Le naufrage sans fin en mathématiques. Note d’alerte du CSEN

Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

lene75 a écrit:À mon sens le problème vient ici de l'énoncé et pas des réponses. L'énoncé suggère de passer par un raisonnement concret. Or je n'arrive pas à voir de situation concrète dans laquelle il se poserait. S'il y en a, elles sont vraisemblablement tout à fait exceptionnelles. Le plus probable est qu'il s'agit d'un problème abstrait qui a été traduit a posteriori dans des termes concrets qui lui sont inadaptés, et qu'il faut donc retraduire en des termes abstraits pour le résoudre (les fameux 2 étuis qui ne correspondent à aucune réalité) alors même que l'énoncé suggère le contraire. Je suis sûre qu'il y aurait beaucoup moins d'erreurs si le problème était présenté avec des variables plutôt qu'avec une pseudo situation concrète.

Je m’explique. Si on vous donne les données du problème : une tablette et son étui coûtent 200€, l'étui coûte 40€. Quelle question posez-vous à partir de ces données ? C'est-à-dire, dans la vie réelle, celle où on peut être amené à acheter des tablettes et des étuis, de quelle autre information pourriez-vous avoir besoin ?
Il me semble qu'ici la seule réponse possible est que ce qu'on veut connaître est le prix de la tablette sans l'étui, parce qu'on pourrait vouloir acheter la tablette sans étui ou comparer le prix de la tablette dans ce lot indivisible au prix d'une autre tablette vendue seule : ai-je plutôt intérêt à acheter une autre tablette vendue seule et à acheter l'étui à part ? C'est donc ce que la plupart des gens vont spontanément calculer.

Je n'arrive pas à me représenter de situation dans laquelle on aurait besoin de savoir combien la tablette coûte de plus que l'étui. Il me semble que c'est une information qui n'a aucune utilité.

Dans les vieux manuels de primaire, on trouve ce genre d'exercice : trouver la question qui se pose, ou l'information manquante. Ici l'information qui nous manque, c'est le prix de la tablette, pas combien la tablette coûte de plus que l'étui.

Édit : Pardon, je me suis embrouillée avec les différents messages. Si je ne me trompe pas, l'énoncé initial est : "Une tablette et son étui coûtent 240€. La tablette coûte 200€ de plus que l'étui." C'est encore plus tordu. Vous avez déjà vu un magasin dans lequel on n'affiche pas le prix de l'objet mais on vous dit qu'il coûte 200€ de plus qu'un autre dont on ne connaît pas non plus le prix ? Je ne refais pas tout le message au-dessus, il suffit de transposer : on voit bien ici que l'énoncé ne fait référence à aucune situation concrète vraisemblable, or le fait de l'énoncer en des termes concrets suggère qu'il faudrait pour le résoudre se référer à une situation concrète. Ce que font les gens, qui vont mentalement au magasin, et se plantent donc fatalement.

Oui, c'est bien ça. Du faux concret dans lequel on motive de façon totalement artificielle une mise en équation avec une formulation volontairement piégeuse. C'est un piège classique, et je trouve finalement inintéressant sauf pour faire mousser celui qui pose la colle.

On peut arriver à la même équation avec un problème bien plus naturel. J'achète deux cartouches d'encre et une tablette à 200€. sachant que je paye 240€ au total, quel est le prix d'une cartouche d'encre ?

Lowpow29 a écrit:

mathmax a écrit:

Lowpow29 a écrit:
Les problèmes de maths c'est souvent aussi une question de formulation et là c'est fait exprès pour d'abord induire en erreur...

Je crois que c’est très exactement ce que Verdurette a expliqué à ses collègues. Je ne pense pas que ses compétences pédagogiques soient moins bonnes que les tiennes...

Alors ce n'est pas du tout ce que j'ai dit, je trouve simplement l'exercice piégeux et l'erreur assez instinctive. Je ne trouve la réponse qu'en réfléchissant, spontanément j'aurais certainement aussi dit 40€ si je ne m'étais pas dit attention piège... Et pourtant j'adore les maths...

