Les priorités opératoires, comment les présenter ?

Je pense que c'est juste le fait que l'on dise qu'il n'y ait pas besoin de parenthèses autour d'un produit qui est une convention.

Je viens de regarder rapidement, je ne trouve pas justement dans le livre de Georges Ifrah. Tu peux me dire dans quel chapitre cela apparaît ?

a(b+c) = ab + ac
a+(bc) = a + bc

Il n'y a pas symétrie vis à vis du placement des parenthèses selon qu'elles, soient placées autour d'un "+" ou d'un "x".

Donc si on choisit la "convention" avec le "+" prioritaire on se retrouve avec des expressions du type :

ab+c que l'on ne peut écrire sous une forme distribuée ab + ac = a(b+a)c qui est bien sûr différent de a(b+c)= ab+c et que l'on devrait donc écrire (ab) + (bc) ce qui occasionne un nombre supplémentaire de parenthèses !

Si maintenant au lieu de distribuer on cherche à factoriser :

dans la convention actuelle on obtient ab + ac = a (b+c)

dans l'autre convention on obtiendrait (ab) + (ac) = ab+c

L'expression factorisée est plus simple en terme de parenthèses avec la deuxième convention.

Mais si on fait un bilan global :

- la distribution crée 0 parenthèse pour la convention actuelle et 4 avec l'autre

- la factorisation crée 2 parenthèses pour l'actuelle et 0 avec l'autre

Au final la convention actuelle économise les parenthèses.

mdd a écrit:Je pense que c'est juste le fait que l'on dise qu'il n'y ait pas besoin de parenthèses autour d'un produit qui est une convention.

Je viens de regarder rapidement, je ne trouve pas justement dans le livre de Georges Ifrah. Tu peux me dire dans quel chapitre cela apparaît ?

Je vais ressortir ça, je l'ai prêté, il faut que je remette la main dessus.
Je disais ça de mémoire, je n'ai pas vérifié ce qu'il est dit sur les parenthèses  

Il doit y avoir un chapitre sur Bombelli en 1550, donc j'imagine dans le deuxième tome.

Oui, j'ai cherché dans le deuxième tome, mais pas trouvé.
Mais bon : écrits 2014 demain et oraux 2014 exceptionnel dimanche et cours au milieu, alors je regarderai la semaine prochaine.

PauvreYorick a écrit:

pailleauquebec a écrit: Ce qui n'empêche pas de donner un peu de sens aux priorités, plutôt que de dire que c'est juste une convention.

Pardon, mais: on parle bien du fait que 5+2×3 est une écriture abrégée de 5+(2×3) et non de (5+2)×3 ?

Parce que si c'est ça, c'est purement conventionnel, et c'est leur mentir que de leur faire croire le contraire, non?

Cinq plus le double de trois ?
La position du génitif en français, le fait que l'on écrive de gauche à droite sont peut-être des arguments à l'appui de la vision 'naturelle' des priorités ?
( C'est-à-dire que vis-à-vis des conventions de la grammaire française, l'ordre des priorités a une certaine évidence, l'arbitraire se situant au niveau de la langue ? )
J'ai lu que la façon de compter des Chinois leur facilite l'acquisition des nombres et je peux constater que deux tiers plus un tiers font toujours trois tiers,
quand 2/3+1/3 fait parfois 3/6, ein Zehntel + zwei Zehntel, etc...
De même, il est plus efficace, àmha, de dire le carré de moins trois plutôt que de dire moins trois, pause, au carré. )

Si on connaît la généalogie de ces conventions, peut-être la réponse s'y trouve-telle ? Les Français ont-ils imposé leurs notations aux Anglo-saxons, etc.. )

( De mémoire, c'est François Viète qui fixe le système en Occident, mais en lisant en parallèle les pages Wikipedia, je dois avouer que c'est ... touffu. )

Autre intuition : on ne "voit" pas ces calculs de la même façon suivant que l'on ait appris à lire par la méthode syllabique ou par une méthode globale/semi-globale.

