Les valeurs approchées au collège

Bonjour à tous,

Par habitude en 6eme, je fais les troncatures et les arrondis en même temps que les valeurs approchées par défaut et par excès.
Cette année, j'ai les 5emes et je me retrouve avec mes anciens élèves de 6eme qui ont donc vu tout cela et d'autres qui n'ont fait que les valeurs approchées (et quelques arrondis à l'unité).

Du coup, il y pas mal d'erreurs pour certains et surtout des disparités dans la classe lorsque je pose des questions sur ce chapitre. Je ne veux pas refaire un chapitre dessus, mais je pensais à une fiche de rappel, sachant que nous avons déjà fait une heure de travail dessus + 1 heure d'exercices. (et que certains s'obstinent à ne faire des arrondis qu'à l'unité ).

J'ai préparé une fiche de rappel méthodique et répétitive, qu'en pensez-vous ?

Merci par avance de vos réponses

Bon, téléchargé 16 fois : alors c'est tout pourri ou pas ???

Eileen a écrit:Bon, téléchargé 16 fois : alors c'est tout pourri ou pas ???

Pas pourri du tout : clair et net.
Pour les exemples, on peut légitimement supposer que si c'est compris pour les dixièmes, ça l'est également pour les centièmes et les millèmes.

Merci Dhaiphi

Comme mes phrases explicatives sont assez longues, je ne savais pas si j'allais embrouiller plus les élèves ou pas.

C'est vrai que lorsque je fais ce chapitre en 6eme, je ne fais qu'un exemple à chaque partie (et je le présente autrement). C'est ce que j'ai fait à l'oral avec les 5emes et ensuite, nous avons fait plein d'exemples de plus en plus en autonomie.

Juste avant les vacances, j'ai fait un exercice surprise sur feuille, pour voir ce qu'ils avaient compris et certains sont encore très peu au point. D'où cette fiche de rappel très répétitive (vive les copier-coller à l'ordinateur !).

J'ai poussé jusqu'au millième, car je les fais travailler jusqu'au millième, mais peut-être que je pourrais arrêter au centième pour que la fiche soit moins longue à lire

Et pourquoi pas refaire un exercice sur feuille, que les élèves devront remplir avec la fiche de rappel sous les yeux ?

Il faudrait peut-être un exemple du type 87,96 où l'arrondi au dixième n'a plus chiffre après la virgule. Je sais, dans un premier temps ça peut les embrouiller, mais au bout d'un moment ils doivent savoir le traiter.

Effectivement, on a travaillé en exercice les exemples du type 9.999 etc.
Du coup, me vient une question bête : est ce qu'on force l'écriture de l'arrondi au dixième de 87.96 à 88.0 ???

Les élèves sont tellement perdus dans les rangs que je ne sais pas si cela les aiderait ou pas.

il faut pousser un peu sur des arrondi du même type mais du style
87,9500001 arrondi au 10ème et aussi
87,95 au 10ème pour savoir si ils connaissent toutes les conventions utilisées.

Je m'étais posé la question de savoir si je poussais ou pas justement sur les arrondis, sachant que c'est de la 4ème.

Dans ce cas je dirais que c'est au feeling si la classe a bien compris oui sinon non ^^.

C'est presque tout vu, certains ne savent toujours pas réciter le tableau des rangs

Je fonctionnerai avec une base commune et des exemples supplémentaires facultatifs

"Couper un nombre" : avec quoi et comment ? Ça tache ?

http://surlezinc.blogs.com/.a/6a00d8341d6e4453ef0147e3635a3f970b-800wi

"La valeur approchée par défaut d'un nombre est le nombre immédiatement inférieur" : là, j'arrête.

"alors c'est tout pourri ou pas ???" Allons, allons, pas d'auto-flagellation. Juste "en voie de décomposition".

Et donc ?

Je vais essayer d'apporter mon avis en étant un peu moins sarcastique que seawet et plus productif! Mon avis est personnel et je ne suis pas plus légitime que toi mais comme tu le demande, je le donne.

La difficulté avec ces notions, c'est qu'il est très difficile de les enseigner en étant à la fois rigoureux, clair et concis.

1) La troncature
Définition : Tronquer un nombre décimal, c'est le couper.

La définition est un peu vaseuse. En tout cas elle ne dit pas comment on trouve la troncature d'un nombre. On le coupe c'est-à-dire ?

Je pourrais proposer :

Définition : Faire la troncature à l’unité, au dixième, au centième… d’un nombre décimal, c’est le couper au rang indiqué et supprimer les chiffres à droite de la coupure.

Et quelques exemples seraient bienvenus !

Ensuite :

2) Les valeurs approchées
Définition : La valeur approchée d'un nombre
● par défaut est le nombre immédiatement inférieur.
● par excès est le nombre immédiatement supérieur.

Là c'est un non-sens mathématique! Si je lis ça dans une copie d'élève je m'arrache les cheveux, entoure en rouge ce qui est écrit avec un gros "Oh!".