Mais ce  à quoi je réagissais c’est

Au moins ça permet de tester les compétences pédagogiques de ceux qui trouvent la réponse

c’est cette partie de ton message que j’avais cité ! Cette phrase laissait entendre que Verdurette, qui avait trouvé la réponse, n’avait pas des compétences pédagogiques à la hauteur, et je trouvais cela étrange, puisque tu conseillais ensuite la même explication qu’elle. Mais je crois que nous sommes tous d’accord sur l’essentiel : cet exercice ne ressemble à rien, ni maths pures, qui supposent comme le dit Lene un énoncé plus abstrait, ni maths appliquées qui demandent un minimum de vraisemblance. Bref, c’est un truc d’IUFM/ESPE/INSPE...

Un schéma (façon méthode de Singapour ?) en barre permet à certains de visualiser et de construire le raisonnement. . Ce type de problème figure dans le livre du GRIP de CM2. Dans l'école des années cinquante-soixante ces problèmes étaient des classiques, après en avoir résolu un nombre important, quelques élèves comprenaient qu'il s'agissait toujours du même "pattern" comme disent les anglo-saxons. Puis ils perdaient cette agilité lorsqu'on leur apprenait la résolution des équations et systèmes d'équations en quatrième-troisième Le raisonnement n'est rien d'autre que la résolution"mécanique"

DesolationRow a écrit:Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

C'est la méthode par tâtonnement qui fait mal à un matheux. (Pourquoi y a-t-il une seule solution ? Et qu'est-ce qui dit a priori que la solution est un multiple de 10, ou même entière ? Et puis de toute façon c'est un raisonnement esthétiquement très laid.)

Prezbo a écrit:

DesolationRow a écrit:Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

C'est la méthode par tâtonnement qui fait mal à un matheux. (Pourquoi y a-t-il une seule solution ? Et qu'est-ce qui dit a priori que la solution est un multiple de 10, ou même entière ? Et puis de toute façon c'est un raisonnement esthétiquement très laid.)

Oui, je comprends bien que ça ne soit pas très rigoureux et ce n'est même pas un raisonnement à proprement parler. Cela dit, si les multiples de 10 n'avaient pas fonctionné, j'aurais continué avec les multiples de 5, puis les unités, puis ensuite les nombres non entiers. Rien ne m'aurait arrêté.

Prezbo a écrit:

DesolationRow a écrit:Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

C'est la méthode par tâtonnement qui fait mal à un matheux. (Pourquoi y a-t-il une seule solution ? Et qu'est-ce qui dit a priori que la solution est un multiple de 10, ou même entière ? Et puis de toute façon c'est un raisonnement esthétiquement très laid.)

Laid peut-être, mais pas inefficace. J'ai coulé pas mal de porte-avions à la bataille navale avec ce genre de méthode.

Prezbo a écrit:

Lowpow29 a écrit:Au moins ça permet de tester les compétences pédagogiques de ceux qui trouvent la réponse

- si la tablette coûte 200€ et l'étui 40€, combien la tablette coute-t-elle de plus que l'étui ? Là j'imagine que la plupart fera 200-40=160 et verra que cela invalide leur première intuition puisqu'on voit que la tablette ne coûte que 160€ de plus que l'étui dans ce cas

Personnellement je comprends que ce soit contre-intuitif pour les gens et ça me semble plus facile à comprendre en décomposant les "prix de..." :
- prix de la tablette = combien ? Prix de l'étui + 200€
- Donc prix des deux = prix de l'étui + prix de la tablette = prix de l'étui + prix de l'étui + 200€
Donc 240€ = 200€ + 2 fois le prix de l'étui
Etc

Les problèmes de maths c'est souvent aussi une question de formulation et là c'est fait exprès pour d'abord induire en erreur...

Mais pourquoi deux étuis ? Il n'y en a qu'un.

Que certains tombent dans le piège ne me choque pas forcément. D'ailleurs, je ne suis pas adepte de cette pédagogie du piège, qui consiste essentiellement à embrouiller des apprenants déjà fragiles sous prétexte de les faire réfléchir.

Que certains ne comprennent toujours pas après explication ne me surprend pas, mais montre l'ampleur du problème : du fait des mode de sélection et d'orientation, certains PE qui étaient en difficulté en maths probablement depuis le primaire restent en difficulté en maths une fois PE.

Ce problème piégeux est connu et on le retrouve sous diverses versions. Je suis prof de maths, je sens le piège venir mais si je vais vite, j'y tombe dedans ....
De plus, je trouve que les explications à rallonge du type "prix de l'étui + prix de " .... compliquent les choses et mon cerveau capte plus vite avec des x ... mon cerveau est sans doute trop déformé ...