Oui, le fait de s'appuyer sur d'autres conventions rend sûrement plus commodes certaines conventions. Ou le fait d'être «économiques». Nul doute

(Par ailleurs, ce n'est pas non plus forcément un mal de ne pas être totalement exact dès le début; mais ça, je suis incapable d'en juger pour ce cas-là.)

Cela pose une question de fond : faut-il construire les mathématiques en dehors du monde concret ou devons nous nous appuyer sur le réel pour les explications.

En mathématiques tout pourrait n'être que convention et logique construite ensuite sur ces conventions.

En 5ième c'est justement le grand virage (où l'on perd pas mal d'élèves) : on sort des mathématiques de l'épicier, faites jusqu'en 6ième pour entrer dans plus d'abstraction, la démonstration, le calcul littéral, les priorités,...

Je vois pas mal de collègues qui ont choisi de se couper assez nettement du réel dès la 5ième. Pour travailler la logique et l'abstrait avec les élèves.

Pour ma part je suis de l'école concret-imagé-symbolique. Et je travaille beaucoup avec mes élèves sur l'articulation entre ces trois niveaux d'abstraction.

Par exemple 6(3d + 2e + 5r) ce sont 6 colliers de trois diamants, 2 émeraudes et 5 rubis.

Cela a comme défaut de faire croire que certaines choses sont "naturelles" alors qu'on pourrait tout à fait par convention décréter l'inverse. ça a comme avantage pour les élèves de pouvoir se raccrocher à leur "bon sens".

pailleauquebec a écrit:Par exemple 6(3d + 2e + 5r) ce sont 6 colliers de trois diamants, 2 émeraudes et 5 rubis.

Alors que 6(3a + 2b + 5c) ce sont 6 équipes de trois andouilles, 2 buses et 5 crétins.

S'appuyer sur le monde concret pourquoi pas, mais à un moment les conventions doivent être acceptées pour ce qu'elles sont et puis les gamins ont déjà rencontré au primaire des conventions qui n'ont rien de naturel, ne serait-ce que l'écriture alphabétique : tel son s'écrit "a" (et pourquoi pas "#" ou "§" ?), tel autre s'écrit "u" mais la plupart du temps "au" ne correspond pas à la succession des deux...).

Finalement je trouve la notation polonaise inverse plus naturelle, en prime il n'y a pas besoin de parenthèses.
Pourquoi écrire 1+2x3 quand on peut écrire 1,2,3,x,+ et 1,2,+,3, x pour (1+2)x3.

oui, j'ai aussi eu une hp, c'était rigolo et ça faisait pro, mais c'était quand même bien pénible à l'utilisation pour des calculs complexes de physique (il fallait réfléchir comment s'y prendre et savoir swapper dans la pile).

Moonchild a écrit:

pailleauquebec a écrit:Par exemple 6(3d + 2e + 5r) ce sont 6 colliers de trois diamants, 2 émeraudes et 5 rubis.

Alors que 6(3a + 2b + 5c) ce sont 6 équipes de trois andouilles, 2 buses et 5 crétins.

S'appuyer sur le monde concret pourquoi pas, mais à un moment les conventions doivent être acceptées pour ce qu'elles sont et puis les gamins ont déjà rencontré au primaire des conventions qui n'ont rien de naturel, ne serait-ce que l'écriture alphabétique : tel son s'écrit "a" (et pourquoi pas "#" ou "§" ?), tel autre s'écrit "u" mais la plupart du temps "au" ne correspond pas à la succession des deux...).

je dirais plutôt 6 cartons de 3 abricots, 2 bananes et 5 clémentines !

J'ai vérifié dans l'histoire des chiffres et en effet même si il y a une petite explication intéressante chapitre 28, mais rien de bien concluant. En gros il explique comment petit à petit le calcul symbolique s'est détaché du langage.