C'est quoi le nombre immédiatement inférieur à 12,3 ? C'est 12,2 ? 12,29 ? 12,299 ? etc

Tu as bien dû voir pendant tes études la notion de densité! Ou la notion d'ordre!

Savoir-faire : Obtenir une valeur approchée à un rang donné.
Je m'aide d'un encadrement à l'unité près : 342 < 342,7652 < 343

Remarque : Les deux valeurs approchées du nombre doivent avoir obligatoirement 1 d'écart entre les deux derniers chiffres : Ici, nous avons les chiffres 2 et 3, il y a bien l'écart de 1.

Autre détail : Tu dit bien "Je m'aide d'un encadrement à l'unité près". C'est donc que des encadrements à l'unité près il y a en plusieurs. Donc des valeurs approchées aussi.

Par exemple on a 342,1 < 342,7652 < 343,1 est un encadrement à l'unité près donc 324,1 est une valeur approchée par défaut de 342,7652 à l'unité près!

C'est compliqué! En fait ma tutrice m'a dit que pour ne pas se poser la question il suffit d'enlever le "près". Elle m'a proposé :

On encadre 342,7652 à l'unité près : 342 < 342,7652 < 343. Donc la valeur approchée par défaut de 342,7652 à l'unité près est 342.

Ensuite :

3) L'arrondi
Définition : Arrondir un nombre, c'est le remplacer par le nombre le plus proche.

Comme tout à l'heure, cela n'a pas de sens! C'est quoi le nombre (décimal) le plus proche d'un nombre ?

Voilà je t'ai donné mon point de vue. Tu en fais ce que tu veux et tu peux le critiquer aussi! Ces notions-là sont vraiment pénibles à enseigner je trouve. Il y en a d'autres en ce moment je prépare les chapitres de 6e et 5e sur les nombres fractionnaires c'est compliqué de faire le tri!

Ah oui, j'avais une question pour toi!

Est-ce qu'il t'est absolument nécessaire de faire une révision de toutes ces notions ?

On les enseigne en 6e oui mais bon après en 5e, 4e, 3e est-ce qu'on s'en sert beaucoup ?

Les arrondis oui! Pour les calculs de périmètres du cercle et d'aires du disque, pour les calculs de longueurs avec Pythagore, etc...

Par contre les valeurs approchées et troncatures, je ne sais pas trop!

J'insisterais surtout sur la notion d'arrondi et sur la technique pour arrondir un nombre à une précision donnée.

Tout d'abord merci jonjon71 pour ta réponse détaillée.
Je réponds en premier à ton dernier message

Non, ce n'est pas nécessaire de refaire toutes ces notions, je veux juste rattraper les différences de niveaux. C'est pourquoi, je ne veux pas refaire un chapitre dessus.
J'ai pris le parti de faire la troncature et les arrondis en 6eme pour deux raisons : la troncature, c'est facile et les arrondis, on s'en sert justement beaucoup. Mais ce sont des notions de 4eme, si je ne me trompe pas.

Je vais maintenant relire ta première réponse

Il faut être cohérent avec ce que font les physiciens, pour qui une valeur approchée à 10^(-p) près s'écrit avec exactement p décimales.

A mes étudiants, je donne comme définition de "LA valeur décimale approchée à 10^(-p) près par défaut de x" : 10^(-p)E(10^p*x) (en disant que si (10^p)x est déjà entier, la question ne se pose pas)

En adaptant à des petits, cela peut donner : la valeur (décimale) approchée par défaut au dixième, c'est la troncature au dixième, et la valeur approchée par excès, c'est la précédente+0,1.

Je précise un peu plus le contexte de cette fiche de rappel. Ce n'est pas un cours, c'est pourquoi j'ai séparé la partie définition pour que les trois notions apparaissent côte à côte puis la partie exemple plus importante.
Dans mes cours, chaque définition est effectivement suivie directement d'un exemple (ce travail nous a occupé une heure avec les classes + 1 heure d'exos).

Je me suis rendue compte que les élèves ne comprenaient pas l'expression "à un rang donné". Pour alléger les définitions, j'ai fait le choix d'indiquer au tout début de la fiche que chaque notion se travaille à un rang particulier et de ne plus en parler après, sauf dans les exemples. Est ce que cela reste compréhensible pour les élèves ?

1) La troncature
Définition : Tronquer un nombre décimal, c'est le couper.

La définition est un peu vaseuse. En tout cas elle ne dit pas comment on trouve la troncature d'un nombre. On le coupe c'est-à-dire ?

Je pourrais proposer :

Définition : Faire la troncature à l’unité, au dixième, au centième… d’un nombre décimal, c’est le couper au rang indiqué et supprimer les chiffres à droite de la coupure.