Je ne vois pas l'intérêt de ce type de problème à résoudre arithmétiquement, si ce n'est pour apprendre à se méfier des pièges. Je vois plus son intérêt dans l'apprentissage du calcul littéral et des équations.

Ma fille a eu ce type de problème en éval en 6e l'an dernier .... elle est tombée dans le piège ... je ne vois pas trop ce que j'aurais pu en tirer comme conclusion.
C'était un exercice au milieu de plein d'autres, elle a dû lire une fois ou deux et n'a pas cherché plus loin ...

Prezbo a écrit:

DesolationRow a écrit:Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

C'est la méthode par tâtonnement qui fait mal à un matheux. (Pourquoi y a-t-il une seule solution ? Et qu'est-ce qui dit a priori que la solution est un multiple de 10, ou même entière ? Et puis de toute façon c'est un raisonnement esthétiquement très laid.)

Moi ça ne me dérange pas que certains élèves fassent cela en première approche, pour ”s’approprier” la situation. Parfois on arrive au ”beau” raisonnement après avoir trouvé la solution par des chemins de traverse. Il est évidemment souhaitable de savoir montrer ensuite que la solution est bien la seule, et qu’on peut la trouver de manière directe en résolvant une équation.

mathmax a écrit:

Prezbo a écrit:

DesolationRow a écrit:Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

C'est la méthode par tâtonnement qui fait mal à un matheux. (Pourquoi y a-t-il une seule solution ? Et qu'est-ce qui dit a priori que la solution est un multiple de 10, ou même entière ? Et puis de toute façon c'est un raisonnement esthétiquement très laid.)

Moi ça ne me dérange pas que certains élèves fassent cela en première approche, pour ”s’approprier” la situation. Parfois on arrive au ”beau” raisonnement après avoir trouvé la solution par des chemins de traverse. Il est évidemment souhaitable de savoir montrer ensuite que la solution est bien la seule, et qu’on peut la trouver de manière directe en résolvant une équation.

Ensuite, si on me demande comment trouver, je dis qu'il faut poser : 200 + 2x = 240.

Voilà, bien sûr, mais en primaire je pense qu'on ne manipule pas encore avec des variables x, y etc. En tout cas je n'en ai pas le souvenir.

Il est extrêmement utile de se rendre compte qu'une première représentation/intuition que l'on se fait d'une situation n'est pas la bonne, c'est l'une des leçons les plus utiles que l'on peut tirer de l'intégralité de tout ce que l'on peut apprendre des mathématiques.

La question est piégeuse, certes, mais elle présente deux avantages :
- elle montre l'intérêt de vérifier la solution trouvée en tombant dans le piège, pour s'apercevoir qu'effectivement il y avait un piège
- elle oblige à réfléchir à une ou plusieurs stratégies pour trouver la bonne réponse, et si on ne la trouve pas, à réfléchir pour comprendre une des explications.

On retrouve ce qui finalement est une énigme, dans la formulation suivante, peut être un peu plus concrète : un pichet et un verre contiennent ensemble 1,4 litres, le pichet contient 1 l de plus que le verre, quelles sont leurs contenances ?

Et pour ce qui est des énigmes mathématiques sur les prix dans la vie courante, on en rencontre aussi de bien piégeuses avec les pourcentages :
combien de gens étaient persuadées que dans des réductions successives de prix, l'ordre était important ? Réduire de 10 % puis de 20 % aurait été moins avantageux que réduire de 20 % puis de 10 %.
Par contre, si un prix augmente de 20 % et baisse ensuite de 20 %, pourquoi est ce avantageux d'acheter ?
Ne parlons pas des prix TTC et HT, combien coûte HT un objet qui vaut 100 euros TTC avec une TVA à 20 % ? Non, ce n'est pas 80 euros.
Est ce qu'il vaut mieux une augmentation du poids de 1/3, ou une baisse du prix de 1/4 ? Eh oui, c'est pareil.
Sans changer le prix, baisser la quantité de 10 %, cela revient à augmenter le prix au kilo de quel pourcentage ? Plus, ou moins de 10 % ? (la shrinkflation, ou l'inflation "masquée") ...

Tous ces exemples se rencontrent irl, et savoir les reconnaitre et les interpréter est bien utile !

Je précise ce que je voulais dire. Je ne vois pas l'intérêt de ce genre de problème pour évaluer ou pour attester de l'incompétence en maths de celui qui se fait avoir.
Par contre, évidemment, très utiles pour percevoir l'intérêt de ne pas se fier à la première impression .... c'est tout un travail ...

