ln(a+b)

Une formule trouvée sur les mathématiques.net


Je n'ai pas vérifié, mais je crois qu'on peut faire confiance.

À faire copier cent fois par ceux qui écrivent ln3+ln7=ln10

Moi qui suis une littéraire pur jus, j'hésite entre :lol!: et !
C'est bon, je sors !

Ca marche effectivement.
Mais, plutôt que de faire copier cette formule, autant la faire prouver !

C'est avec ce genre de formule que je me dis que j'ai bien fait de faire mes études en algèbre/géométrie plutôt qu'en analyse ^^

Excellent. Je note.

Filnydar a écrit: Ca marche effectivement.
Mais, plutôt que de faire copier cette formule, autant la faire prouver !

Je confirme, mais est-il possible de la montrer avec des outils de terminale?

Oui
mais c'est délicat.

[edit] c'est trival, mais il y a quelques calculs à faire : dériver etc...

Pffff!!!! Comment sortir des trucs barbares dès le matin!!! Bon, je savais que ln3+ln7 nétait pas égal à ln10 mais là, j'abandonne. Heureusement que j'ai fait de la bio et pas des maths! :lol!:

Moi je dis qu'elle est nulle cette formule avec b=1 ou b=0, ça ne marche pas

Si tu le dis Olivier. Je veux bien te croire.

Dedale a écrit:
Je confirme, mais est-il possible de la montrer avec des outils de terminale?

Avec uniquement des outils de terminale, on doit regarder le signe de la dérivée.

Avec des outils Bac+1, on gagne un peu de temps : la fonction de alpha qui apparaît dans la formule se prolongeant en une fonction continue sur le segment [0,1], elle atteint un minimum global et un maximum global, et ce en 0, 1 ou en l'élément de ]0,1[ en lequel sa dérivée s'annule.

olivier-np30 a écrit:Moi je dis qu'elle est nulle cette formule avec b=1 ou b=0, ça ne marche pas

Avec b=1 ça marche très bien.
Si tu envisage le cas b=0 je ne peut que te suggérer de revoir tes cours de maths.
Ps : je viens de le faire avec des terminales, même pas S.

[édition] @ olivier-np30 je crois voir ce que tu veux dire avec le cas b=0.
Si j'étais un disciple de Lakatos, je prendrais ton objection en considération.
Ce n'est pas le cas. Et ce n'est manifestement pas ton cas non plus : le cas a=0 pose le même problème.
:lol!:

verdurin a écrit:
Si j'étais un disciple de Lakatos, je prendrais ton objection en considération.
Ce n'est pas le cas. Et ce n'est manifestement pas ton cas non plus : le cas a=0 pose le même problème*.
:lol!:

Mince je suis dépisté :lol:

*Comme je suis de mauvaise foi, pour le cas b=1, je prends a=0 aussi

Mais je ne voudrais pas que ce post se prolonge par continuité.

Le domaine de définition de a et b n'est effectivement pas très clair.
a et b sont il dans C ( ou un autre corps commutatif ), prend t'on par convention ln(0)=-l'infini...

C'est quand même une belle formule (même si l'esthétisme est plus grand que son utilité) : elle a un petit nom ?

C’est forcément pour a et b réels strictement positifs puisque de toute façon il n’y a pas d’ordre donc pas de sup sur C.

Oui je pense aussi même si on peut tolérer 0 en prolongeant la fonction mais de toute façon a et b nuls ont un intérêt limité.

Je trouve que la formule peut donner à matière :

par exemple:

-la vérifier pour a = b (avant de chercher à la démontrer).

Tiens je vais d'ailleurs regarder si sur les TI actuelles ont peut programmer x ln(x) avec x=0 sans aménagement :lol:

Filnydar a écrit:

Dedale a écrit:
Je confirme, mais est-il possible de la montrer avec des outils de terminale?

Avec uniquement des outils de terminale, on doit regarder le signe de la dérivée.

Avec des outils Bac+1, on gagne un peu de temps : la fonction de alpha qui apparaît dans la formule se prolongeant en une fonction continue sur le segment [0,1], elle atteint un minimum global et un maximum global, et ce en 0, 1 ou en l'élément de ]0,1[ en lequel sa dérivée s'annule.

La fonction doit-être convexe ou concave pour pouvoir utiliser l'annulation de la dérivée en un point. Pense à la fonction cube.
Il est vrai que la formule est fausse lorsque a ou b est nul.

linkus a écrit:La fonction doit-être convexe ou concave pour pouvoir utiliser l'annulation de la dérivée en un point. Pense à la fonction cube.

A aucun moment, on n'a besoin de passer de "f' s'annule en c" à "f atteint un extremum en c", ce qui serait effectivement une grosse bêtise.

Le raisonnement est :
1) f est continue sur le segment (donc compact) [0,1], à valeurs réelles, donc elle atteint un maximum global et un minimum global.
2) ces deux extrema globaux peuvent être atteints aux bornes de l'intervalle, ou à l'intérieur. Mais, quand une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I et atteint un extremum global en un élément c de I, forcément f'(c)=0.

Les extrema globaux de f sont donc forcément atteints en 0 ou 1 ou un élément de ]0,1[ en lequel f' s'annule.

Je reprends la fonction x->2x^3. Je note f sa restriction à [-1,1]. De la même façon, [-1,1] est compact et f y est continue, donc elle atteint un minimum et un maximum global. Ceux-ci peuvent être atteints en -1, ou 1, ou le point d'annulation de f' : 0. Mais f(-1)=-2, f(0)=0, f(1)=2, donc le minimum global de f est -2, son maximum est 2. (J'ai multiplié par 2 pour qu'extrema et points où ils sont atteints soient différents)

Pour une démonstration de la formule niveau STI :
a et b étant des réels strictement positifs

• on pose f(x)=x lna + (1-x) lnb - x lnx - (1-x)ln(1-x) pour x dans ]0;1[
  
• on calcule la dérivée : f'(x)=...
  
• on étudie le signe de la dérivée et on donne le tableau de variation de f ( on peut faire l'étude des limites, mais ce n'est pas indispensable).
  
• Et on conclu sur le maximum.

C'est faisable avec une bonne classe : je l'ai fait faire à mes élèves.

Filnydar a écrit:

linkus a écrit:La fonction doit-être convexe ou concave pour pouvoir utiliser l'annulation de la dérivée en un point. Pense à la fonction cube.

A aucun moment, on n'a besoin de passer de "f' s'annule en c" à "f atteint un extremum en c", ce qui serait effectivement une grosse bêtise.

Le raisonnement est :
1) f est continue sur le segment (donc compact) [0,1], à valeurs réelles, donc elle atteint un maximum global et un minimum global.
2) ces deux extrema globaux peuvent être atteints aux bornes de l'intervalle, ou à l'intérieur. Mais, quand une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I et atteint un extremum global en un élément c de I, forcément f'(c)=0.

Les extrema globaux de f sont donc forcément atteints en 0 ou 1 ou un élément de ]0,1[ en lequel f' s'annule.

Je reprends la fonction x->2x^3. Je note f sa restriction à [-1,1]. De la même façon, [-1,1] est compact et f y est continue, donc elle atteint un minimum et un maximum global. Ceux-ci peuvent être atteints en -1, ou 1, ou le point d'annulation de f' : 0. Mais f(-1)=-2, f(0)=0, f(1)=2, donc le minimum global de f est -2, son maximum est 2. (J'ai multiplié par 2 pour qu'extrema et points où ils sont atteints soient différents)

Au temps pour moi. J'ai du lire trop vite. Effectivement, tu as raison. Je ne sais pas pourquoi j'avais compris l'autre sens.