

Moi je ne comprends rien à la preuve - que prouve-t-on d'ailleurs ?  (ou que doit-on prouver ?)

A mon avis la difficulté c'est surtout de trouver l'équation paramétrique du déplacement du point d'intersection du cercle avec chacun des 9 diamètres et de montrer ainsi que le mouvement se fait sur une droite et à vitesse identique sur chaque branche. D'ailleurs la vitesse est elle constante en fonction de la position du point ?

Il n'y a pas d'illusion au sens où on ne se trompe pas lorsqu'on voit un cercle rouler dans un autre, seulement, il se trouve que si on trace un octogone régulier inscrit dans le cercle qui roule dans l'autre, les points se déplacent sur un segment.

C'est cela que l'on peut démontrer, comme l'a bien fait FD.

Gryphe a écrit:(Bon, perso, je fais juste semblant de comprendre, hein...   )

Je ne fais même pas semblant de comprendre   
Mais honnêtement, cela me paraît intéressant et en plus c'est joli.

Le propre d'une preuve est d'être explicite, "le point qui commence en A", ce n'est pas très explicite pour définir un objet mathématique. Comme je n'ai pas l'idée de FD en tête, je ne comprend pas cette phrase.

A aucun moment FD ne parle d'octogone.

Bon je me trompe surement mais moi je trouve que l'angle beta du dessin vaut pi-2alpha ....

Si on considère que B a glissé d'un angle alpha sur le cercle alors les vecteurs OI et IB ont pour coordonnée (cos(alpha),sin(alpha)) et le vecteur normal à IB a pour coordonnée N(-sin(alpha),cos(alpha)). Comme M est sur le cercle de centre I de rayon 1 et que l'angle BIM est beta, on en déduite que les coordonnées de M dans la base formée par IB et son vecteur normal N est (cos(beta),sin(beta))

Calculons alors la première coordonnée (l'abscisse) de IM. On obtient

cos(beta)abscisse (IB)+ sin(beta) Abscisse (N)= cos(beta)sin(alpha)-sin(beta)cos(alpha) = cos(beta+alpha)

L'abscisse de OM doit être nulle car M est sur AC et comme OM = OI+IM, elle vaut cos(alpha)+cos(beta+alpha), soit par une formule de trigo

cos(alpha)+cos(beta+alpha) = 2cos (\alpha+beta/2)cos(beta/2)

qui vaut 0 quand alpha+beta/2=pi/2 ou beta/2=pi/2 soit beta=pi-2alpha ou bien beta=pi (modulo 2 pi, j'ai exclus les solutions partant de 3pi/2, mais j'ai pas le courage de chercher une justification)

Je suis allé regarder le théorème de l'angle au centre, je ne comprends pas non plus comment on peut l'appliquer ici ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_l'angle_inscrit_et_de_l'angle_au_centre

Normalement il s'applique sur un seul arc qui recoupe deux angles, là les deux arcs, AB et MB sont bien distincts.

(Je précise que ma première motivation dans ces recherches est que je n'ai pas envi de me remettre à mon vrai boulot... pas que je suis pointilleux et que je veux casser l'ambiance hein   )

Finrod, je suis d'accord que la démo de FD n'est pas très bien rédigée, il manque un peu de rédaction.

Ce qu'il démontre (ou du moins écris tous les éléments pour), c'est que la longueur de l'arc de cercle MB est égale à la longueur de l'arc de cercle BA. Ainsi, si le cercle vert est dans la position ou B=A, puis roule le long du cercle bleu, alors le point intialement en A est toujours sur le segment AC.

FD applique le théorème de l'angle au centre dans le cercle vert.

Non mais c'est surement moi qui ne comprend rien (je suis pas top en géométrie et archi nul en interprétation type sc-phy)

Je ne me souci pas trop de la qualité de la rédaction, c'est juste qu'écris comme ça, je ne comprends pas du tout et ce n'est pas de la mauvaise volonté, je suis complètement paumé.

Plus précisément, je ne comprend pas pourquoi les arcs MB et AB sont égaux , je ne vois même pas le lien avec le thm de l'angle au centre.

Je ne comprend pas du tout le lien entre l'égalité des deux arcs, (ou même celle des deux angles) et le fait que le point soit sur AC.

Quand je paramétrise pour faire les calculs, je ne trouve pas le même résultat et je ne vois pas mon erreur de calcul.

Je poste parce que le titre me plait et je n'ai rien lu : je trouve très jolie cette idée de points mouvants.


 

Le théorème de l’angle au centre dans le cercle intérieur avec comme arc intercepté MB donne directement BIM = 2 BOM, soit β = 2α. C’est le cas particulier où un des côtés de l’angle inscrit est un diamètre, qui est le premier cas démontré dans la démonstration.

Le cercle roule sans glisser, ce qui est équivalent à : si le cercle vert est au départ tangent au cercle bleu en A puis roule jusqu’à être tangent au cercle bleu en B, et qu’on appelle M le point du cercle vert qui était en A au départ, M est caractérisé par l’égalité des arcs AB et MB (avec des mesures algébriques).

Là je connaissais le résultat donc j’ai défini M comme intersection de [AC] et du cercle vert et montré que c’était le bon point; si on ne veut pas partir de la réponse il faut définir M tel que arc BM = arc BA puis prouver que M est sur [AC].

okay. (de toute façon c'est un raisonnement par équivalence)

Et donc le lien avec l'égalité des arcs viendrait du fait que B et M se déplacent à la même vitesse donc parcourent la même distance, ce qui serait l'hypothèse de départ.

Faudra que je regarde où je me suis planté pour le calcul paramétrique.