Prezbo a écrit:

DesolationRow a écrit:Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

C'est la méthode par tâtonnement qui fait mal à un matheux. (Pourquoi y a-t-il une seule solution ? Et qu'est-ce qui dit a priori que la solution est un multiple de 10, ou même entière ? Et puis de toute façon c'est un raisonnement esthétiquement très laid.)

La méthode par tâtonnement, ou exhaustive, ou bourrin ne me paraît pas honteuse si elle est le prélude à un raisonnement rigoureux ultérieur. Singulièrement en arithmétique, ce n'est pas quelque chose à rejeter a priori et vaut parfois mieux qu'un raisonnement fin et élégant qu'on risque d'attendre longtemps. Et puis DR te l'a dit : il était même prêt à tester tous les rationnels pour trouver la solution !

Voltaire a écrit:La question est piégeuse, certes, mais elle présente deux avantages :
- elle montre l'intérêt de vérifier la solution trouvée en tombant dans le piège, pour s'apercevoir qu'effectivement il y avait un piège
- elle oblige à réfléchir à une ou plusieurs stratégies pour trouver la bonne réponse, et si on ne la trouve pas, à réfléchir pour comprendre une des explications.

On retrouve ce qui finalement est une énigme, dans la formulation suivante, peut être un peu plus concrète : un pichet et un verre contiennent ensemble 1,4 litres, le pichet contient 1 l de plus que le verre, quelles sont leurs contenances ?

Et pour ce qui est des énigmes mathématiques sur les prix dans la vie courante, on en rencontre aussi de bien piégeuses avec les pourcentages :
combien de gens étaient persuadées que dans des réductions successives de prix, l'ordre était important ? Réduire de 10 % puis de 20 % aurait été moins avantageux que réduire de 20 % puis de 10 %.
Par contre, si un prix augmente de 20 % et baisse ensuite de 20 %, pourquoi est ce avantageux d'acheter ?
Ne parlons pas des prix TTC et HT, combien coûte HT un objet qui vaut 100 euros TTC avec une TVA à 20 % ? Non, ce n'est pas 80 euros.
Est ce qu'il vaut mieux une augmentation du poids de 1/3, ou une baisse du prix de 1/4 ? Eh oui, c'est pareil.
Sans changer le prix, baisser la quantité de 10 %, cela revient à augmenter le prix au kilo de quel pourcentage ? Plus, ou moins de 10 % ? (la shrinkflation, ou l'inflation "masquée") ...

Tous ces exemples se rencontrent irl, et savoir les reconnaitre et les interpréter est bien utile !

Tous les problèmes que tu proposes dans la deuxième partie sont de nature très différentes des premiers : ils se rencontrent effectivement dans la vie réelle, et sur le plan scolaire on les aborde méthodiquement et on apprend à les traiter. Il ne s’agit donc pas d’énigmes destinées à tester ou piéger les élèves.

mathmax a écrit:

Voltaire a écrit:La question est piégeuse, certes, mais elle présente deux avantages :
- elle montre l'intérêt de vérifier la solution trouvée en tombant dans le piège, pour s'apercevoir qu'effectivement il y avait un piège
- elle oblige à réfléchir à une ou plusieurs stratégies pour trouver la bonne réponse, et si on ne la trouve pas, à réfléchir pour comprendre une des explications.

On retrouve ce qui finalement est une énigme, dans la formulation suivante, peut être un peu plus concrète : un pichet et un verre contiennent ensemble 1,4 litres, le pichet contient 1 l de plus que le verre, quelles sont leurs contenances ?

Et pour ce qui est des énigmes mathématiques sur les prix dans la vie courante, on en rencontre aussi de bien piégeuses avec les pourcentages :
combien de gens étaient persuadées que dans des réductions successives de prix, l'ordre était important ? Réduire de 10 % puis de 20 % aurait été moins avantageux que réduire de 20 % puis de 10 %.
Par contre, si un prix augmente de 20 % et baisse ensuite de 20 %, pourquoi est ce avantageux d'acheter ?
Ne parlons pas des prix TTC et HT, combien coûte HT un objet qui vaut 100 euros TTC avec une TVA à 20 % ? Non, ce n'est pas 80 euros.
Est ce qu'il vaut mieux une augmentation du poids de 1/3, ou une baisse du prix de 1/4 ? Eh oui, c'est pareil.
Sans changer le prix, baisser la quantité de 10 %, cela revient à augmenter le prix au kilo de quel pourcentage ? Plus, ou moins de 10 % ? (la shrinkflation, ou l'inflation "masquée") ...

