Les priorités opératoires, comment les présenter ?

Bonjour,
J'aimerais savoir comment vous enseignez les priorités opératoires (en cinquième à priori, c'est ça ?). je n'ai pas de cinquième, mais je me demande comment l'aborder pour que ça ait du sens.
Et puis j'ai une élève de première (oui, oui vous avez bien lu   ) qui n'y comprend rien. Elle me demande de lui expliquer son cours de première mais elle est capable de m'écrire des énormités en calcul littéral et numérique. C'est comme si elle n'avait pas suivi les cours de 5eme et 4eme....
J'aimerais trouver un manière "naturelle" de lui présenter les priorités opératoires, mais je ne vois pas.

Merci pour votre aide.

Je ne vais pas t'aider! Mais : QUELLE HORREUR!

J'étais en 5ème 1986! Adulte maintenant -et après une Terminale C, à l'époque, j'ai fini pas "intégrer" tout cela; de par moi-même, et non parce que mon ou mes profs. m'avaient aidé. (à l'époque, c'était marche ou crève)

Je suivrais ce fil avec d'autant plus d'intérêt!

-de mémoire, elles commençaient pat des trucs du genre (-3x +4y) et puis ensuite il fallait faire genre soit -3(-3x+4y) et puis ensuite +3(3x + 4y)... Mais ma mémoire défaille... [traumatisme oblige] a posteriori elles ont dû commencer par nous enseigner que - x - = +

Et les concepts de distribution / mise en facteur (que de sueurs froides et de pleurs, à l'époque) avant, j'imagine ...

Désolé si je suis tout à fait à côté de la plaque: c'était juste des souvenirs de la première mouture du "brevet des collèges" à la fin des années 80!

Moi ça fait quelques temps que je n'ai pas eu de 5ème et la dernière fois, je n'avais pas beaucoup d'expérience. Mais ce que je faisais me semble naturel comme tu le demande.
Tu peux lui demander de calculer combien elle paye pour un cahier à 4€ et 3 stylos à 2€ par exemple

mdd a écrit:Bonjour,
J'aimerais savoir comment vous enseignez les priorités opératoires (en cinquième à priori, c'est ça ?). je n'ai pas de cinquième, mais je me demande comment l'aborder pour que ça ait du sens.
Et puis j'ai une élève de première (oui, oui vous avez bien lu   ) qui n'y comprend rien. Elle me demande de lui expliquer son cours de première mais elle est capable de m'écrire des énormités en calcul littéral et numérique. C'est comme si elle n'avait pas suivi les cours de 5eme et 4eme....
J'aimerais trouver un manière "naturelle" de lui présenter les priorités opératoires, mais je ne vois pas.

Merci pour votre aide.

Les priorités opératoires n'ont pas de sens, c'est juste une convention choisie pour des raisons pratiques.
Des conventions différentes seraient plus difficiles à manipuler, je crois. Mais je n'en suis pas certain.

En tous cas les priorités opératoires ne sont pas « naturelles ».
C'est juste une convention d'écriture, qui n'a ni plus ni moins de justification que la grammaire d'une langue.

Au passage, il me semble dangereux de faire croire aux élèves que les conventions sont naturelles.

pour corroborer ce que dit Verdurin, les priorités opératoires ne sont qu'une convention. Une manière assez "classique" d'aborder les priorités est d'utiliser la calculatrice pour conjecturer sur ses priorités "à elle".

Merci pour vos réponses.
Effectivement , en y réfléchissant bien, le terme naturel n'est pas adapté. Mais à nous cela nous semble naturel, non ? (enfin à moi oui). Ce n'est que le résultat d'un bourrage de crane ?

Si oui, comment rendre ce bourrage de crane efficace ?