Il passe trop rapidement sur les avancées du calcul symbolique, il ne détaille véritablement que jusqu'à la numération de position en base 10.

D'un autre côté je me demande si la numération de position ne nécessite pas la priorité de la multiplication sur l'addition pour fonctionner.
3456 = 3*1000 + 4*100 + 5*10 + 6

Merci d'avoir cherché. (Je comptais regarder ce soir !)
Oui, la numération de position nécessite de faire les multiplications avant les additions, mais on pourrait l'indiquer avec des parenthèses...(on a juste décidé de les enlever).

J'ai enfin trouvé un bouquin complet sur l'histoire des notations :

L'auteur : Cajoli
le titre : "History of mathematical notations" en deux volumes.

le volume I est disponible là (publié en 1930) :
https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp

Ce livre donne la suite de l'histoire et détaille bien la période qui nous intéresse de la renaissance.

J'ai commencé à le lire, une vraie mine d'or sur les débuts de l'algèbre dans la renaissance Italienne, mais en anglais.

On y voit très bien comment le passage du langage parlé au calcul symbolique s'est fait, avec au départ un mélange des deux à base d'abréviations. La logique respecte la logique de la phrase et le bon sens commun, chaque auteur a ses petites notations originales et créatives à une époque où rien n'est standardisé.

pailleauquebec a écrit:oui, j'ai aussi eu une hp, c'était rigolo et ça faisait pro, mais c'était quand même bien pénible à l'utilisation pour des calculs complexes de physique (il fallait réfléchir comment s'y prendre et savoir swapper dans la pile).

Je n'ai jamais eu de HP. Mais réfléchir à comment s'y prendre pour faire un calcul me semble indispensable.

Oui c'est probablement une bonne formation, c'est vrai. Le jour du concours/examen c'est un peu moins vrai.

pailleauquebec a écrit:Oui c'est probablement une bonne formation, c'est vrai. Le jour du concours/examen c'est un peu moins vrai.

 

doublon

Quand tu as la pression pour finir le sujet de physique (ou de techno) d'un concours de classe prépa je t'assure que tu préfères avoir une TI qui fait le calcul sans avoir à te poser de questions.

C'est pourquoi les HP avec la notation polonaise inversée, très à la mode dans les années 80 et 90, ont presque disparu du marché aujourd'hui.

J'ai des souvenirs des années 80, les HP étaient faites pour les ingénieurs et les techniciens, précisément parce que la notation polonaise inversé est simple d'emploi et ne nécessite pas de parenthèses. Les calculettes HP ont disparues, je crois, car ces gens sont passés a l'ordinateur. Les calculettes scientifiques ne servent plus guère que dans l'enseignement.

Il y a certes longtemps que je n'ai plus passé d'examen en physique ou en techno.

Mais j'ai pu voir quelques sujets. Les expressions à calculer m'ont toujours paru simples.
En d'autres termes, il peut y avoir un raisonnement difficile, mais, à la fin (application numérique) on a rarement à faire plus de 3 ou 4 opérations enchaînées.
Et je persiste à croire qu'il est plus simple et qu'on fait moins d'erreur en tapant 12,3;4,5;+3,7;x qu'en tapant (12,3+4,5)x3,7.
C'est encore plus net quand il y a des fonctions genre trigonométriques, exponentielles ou logarithmes. Ou pire des puissances de nombres négatifs.

J'ai corrigé suffisamment de copies comportant des calculs numériques pour savoir que la notation infixé des calculettes actuelles est une cause d'erreur importante.

Malgré d'assez nombreuses heures de cours, la plus part des élèves ont du mal à la maîtriser.
Je ne dis pas qu'il faut l'abandonner : l'histoire fait qu'on l'utilise et c'est comme ça.
Mais de là a prétendre qu'il s'agit d'une notation simple et naturelle, il y a une marge.

C'est un peu comme les claviers, l'ordre azerty est certainement mauvais, mais il s'est imposé et c'est celui qu'on utilise. Changer les habitudes coûte trop cher.