Tous ces exemples se rencontrent irl, et savoir les reconnaitre et les interpréter est bien utile !

Tous les problèmes que tu proposes dans la deuxième partie sont de nature très différentes des premiers : ils se rencontrent effectivement dans la vie réelle, et sur le plan scolaire on les aborde méthodiquement et on apprend à les traiter. Il ne s’agit donc pas d’énigmes destinées à tester ou piéger les élèves.

Pour des adultes, et encore … mais la plupart des élèves que je côtoie considèrent ces exemples tout aussi « abstraits » et loin de leur réalité que le reste.

J'aurais fait ça, de mon côté : soit x le prix de l'étui et y le prix de la tablette

on sait que x + y = 240
donc x = 240 - y
or y = x + 200
donc x = 240 - (x + 200)
donc x = 240 - x + (-200)
donc 2x = 40
donc x = 20

voilà voilà je suis curieux d'avoir vos avis de professeurs de maths sur mes réflexes...

VinZT a écrit:

mathmax a écrit:

Voltaire a écrit:La question est piégeuse, certes, mais elle présente deux avantages :
- elle montre l'intérêt de vérifier la solution trouvée en tombant dans le piège, pour s'apercevoir qu'effectivement il y avait un piège
- elle oblige à réfléchir à une ou plusieurs stratégies pour trouver la bonne réponse, et si on ne la trouve pas, à réfléchir pour comprendre une des explications.

On retrouve ce qui finalement est une énigme, dans la formulation suivante, peut être un peu plus concrète : un pichet et un verre contiennent ensemble 1,4 litres, le pichet contient 1 l de plus que le verre, quelles sont leurs contenances ?

Et pour ce qui est des énigmes mathématiques sur les prix dans la vie courante, on en rencontre aussi de bien piégeuses avec les pourcentages :
combien de gens étaient persuadées que dans des réductions successives de prix, l'ordre était important ? Réduire de 10 % puis de 20 % aurait été moins avantageux que réduire de 20 % puis de 10 %.
Par contre, si un prix augmente de 20 % et baisse ensuite de 20 %, pourquoi est ce avantageux d'acheter ?
Ne parlons pas des prix TTC et HT, combien coûte HT un objet qui vaut 100 euros TTC avec une TVA à 20 % ? Non, ce n'est pas 80 euros.
Est ce qu'il vaut mieux une augmentation du poids de 1/3, ou une baisse du prix de 1/4 ? Eh oui, c'est pareil.
Sans changer le prix, baisser la quantité de 10 %, cela revient à augmenter le prix au kilo de quel pourcentage ? Plus, ou moins de 10 % ? (la shrinkflation, ou l'inflation "masquée") ...

Tous ces exemples se rencontrent irl, et savoir les reconnaitre et les interpréter est bien utile !

Tous les problèmes que tu proposes dans la deuxième partie sont de nature très différentes des premiers : ils se rencontrent effectivement dans la vie réelle, et sur le plan scolaire on les aborde méthodiquement et on apprend à les traiter. Il ne s’agit donc pas d’énigmes destinées à tester ou piéger les élèves.

Pour des adultes, et encore … mais la plupart des élèves que je côtoie considèrent ces exemples tout aussi « abstraits » et loin de leur réalité que le reste.

Ça c'est absolument vrai, le débat faux/vrai concret est en très grande partie artificiel et totalement étranger à nos élèves. Ils sont capables de manier des grandeurs, et même de le faire très vite, il n'est que de regarder la majorité des jeux vidéos où il y a souvent des paramètres à gérer et parfois à gérer très vite, mais clairement, il ne le font pas par nos canaux de calcul habituels...

Pour le calcul de pourcentage cité, sensé être concret, le prétendu "homme de la rue", soit ne s'est jamais posé la question (à mon avis la majorité) soit pense que c'est pareil/différent, par contre, je mets ma main à couper, que la plupart pensent que cela fait 30% ou "environ" 30%....et ils ont, d'un point de vue pratique tous totalement raison!! 28% contre 30%...ce genre de réduction intervient en général dans des soldes et sur 100 balles cela fait deux euros.

