Egalité et identité en mathématiques

Est-ce que, en mathématiques, les termes d'égalité et d'identité désignent la même relation ou s'agit-il de relations différentes ?

Lorsque je lis cette formulation de l'axiome d'extensionnalité, "deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux", intuitivement il y a quelque chose qui m'accroche (ces deux ensembles ne sont-ils pas finalement le même et n'ont qu'un nom différent ?).

Et pour compliquer, quelle différence encore entre les deux notions ci-dessus et celle d'équivalence ?

Ce n'est pas la même chose. L'identité est un genre d'égalité particulier.

Une égalité est une proposition (elle peut donc être vraie ou fausse) où le signe "égal" sépare deux expressions. Par exemple je peux écrire 5 + 2 = 8 + 3. C'est une égalité, et elle est fausse.

Une identité est une égalité entre deux expressions munies de variables définies, qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs des variables. On a l'exemple de l'identité remarquable: pour tout a et b réels, (a-2) ² = (a-b) (a+b)

Un autre point de vue.

Une égalité est une identité : ce qui est écrit à gauche de = et ce qui est écrit à droite désignent le même objet.

Une équation est une question.
Par exemple : existe-t-il un réel x tel que 3x=7 ?
Il fut un temps où on n'oubliait pas l'ensemble dans lequel une solution était recherchée ni le point d'interrogation.

Une équivalence porte sur des propositions (ou assertions).
Par exemple : "les ensembles A et B sont égaux" est une proposition équivalente à ""x appartient à A" est équivalent à "x appartient à B"".

Je dirai que l'égalité est une relation d'équivalence particulièrement pour laquelle les classes d'équivalences sont réduites à des singletons. Je ne distinguerai alors pas l'égalité de l'identité.

Pour Patissot.
Je donne aussi ma langue aux chats ici :
https://www.youtube.com/watch?v=5JVqLzw2my0&feature=plcp

La question est difficile.

Je songe qu'une identité entre deux représentants désigne le fait que ces deux représentants sont représentants d'un même représenté. L'identité serait alors un constat métamathématique, issu de la théorie de la représentation.

Par contre, comme il fut dit, l'égalité est relation d'équivalence.

Ainsi donc, une identité entre A et B serait une proposition tautologiquement vraie d'égalité entre A et B.

Du moins, c'est ce que je me représente.

Distinguer "équivalence logique" et "relation d'équivalence".
On peut affirmer que la relation d'égalité est une relation d'équivalence (Réflexive, Symétrique,Transitive) mais cette affirmation donne des propriétés de cette relation, pas sa définition.

C'est vrai.

L'ancienne définition de Leibniz est intéressante. En substance :

(a=b)

est équivalent à

(pour toute propriété P, P(a) et P(b) sont équivalentes).

Ainsi donc, dès lors qu'on accepte d'utiliser le quantificateur universel ∀:
Par définition, pour tous a et b : (a=b) <=> ((∀P)(P(a))<=>(P(b)))