L'Antinomie de Russell

L'Antinomie de Russell (1902)


Dans une lettre qu'il adressa à Frege en 1902, Russell révéla ce qui est peut-être le paradoxe le plus précieux des mathématiques, connu sous le nom de Paradoxe des Classes ou Antinomie de Russell, dont voici un énoncé de Russell :

« La classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-mêmes est-elle élément d'elle-même ? »

Le paradoxe réside en ce que quelque soit la réponse supposée, elle conduit à une contradiction. Si en effet, elle l'est, alors elle a la propriété de ses éléments qui est de ne pas être éléments d'eux-mêmes. Sinon, elle n'a pas cette propriété et est donc élément d'elle-même.

Ce paradoxe tendait donc à montrer que la classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-mêmes n'existe pas dans la théorie frégéenne. Mais cette théorie ayant été construite de façon strictement déductive, une classe ne pouvait être écartée sans que les bases mêmes de cette théorie ne soient remises en question.

Plus grave encore, la théorie cantorienne aussi tombait sous le coup de cette antinomie et était incapable de la résoudre.

Pour Russell, la solution tenait de ce qu'il appelait « le Principe du Cercle Vicieux » :

« Ce qui contient une variable liée ne doit pas être une valeur possible pour cette variable. »

La fonction "ne pas être élément de soi-même" devenait ce qu'il appelait une fonction d'énoncé non prédicative, c'est-à-dire ne pouvant pas définir de classe. Cette notion rejoignait en effet l'idée cantorienne de « multitudes inconsistantes ».

Précisant la pensée de Russell, le mathématicien Poincaré écrivit :

« Les définitions qui doivent être regardées comme non prédicatives sont celles qui entraînent un cercle vicieux. » (Revue de Métaphysique et de Morale).



La théorie des ensembles retenue à notre époque par la plupart des mathématiciens considère pour résoudre ce type de paradoxes qu'un ensemble ne peut pas se contenir lui-même. C'est ce que dit l'Axiome de Fondation.

Ainsi, au sens ensembliste actuel, l'Antinomie de Russell est résolue : dans tous les cas, la classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-même n'est pas un ensemble. Elle n'entre ainsi pas dans le cas d'étude de la théorie des ensembles.



En 1919, Bertrand Russell donna une version populaire de son antinomie sous le nom de Paradoxe du Barbier, en les termes suivants :

« Le barbier d'un certain village rase exactement toutes les personnes du village qui ne se rasent pas elles-mêmes. Question : ce barbier se rase-t-il lui-même ? »

Il mit ainsi en évidence une version de l'Antinomie dans la théorie des relations. Choisissons-nous en effet une relation quelconque et construisons alors un élément en le définissant comme en relation avec strictement tous les éléments qui ne sont pas en relation avec eux-mêmes ? Est-il alors en relation avec lui-même ?

On voit qu'à partir de cette antinomie plus générale, il est possible de retrouver celle originale (en choisissant pour relation : « être élément de ») ou d'en construire une infinité d'autres.

iphigénie a écrit:Je n'ai pas tout compris non plus mais c'est l'histoire de tous les Crétois qui sont menteurs ,non?(les matheux,faut toujours qu'ils compliquent )
Enfin je suis peut-être totalement à l'Ouest avec mes Crétois(en perdant le nord?)

iphigénie a écrit:ben j'ai l'impression que c'est l'histoire des apories en logique,non?on remplace les Crétois par les barbiers,et le tour est joué?
ps:qu'advient-il des barbiers Crétois,ça c'est coton....

thrasybule a écrit:J'ai compris!

iphigénie a écrit:yaou!
pour une fois,ce que j'ai dit n'est pas totalement idiot en math:champagne (suis contente de ma journée:merci JPhMM!

JPhMM a écrit:

thrasybule a écrit:J'ai compris!

Il va me falloir augmenter la difficulté la prochaine fois.

iphigénie a écrit:Je n'ai pas tout compris non plus mais c'est l'histoire de tous les Crétois qui sont menteurs ,non?(les matheux,faut toujours qu'ils compliquent )
Enfin je suis peut-être totalement à l'Ouest avec mes Crétois(en perdant le nord?)

iphigénie a écrit:lu avec intérêt
suis super fière de participer à l'avancée de la science

iphigénie a écrit:oh rabat-joie

Le Paradoxe de G.W. Berry (1906)

Bien que beaucoup plus simple et plus parlant, le Paradoxe de G.W. Berry n'en est pas moins analogue au Paradoxe de Richard. Il se rattache aussi au Paradoxe du Menteur.

Soit l'expression « le plus petit nombre naturel qu'on ne peut pas désigner en moins de vingt-cinq syllabes".

Elle désigne un entier bien déterminé. Par définition, cet entier ne peut pas être désigné par une expression de moins de vingt-cinq syllabes. Or elle possède elle-même vingt-quatre syllabes !

Ruthven a écrit:Pour ceux qui trouveraient la théorie des types un peu austère, il y a Logicomix de Doxiadis, un roman graphique sur la vie de Russell et la question de la recherche de la vérité (parfois un peu caricatural dans les rapports entre logique et folie, mais agréable à lire).

Ruthven a écrit:Pour ceux qui trouveraient la théorie des types un peu austère, il y a Logicomix de Doxiadis, un roman graphique sur la vie de Russell et la question de la recherche de la vérité (parfois un peu caricatural dans les rapports entre logique et folie, mais agréable à lire).

thrasybule a écrit:

Ruthven a écrit:Pour ceux qui trouveraient la théorie des types un peu austère, il y a Logicomix de Doxiadis, un roman graphique sur la vie de Russell et la question de la recherche de la vérité (parfois un peu caricatural dans les rapports entre logique et folie, mais agréable à lire).

C'est dur à lire pour un néophyte comme moi?