Je n'ai jamais vu une maison ou une voiture à vendre avec baisse de 20%....suivi de baisse de 10% et même, on regarderait le prix final, pas la prétendue réduc

Donc pour moi, malgré les apparences faux problème à tous les niveaux  (et en tant que prof de maths face à ce genre de promo, courante à l'intersport près de chez moi, je multiplie le prix par 0,7 mentalement...et pas par 0.72)

Prezbo a écrit:

lene75 a écrit:À mon sens le problème vient ici de l'énoncé et pas des réponses. L'énoncé suggère de passer par un raisonnement concret. Or je n'arrive pas à voir de situation concrète dans laquelle il se poserait. S'il y en a, elles sont vraisemblablement tout à fait exceptionnelles. Le plus probable est qu'il s'agit d'un problème abstrait qui a été traduit a posteriori dans des termes concrets qui lui sont inadaptés, et qu'il faut donc retraduire en des termes abstraits pour le résoudre (les fameux 2 étuis qui ne correspondent à aucune réalité) alors même que l'énoncé suggère le contraire. Je suis sûre qu'il y aurait beaucoup moins d'erreurs si le problème était présenté avec des variables plutôt qu'avec une pseudo situation concrète.

Je m’explique. Si on vous donne les données du problème : une tablette et son étui coûtent 200€, l'étui coûte 40€. Quelle question posez-vous à partir de ces données ? C'est-à-dire, dans la vie réelle, celle où on peut être amené à acheter des tablettes et des étuis, de quelle autre information pourriez-vous avoir besoin ?
Il me semble qu'ici la seule réponse possible est que ce qu'on veut connaître est le prix de la tablette sans l'étui, parce qu'on pourrait vouloir acheter la tablette sans étui ou comparer le prix de la tablette dans ce lot indivisible au prix d'une autre tablette vendue seule : ai-je plutôt intérêt à acheter une autre tablette vendue seule et à acheter l'étui à part ? C'est donc ce que la plupart des gens vont spontanément calculer.

Je n'arrive pas à me représenter de situation dans laquelle on aurait besoin de savoir combien la tablette coûte de plus que l'étui. Il me semble que c'est une information qui n'a aucune utilité.

Dans les vieux manuels de primaire, on trouve ce genre d'exercice : trouver la question qui se pose, ou l'information manquante. Ici l'information qui nous manque, c'est le prix de la tablette, pas combien la tablette coûte de plus que l'étui.

Édit : Pardon, je me suis embrouillée avec les différents messages. Si je ne me trompe pas, l'énoncé initial est : "Une tablette et son étui coûtent 240€. La tablette coûte 200€ de plus que l'étui." C'est encore plus tordu. Vous avez déjà vu un magasin dans lequel on n'affiche pas le prix de l'objet mais on vous dit qu'il coûte 200€ de plus qu'un autre dont on ne connaît pas non plus le prix ? Je ne refais pas tout le message au-dessus, il suffit de transposer : on voit bien ici que l'énoncé ne fait référence à aucune situation concrète vraisemblable, or le fait de l'énoncer en des termes concrets suggère qu'il faudrait pour le résoudre se référer à une situation concrète. Ce que font les gens, qui vont mentalement au magasin, et se plantent donc fatalement.

Oui, c'est bien ça. Du faux concret dans lequel on motive de façon totalement artificielle une mise en équation avec une formulation volontairement piégeuse. C'est un piège classique, et je trouve finalement inintéressant sauf pour faire mousser celui qui pose la colle.

On peut arriver à la même équation avec un problème bien plus naturel. J'achète deux cartouches d'encre et une tablette à 200€. sachant que je paye 240€ au total, quel est le prix d'une cartouche d'encre ?

Pour moi la seule réponse sensée serait, je regarde sur le rayonnage...et si le prix n'y est pas, en bon consommateur, faute de vendeur pour me renseigner, je n'achète pas!!!

À ce compte là on ne fait plus que de l'utilitariste et on supprime la philo. Et les lettres tant qu'on y est, puisque les gamins savent à peu près écrire en sortant de primaire. Et tous les gosses vont bosser à 12 ans.

Au delà de de qu'on peut penser de l'énoncé et de la méthode pour trouver la solution, ce qui pose vraiment problème, et j'espère que c'était un des objectifs c'est l'absence de mise en perspective du résultat. Vérifier son résultat et comprendre qu'on s'est trompé, quand c'est la cas, est une étape importante pour progresser.