Définition abrupte oui Trop ? Oui, encore Utilitaire ? Non, finalement. Ce que tu proposes correspond à ce que je dis à l'oral, donc je pense modifier en :
Tronquer un nombre décimal, c'est le couper au rang demandé et supprimer les chiffres à droite de la coupure

En revanche, je tiens à mon "tronquer" histoire de montrer l'orthographe différente de "troncature" :lol:

Et pour répondre à seawet, on ne coupe pas un nombre avec un couteau, mais on coupe avec une tronçonneuse comme pour le tronc d'arbre !

2) Les valeurs approchées
Définition : La valeur approchée d'un nombre
● par défaut est le nombre immédiatement inférieur.
● par excès est le nombre immédiatement supérieur.

Là c'est un non-sens mathématique! Si je lis ça dans une copie d'élève je m'arrache les cheveux, entoure en rouge ce qui est écrit avec un gros "Oh!".

C'est quoi le nombre immédiatement inférieur à 12,3 ? C'est 12,2 ? 12,29 ? 12,299 ? etc

Tu as bien dû voir pendant tes études la notion de densité! Ou la notion d'ordre!

Je te le dis maintenant qu'en fait, je n'ai pas fait d'étude ?

Bon, mon histoire de simplification qui résulte à ne pas écrire à chaque fois que l'on travaille à un rang donné à l'air de créer plus de problème que d'en résoudre ... :shock:

Savoir-faire : Obtenir une valeur approchée à un rang donné.
Je m'aide d'un encadrement à l'unité près : 342 < 342,7652 < 343

Remarque : Les deux valeurs approchées du nombre doivent avoir obligatoirement 1 d'écart entre les deux derniers chiffres : Ici, nous avons les chiffres 2 et 3, il y a bien l'écart de 1.

Autre détail : Tu dit bien "Je m'aide d'un encadrement à l'unité près". C'est donc que des encadrements à l'unité près il y a en plusieurs. Donc des valeurs approchées aussi.

Par exemple on a 342,1 < 342,7652 < 343,1 est un encadrement à l'unité près donc 324,1 est une valeur approchée par défaut de 342,7652 à l'unité près!

C'est compliqué! En fait ma tutrice m'a dit que pour ne pas se poser la question il suffit d'enlever le "près". Elle m'a proposé :

On encadre 342,7652 à l'unité près : 342 < 342,7652 < 343. Donc la valeur approchée par défaut de 342,7652 à l'unité près est 342.

Ah oui, j'ai laissé traîné un "près" par habitude, je n'avais pas vu. Ce que tu proposes correspond à ce que j'ai mis en partie exercices

3) L'arrondi
Définition : Arrondir un nombre, c'est le remplacer par le nombre le plus proche.

Comme tout à l'heure, cela n'a pas de sens! C'est quoi le nombre (décimal) le plus proche d'un nombre ?

Elle n'est vraiment pas claire ma phrase de début de fiche ?
Je ne voudrais pas que cela embrouille les élèves plus qu'avant.

Filnydar a écrit: Il faut être cohérent avec ce que font les physiciens, pour qui une valeur approchée à 10^(-p) près s'écrit avec exactement p décimales.

A mes étudiants, je donne comme définition de "LA valeur décimale approchée à 10^(-p) près par défaut de x" : 10^(-p)E(10^p*x) (en disant que si (10^p)x est déjà entier, la question ne se pose pas)

En adaptant à des petits, cela peut donner : la valeur (décimale) approchée par défaut au dixième, c'est la troncature au dixième, et la valeur approchée par excès, c'est la précédente+0,1.

Oui, mes élèves ont bien compris que la valeur approchée décimale par défaut donnait la même réponse que la troncature.
On a illustré les valeurs approchées décimales à l'aide des demi-droites graduées, en utilisant des graduations adaptées au rang demandé. Ils ne se trompent jamais sur la valeur par excès, mais on toujours tendance à trop décaler celle par défaut. C'est pourquoi j'insistais sur cet écart de 1 à respecter.

Eileen a écrit: C'est pourquoi j'insistais sur cet écart de 1 à respecter.

Mais alors, ta fiche est ambiguë pour les nombres dont la troncature à la précision utilisée se termine par 9 : l'écart entre 9 et 0 n'est pas 1.

Filnydar, qui se demande bien comment enseigner ça proprement à des élèves dont beaucoup ne connaîtront jamais la partie entière...

Oui, je suis d'accord, ce n'est pas simple !

5.9 < 5.9645321 < 6.0

La réponse : le 0 provient d'un 10, donc il y a un écart de 1 entre 9 et 10 est acceptable au collège ?

Pourquoi ne pas tout simplement dire :

5.9 < 5.9645321 < 6.0 est un encadrement au dixième de 5.9645321 car 6,0 - 5,9 = 0,1. Ce 0,1 correspond à la précision.

Je cherchais une réponse justement pour les élèves qui n'ont pas compris cela

Ce sont les mêmes en général qui sont déjà perdus avec les rangs, donc la notion d'amplitude n'est pas concrète pour eux.

Après il reste des questions fun du genre: quelle est la troncature au centième de 1,99999... ( jusqu'a l'infini )