(j'enseigne en lycée)
Tu peux déjà t'assurer qu'ils ont bien intégré que 2-3 c'était vraiment 2+(-3) (et non un 2 d'un côté, un 3 de l'autre, un - au milieu, et donc une sorte de symétrie...), et aussi que 2/3 c'était 2*(1/3), et c'était aussi 2 divisé par 3.
Si on doit utiliser ces règles de priorité, c'est avant tout parce qu'on fait des raccourcis dans les notations, qu'on enlève des tas de parenthèses etc... Et que les élèves ne sont pas conscients de tout ça, du coup ils appliquent sans vraiment comprendre, d'où les erreurs...
Cette vidéo explique très bien tout ça (en plus c'est en anglais, ça leur fera travailler leur compréhension orale !)
https://www.youtube.com/watch?v=y9h1oqv21Vs

verdurin a écrit:
Les priorités opératoires n'ont pas de sens, c'est juste une convention choisie pour des raisons pratiques.

+1
Je pense qu'essayer d'expliquer ces conventions à ton élève risque plus de l'embrouiller qu'autre chose. Pour ma part, en cinquième, je donne directement les règles : multiplication et division sont prioritaires sur addition et soustraction puis je fais des séries d'exercices avec les élèves.
Généralement, cela passe bien, les élèves retiennent la règle qui est assez simple.
Pour ton élève qui semble complètement perdu en première, si j'étais à ta place, je mettrais de côté le calcul littéral dans un premier temps et je lui ferais calculer plusieurs expressions du style : 2x3+4, 2+3x4 .... pour qu'elle se familiarise avec les règles. Une fois qu'elle aura compris cela, tu pourra passer aux calculs avec lettres qui est une notion plus difficile à comprendre.
Pour une élève en très grande difficulté comme semble l'être ton élève, je pense qu'il ne faut pas à tout prix essayer d'expliquer les règles mais plutôt essayer de les faire appliquer correctement dans un premier temps.

Merci Madametruc et Juliette. J'ai bien aimé le petit film !
Je lui ai donné une bonne série de calculs à faire pour cette semaine, on verra ce que ça a donné. Ne sachant pas quoi faire d'autre à part lui redonner les règles, je passe à la mise en application...

Et comment fait-on avec des TS qui ne savent toujours pas calculer une somme de deux fractions simples sans recourir à la calculatrice ou qui ne comprennent pas qu'un signe - qui flotte devant et au dessus d'une barre de fraction dont le dénominateur contient une somme (typiquement la racine d'une équation du second degré) est ambiguë ?
J'ai tendance à craquer après des mois d'efforts devant une telle absence de connaissance sur les opérations dans une classe prétendue scientifique....

 si vous trouvez une réponse n'hésitez pas à nous en faire part...

J'arrive après la bataille mais, en effet, pour mes 5ème lorsque j'aborde les priorités opératoires je vois cela sous la forme : comment faire en sorte que toutes les personnes qui auront à effectuer cette suite de calculs obtiennent le même résultat. En général ils proposent de nombreuses réponses différentes que je note au tableau et on essaye de dégager les règles qui feraient que tout le monde soit d'accord sur le résultat... on écrit ça dans le cours et quand 2 mois plus tard en contrôle ça revient sur le tapis, un bon nombre qui trouvait cela évident quand on était en plein dans le chapitre se plante lamentablement donc ça fait piqure de rappel et cela revient périodiquement.

Pour la somme de deux fractions simples, c'est pourtant facile on additionne les deux dénominateurs et les deux numérateurs, non ?   (pourquoi semblent-ils avoir compris comment faire AVANT que l'on explique le produit de fractions et, après .... ). D'un autre coté quand je vois des 3ème se jeter sur la calculatrice pour faire 15/15 (quoi ? ça ne fait pas 0 ? ohhhh   ) ou 6 - 9 je me dis qu'on a du raté quelque chose lors des années précédentes

RequiemForADream a écrit:J'arrive après la bataille mais, en effet, pour mes 5ème lorsque j'aborde les priorités opératoires je vois cela sous la forme : comment faire en sorte que toutes les personnes qui auront à effectuer cette suite de calculs obtiennent le même résultat. En général ils proposent de nombreuses réponses différentes que je note au tableau et on essaye de dégager les règles qui feraient que tout le monde soit d'accord sur le résultat... on écrit ça dans le cours et quand 2 mois plus tard en contrôle ça revient sur le tapis, un bon nombre qui trouvait cela évident quand on était en plein dans le chapitre se plante lamentablement donc ça fait piqure de rappel et cela revient périodiquement.