Je ne sais pas à qui s'adresse la remarque mais pour moi c'est le contraire de ce que je sous entends...les maths n'ont justement nul besoin d'un habillage pseudo concret-utilitaire et ne justifient pas par cela. Tout effort dans ce sens étant de plus perdu d'avance.

jaybe a écrit:Il est extrêmement utile de se rendre compte qu'une première représentation/intuition que l'on se fait d'une situation n'est pas la bonne, c'est l'une des leçons les plus utiles que l'on peut tirer de l'intégralité de tout ce que l'on peut apprendre des mathématiques.

J'ai quelques réticences sur le sujet.

Je suppose que la formation suivie par Verdurette s'adressait à des PE, c'est-à-dire des adultes de parcours divers, pas tous forcément à l'aise avec les maths dans leur scolarité, et enseignant à des niveaux différents. Facteur aggravant, je ne suis même plus sûre qu'il existe encore de méthode de résolution bien claire et consensuelle de ce genre de problèmes dans le primaire.

En définitive, avec ce piège (assez éventé pour ceux qui le connaissent), qu'apprend-t-on ? Qu'il faut faire attention à la formulation piégeuse des énoncés, et penser à vérifier ses résultats ? C'est trop général à mon sens pour être vraiment opérationnel. En définitive, à part un moment de sentiment de supériorité pour le formateur, qu'en reste-t-il ? Voire un piège, c'est surtout utile si on est souvent confronté à la même situation. Ici, je ne vois effectivement pas la mise en perspective, mais c'est peut-être parce que je n'étais pas à la formation.

Comme Nicole le fait remarquer plus haut, il serait plus efficace de faire bosser des listes de problèmes de ce genre (qui étaient effectivement des classiques des anciens certificats d'étude), apprendre à reconnaître les situations récurrentes et les "patterns", donner une méthode de résolution pédagogiquement claire, avant de se lancer dans une méta-réflexion qui tourne vite en rond.

Voltaire a écrit:La question est piégeuse, certes, mais elle présente deux avantages :
- elle montre l'intérêt de vérifier la solution trouvée en tombant dans le piège, pour s'apercevoir qu'effectivement il y avait un piège
- elle oblige à réfléchir à une ou plusieurs stratégies pour trouver la bonne réponse, et si on ne la trouve pas, à réfléchir pour comprendre une des explications.

On retrouve ce qui finalement est une énigme, dans la formulation suivante, peut être un peu plus concrète : un pichet et un verre contiennent ensemble 1,4 litres, le pichet contient 1 l de plus que le verre, quelles sont leurs contenances ?

Et pour ce qui est des énigmes mathématiques sur les prix dans la vie courante, on en rencontre aussi de bien piégeuses avec les pourcentages :
combien de gens étaient persuadées que dans des réductions successives de prix, l'ordre était important ? Réduire de 10 % puis de 20 % aurait été moins avantageux que réduire de 20 % puis de 10 %.
Par contre, si un prix augmente de 20 % et baisse ensuite de 20 %, pourquoi est ce avantageux d'acheter ?
Ne parlons pas des prix TTC et HT, combien coûte HT un objet qui vaut 100 euros TTC avec une TVA à 20 % ? Non, ce n'est pas 80 euros.
Est ce qu'il vaut mieux une augmentation du poids de 1/3, ou une baisse du prix de 1/4 ? Eh oui, c'est pareil.
Sans changer le prix, baisser la quantité de 10 %, cela revient à augmenter le prix au kilo de quel pourcentage ? Plus, ou moins de 10 % ? (la shrinkflation, ou l'inflation "masquée") ...

Tous ces exemples se rencontrent irl, et savoir les reconnaitre et les interpréter est bien utile !

Ces autres exemples ne me semblent avoir rien à voir. Il s'agit d'exemples où la difficulté vient bien de la notion enseignées elle-même (les pourcentages) et pas d'une formulation piégeuse. Et effectivement, ils peuvent être vraiment concrets. (Quoique peut-être pas tant que ça pour nos élèves, comme plusieurs le font remarquer.)

VinZT a écrit:

Prezbo a écrit:

DesolationRow a écrit:Ah je me suis ridiculisé et c'est pas ça ?

C'est la méthode par tâtonnement qui fait mal à un matheux. (Pourquoi y a-t-il une seule solution ? Et qu'est-ce qui dit a priori que la solution est un multiple de 10, ou même entière ? Et puis de toute façon c'est un raisonnement esthétiquement très laid.)

