Demande de détachement vers le privé

Bonjour à toutes et à tous,

Je suis enseignant titulaire et agrégé en philosophie depuis 2020. Après avoir effectué mon année de stage et être devenu TZR dans une académie éloignée, j'ai pu obtenir une disponibilité pour un doctorat.

Ma situation actuelle n'est pas "mauvaise" en soi, et pourtant je rencontre de grandes difficultés à mener à bien mon travail de thèse du fait du manque de perspectives dans la recherche et l'ES, et, conjointement, de la perspective de devoir de nouveau faire face à la mobilité forcée dans le cadre de l'EN à laquelle nous sommes nombreux à être confrontés. Le fait est que j'ai une grande difficulté à travailler sur ma thèse, à entreprendre des activités ou créer des liens car l'angoisse de la déterritorialisation forcée prends le dessus sur tout le reste (et oui c'est quelque chose d'assez commun dans notre profession aujourd'hui je crois, et je n'ai pas la prétention d'être un cas isolé). J'en suis tout de même au point où je suis une psychothérapie depuis un an (pas un cas isolé non plus d'après ce que j'ai pu lire sur ce forum).
Bon, en faisant l'état des lieux de ce qui "m'affecte" (si j'ose dire, vous me pardonnerez l'expression je n'en doute pas), le grain de sable dans la machine, c'est clairement la perspective de la coupure des liens que j'ai avec le lieu où je vis actuellement - à savoir à Lyon. Parce que j'ai pu y construire une instable stabilité.

Suite à cette entrée en matière, je secoue un peu ma cage et me tourne vers vous pour avoir des renseignements concernant le détachement vers l'enseignement privé dans le secondaire, voire en classe prépa.
Voici ce que je sais actuellement :
1. Il est possible d'obtenir un détachement en effectuant une demande au rectorat, et il faut ensuite déposer un dossier à la CAAC
2. Dans ce cas, on peut revenir ensuite dans l'EN, on garde ses "droits"
3. La stratégie efficace serait d'après ce que j'ai compris, de démarcher directement les CED du privé

Voici ce que je ne sais pas/ les points d'obscurité :
1. Ayant pris contact avec les représentants de l'Enseignement catholique à Lyon, il m'a été indiqué que le rectorat de l'académie de Lyon refusait les détachements vers le privé, mais que l'accès aux classes préparatoires me restait ouvert dans l'éventualité de postes disponibles.
2. Néanmoins, je ne suis justement pas rattaché à l'académie de Lyon mais au rectorat d'une autre académie. Pensez-vous que le refus des rectorats soit systématique concernant ce type de demandes de détachement? Ou bien que c'est variable selon les académies?
3. Par ailleurs, comme je suis en disponibilité actuellement, je présume que mon académie a été en mesure de me remplacer, ce qui devrait rendre plus aisé la démarche de détachement. Qu'en pensez-vous?
4. Si vous avez des conseils pour m'aider à affiner ma stratégie je suis plus que preneur.

Je vous remercie d'avance pour votre lecture, votre compréhension