Pour la somme de deux fractions simples, c'est pourtant facile on additionne les deux dénominateurs et les deux numérateurs, non ?   (pourquoi semblent-ils avoir compris comment faire AVANT que l'on explique le produit de fractions et, après .... ). D'un autre coté quand je vois des 3ème se jeter sur la calculatrice pour faire 15/15 (quoi ? ça ne fait pas 0 ? ohhhh   ) ou 6 - 9 je me dis qu'on a du raté quelque chose lors des années précédentes

Je suis bien d'accord, et je ne voudrais pas contribuer à ça.... D'où mes questions....
Je commence bientôt les fractions avec mes sixièmes, je vais tenter un bon départ pour ne pas que les profs de lycée se désolent dans quelques années....

Ce sont des règles "bêtes et méchantes" qu'il faut apprendre : on ne peut pas transiger alors qu'ils ont toujours l'impression qu'en étant dans l'a peu près ils s'en sortiront (et on les encourage en notant large car sinon les choupinoux auraient des notes qui les démotiveraient et risqueraient d'être en opposition avec la matière.... hum       ). Enfin...

Les fractions ? je suis en plein dedans et... ils arrivent déjà avec un a priori négatif quand on évoque ce chapitre... tiens, faudrait peut-être voir ce qu'en pensent les collègues PE et comment ils en parlent

Pas trop d'accord avec ce qui a été dit, chacun trouvera midi à sa porte.

Pour moi il y a une logique qui me semble très naturelle (et qui vient de la nature même des opérations). Ce qui n'empêche pas d'avoir quelques conventions en effet.

J'aborde cela avec des petits problèmes.

Le premier :
"J'ai une pièce de deux euros et trois billets de 5€"
on écrit le calcul en une seule ligne : 2 + 3*5

Ensuite :
"J'ai deux billets de 5 et 3 billets de 10"
2*5+3*10

Ensuite :
"Je vends 3 pizzas à 8€, j'achète 5kg de farine à 1,5€ et je vends une bouteille à 3€"
3*8-5*1,5+3

Enfin :
"J'ai trois enveloppes identiques contenant chacune 4€ en monnaie et 2 billets de 20€"
3*(4+2*20)

On peut continuer ainsi et bien mettre en place la logique.

Ensuite pour terminer il faut imposer une règle claire qui s'impose à tous, et surtout pas de calculatrice en classe en 5ième (sauf très rares exceptions).

En postbac ils confondent toujours des choses comme 2/(3/4) = (2x4)/3=8/3 et 2/3/4 = 2/12=1/6, la priorité dans le calcul étant, lorsque l'on peut l'écrire correctement, liée à la taille du trait de fraction.

Le problème des ts faibles, c'est qu'ils ont complètement perdu (si toutefois ils l'ont un jour eue) la notion de maîtrise d'un calcul : les années passant, les difficultés se sont accumulées et arrivés en terminale, ils ne font plus vraiment des maths, ils font semblant de faire des maths (du air maths, quoi, comme du air guitar). Donc parfois c'est juste, parfois c'est faux, ils tentent le coup, un peu assommés par la somme de travail qu'il faudrait engager s'ils envisageaient la possibilité de s'y mettre.
Y remédier ? Je veux bien des idées !
Mais je crois qu'en fait, ils auront leur bac quand même !

On peut disserter à l'infini.
D'où nous venons :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/ParisCseptembre1985.pdf

Où nous sommes :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Metropole_S_20_juin_2013.pdf


J'espère que les horticulteurs sont contents.

On est bien d'accord.

Ce qui n'empêche pas de donner un peu de sens aux priorités, plutôt que de dire que c'est juste une convention.

Quand je peux appuyer les savoirs sur du gros bon sens, en général je ne m'en prive pas, c'est quand même plus simple pour les élèves.

Après il faut pratiquer, pratiquer et pratiquer.

C'est d'ailleurs un problème car il n'y a pas assez d'exercices de bon niveau dans les manuels de 5ième (trop d'exercices trop faciles et vite terminés, presque rien de difficile, beaucoup d'exercices prenant les élèves pour des débiles légers).

J'en suis à donner des séries de 10 exercices, que les bons terminent en 20 minutes (sans forcer), et il ne reste plus rien à faire à la maison.