La méthode par tâtonnement, ou exhaustive, ou bourrin ne me paraît pas honteuse si elle est le prélude à un raisonnement rigoureux ultérieur. Singulièrement en arithmétique, ce n'est pas quelque chose à rejeter a priori et vaut parfois mieux qu'un raisonnement fin et élégant qu'on risque d'attendre longtemps. Et puis DR te l'a dit : il était même prêt à tester tous les rationnels pour trouver la solution !

Dans la phase de recherche pourquoi pas, mais à condition de passer ensuite par une phase de rédaction rigoureuse, et de ne pas accepter le discours que tenaient encore il y a quelques années les IPR, du genre tant que le résultat est là peu importe la méthode vous acceptez. Conception qui a transformé la correction des paquets de copies en purge, une bonne partie de l'exercice consistant maintenant à essayer de comprendre ce qu'a bien pu vouloir dire l'apprenant. Pour une progression à long terme, ce n'est pas sexy, mais il faut passer par de la méthode, des exigences communes à un même niveau, des habitudes de rédaction. Pour les exos de recherche, il y a les concours mathématiques (et le problème posé ici n'était franchement pas un problème de recherche).

Mais de toute façon, les lacunes des élèves, le manque de temps pour la répétition compte tenu de la lenteur que prend désormais le moindre calcul, et plus simplement la perte chez les élèves de la bonne habitude consistant à écrire dans un français syntaxiquement intelligible fait que nous n'avons plus la possibilité de travailler la rédaction.

jaybe a écrit:Il est extrêmement utile de se rendre compte qu'une première représentation/intuition que l'on se fait d'une situation n'est pas la bonne, c'est l'une des leçons les plus utiles que l'on peut tirer de l'intégralité de tout ce que l'on peut apprendre des mathématiques.

C'était d'ailleurs le but de cette partie de la formation.
Instinctivement on pense à 240 moins 200. Mais la seconde suivante on réalise que l'écart de 200 euros n'est alors pas respecté.

Je ne partage pas la formulation "piège/piégeur". Les énoncés que je qualifie ainsi sont ceux dans lesquels la part d'implicite rend non formalisable la résolution du problème (ou disons, la rend sujette à discussion/interprétation). Ici, il est juste question de montrer que la représentation première du problème n'est pas la bonne, et de motiver l'utilisation du cadre littéral comme pouvant apporter la réponse à toute personne qui accepte de travailler dans ce cadre.

L'obstacle premier s'apparente à celui d'un problème qui serait de type 3+?=8, dont la consigne serait écrite avec un mot se trouvant dans le registre de l'addition, qui enverrait beaucoup d'élèves et d'adultes sur 3+8 comme proposition de réponse incorrecte. Cela n'est pas un piège au sens "je m'amuse à planter les gens et j'y prends du plaisir" (du moins, j'espère bien que les personnes qui choisissent d'utiliser ce problème le font sans cette intention plus que douteuse !), cela fait partie intégrante du long parcours d'apprentissage de la résolution de problèmes, qui est lié à la tension entre langue courante et traduction mathématique, qu'il est totalement vain de vouloir résumer en un ensemble fini de motifs : si quelqu'un d'aussi brillant que Pólya s'y s'est cassé les dents, c'est bien que cette tâche n'est pas raisonnable.

Ce qui ne signifie pas que l'apprentissage de motifs soit une mauvaise chose, bien entendu. Mais cet apprentissage ne peut à lui seul recouvrir tout ce que l'on attend d'un apprentissage que l'on voudrait complet de comment attaquer un problème en mathématiques, et cet exemple y a sa place.

jaybe a écrit:Je ne partage pas la formulation "piège/piégeur". Les énoncés que je qualifie ainsi sont ceux dans lesquels la part d'implicite rend non formalisable la résolution du problème (ou disons, la rend sujette à discussion/interprétation). Ici, il est juste question de montrer que la représentation première du problème n'est pas la bonne, et de motiver l'utilisation du cadre littéral comme pouvant apporter la réponse à toute personne qui accepte de travailler dans ce cadre.

On parle de PE, donc d'enseignement primaire. À ma connaissance la notation littérale n'est pas introduite en primaire. Il faut donc résoudre le problème sans. Ça me paraît être le deal de base en primaire.