Je suis contraint d'aller pêcher des exercices dans les Lebossé Hemery et les manuels de Singapour, qui sont plus ambitieux.

pailleauquebec a écrit: Ce qui n'empêche pas de donner un peu de sens aux priorités, plutôt que de dire que c'est juste une convention.

Pardon, mais: on parle bien du fait que 5+2×3 est une écriture abrégée de 5+(2×3) et non de (5+2)×3 ?

Parce que si c'est ça, c'est purement conventionnel, et c'est leur mentir que de leur faire croire le contraire, non?

PauvreYorick a écrit:

pailleauquebec a écrit: Ce qui n'empêche pas de donner un peu de sens aux priorités, plutôt que de dire que c'est juste une convention.

Pardon, mais: on parle bien du fait que 5+2×3 est une écriture abrégée de 5+(2×3) et non de (5+2)×3 ?

Parce que si c'est ça, c'est purement conventionnel, et c'est leur mentir que de leur faire croire le contraire, non?

5+2x3 est l'écriture de la situation concrète "j'ai un billet de 5€ et trois pièces de deux euros" et cela fait 11€ en poche. La parenthèse est inutile sur le 2x3 car tout les monde te dira que ça fait 11€ sans.

(5+2)×3 est l'écriture de la situation concrète "j'ai 3 porte monnaies identiques contenant chacun un billet de 5€ et une pièce de 2€. La parenthèse symbolisant le regroupement de plusieurs objets (ici dans le porte monnaie) est très utile ici. Et cela fait 21€.

Une fois qu'on a mis en place la signification des priorités en utilisant le "bon sens commun", imposer une règle ne présente aucune difficulté.

Pour moi il y a d'abord une logique historique (lever les ambiguïtés) et concrète sur la priorité de la multiplication sur l'addition, ensuite c'est une convention, mais ce n'est pas leur mentir que de montrer la logique du système. Ils verront plus tard que c'est une convention en étudiant les anneaux commutatifs.

Et si l'on avait choisi l'autre convention, on pourrait dire:

5+2×3 est l'écriture de la situation concrète "j'ai 3 porte monnaies identiques contenant chacun un billet de 5€ et une pièce de 2€.

5+(2×3) est l'écriture de la situation concrète "j'ai un billet de 5€ et trois pièces de deux euros".

On pourrait aussi décider de donner la priorité à l'opération de gauche sur celle de droite, ou l'inverse; on pourrait utiliser des couleurs...

Mais bon, je laisse de plus compétents que moi se prononcer.

Oui, oui, je suis de l'avis de PauvreYorick. Nous avons tellement l'habitude de pratiquer ces priorités là qu'elles nous paraissent naturelles et inenvisageables en sens inverse.

Mais si on y réfléchit calmement, c'est effectivement purement une convention et rien d'autre.

Les conventions avant d'être des conventions ont d'abord un sens historique. Il n'y a pas de hasard là dedans, mais une convergence vers ce qui était le plus logique, le plus simple, le plus pratique, avec des détours divers et variés selon les époques, qui aboutissent à ce que nous avons maintenant (voir l'histoire universelle des chiffres de Georges Ifrah http://www.amazon.fr/Histoire-universelle-chiffres-Georges-Ifrah/dp/2221057791).

Le + par exemple vient du "et" latin qui s'est transformé en croix puis en symbole +
le - vient de "minor" qui devient un trait puis un moins.
La parenthèse symbolise un regroupement. Il y a eu plusieurs autres notations avant d'en arriver à la notation parenthèse.

Tout cela vient des manuscrits qui étaient des maths "parlés" avec des phrases écrites, avant d'être des maths symboliques.

Le sens historique est très lié au bon sens commun et au langage parlé.

Après qu'on puisse changer complètement, par convention, le sens des symboles et que finalement la priorité soit devenue une convention en théorie des ensembles, je suis d'accord. Mais elle est porteuse de sens.

Je pense que c'est juste le fait que l'on dise qu'il n'y ait pas besoin de parenthèses autour d'un produit qui est une convention.

Je viens de regarder rapidement, je ne trouve pas justement dans le livre de Georges Ifrah. Tu peux me dire dans quel chapitre cela apparaît ?