Le naufrage sans fin en mathématiques. Note d’alerte du CSEN

NLM76 a écrit:P.S. Je ne pratique pas vraiment les maths ; mais j'obtins jadis un Bac C, et une licence d'économétrie. Je n'ai pas le souvenir d'avoir jamais résolu un problème par "les produits en croix" : je fais toujours une règle de trois, en passant par l'unité.

La règle de trois c'est l'autre nom de la technique avec les produits en croix donc c'est uniquement un problème de vocabulaire, par contre dès qu'on fait un retour à l'unité alors il y a plus que trois nombres puisqu'on rajoute l'unité et le nombre qui lui correspond (qui est égal au coefficient de proportionnalité).

Au passage, je constate que beaucoup de personnes parlent de la règle de trois pour dénommer différentes méthodes pour résoudre les problèmes de proportionnalité. C'est étrange.

jojo a écrit:La seule écriture que je fais en ligne c'est l'expression euclidienne.

Je ne vois pas pourquoi ce serait déconseillé d'écrire les divisions qui tombent juste en ligne ?

Il serait sans doute très utile qu'on utlise aussi une notation dans le style 32 : 5 = 6 R 2 ou bien quelque chose qui y ressemble.

Ecrire une division euclidienne sous la forme : 32 = 5*6 + 2 me semble ajouter du brouillard à la compréhension car c'est tout de même très génant d'écrire une division sans utiliser le signe de la division. On ne va tout de même pas préférer 30 = 5*6 à la place de 30 : 5 = 6, non ?

Si on déclare que l'écriture 32 : 5 = 6 R 2 est équivalente à 32 = 5*6 + 2 alors il n'y a plus aucun problème à mes yeux tout comme on utilise le modulo finalement.

Oui c'est pourquoi je posais la question. Cela me dérange aussi que l'on n'écrive pas le signe de la division, ou alors on reste sur la fraction. Mais je me souviens aussi de l'Interdit Absolue de l'écriture que tu proposes avec le reste écrit R par mes professeurs de mathématiques de l'époque.
Je pense que c'est très difficile sans l'induire pour un élève de passer de la forme a/b= xb + r
Après on contourne si on ne présente que des divisions à reste nul, mais je ne trouve pas cela satisfaisant non plus.

maikreeeesse a écrit:Oui c'est pourquoi je posais la question. Cela me dérange aussi que l'on n'écrive pas le signe de la division, ou alors on reste sur la fraction. Mais je me souviens aussi de l'Interdit Absolue de l'écriture que tu proposes avec le reste écrit R par mes professeurs de mathématiques de l'époque.
Je pense que c'est très difficile sans l'induire pour un élève de passer de la forme a/b= xb + r
Après on contourne si on ne présente que des divisions à reste nul, mais je ne trouve pas cela satisfaisant non plus.

D'un côté les professeurs de maths ont raison l'écriture avec le R n'existe pas en France, mais d'un autre nous avons tous tort en France. Donc il faut effectueur une petite réforme sur ce point, histoire que tout le monde utlise la même notation, sachant que cela est utilisé dans d'autres pays.

Sur les calculatrices "collège" où on essaie depuis plusieurs années de suivre les notations usuelles et bien la disivion euclidienne est bancale quand on tape 32 |- 6 et bien on obtient deux résultats Q=5  R=2.

De toute manière si les puristes préfèrent la notation Dividende = Diviseur * Quotient + Reste pour illustrer un procéssus où on a deux nombres en entrée et deux nombres en sortie, on ne peut pas dire que c'est une notation formidable !!!

Au collège quand on écrit a * b/a = b qui devrait être une évidence et bien cela devient un tour de magie...

On pourrait bien entendu écrire que 32 : 6 = 32/6   mais là encore c'est ce compliquer la vie, en utilisant des fractions qui ne signifient rien à cet âge-là... Là encore certains pays notent 5 + 2/6 au lieu de 32/6. Ce qui donne du sens.

Ne jamais écrire de division euclidienne en ligne sous la forme "32 : 6 = ...."  apporte, pour moi, plus d'inconvénients que d'avantages.


D'ailleurs quand un élève rédige exactement comme on le voudrait alors c'est assez destabilisant de comprendre qu'il a fait une division si celle-ci n'est pas posée car il peut l'avoir fait de tête ou bien il l'a posée au brouillon. Habituellement quand un élève rédige rigoureusement on approuve un certain plaisir mais là on se rend surtout compte qu'on demande un truc étrange finalement.

Des élèves de 5ème me disent qu'ils n'ont jamais appris à diviser de tête. Pour moi cela devrait aller de paire avec les tables de multiplication car c'est tout de même une des raisons importantes qui nécessite la connaissance des tables, non ?

Manu7 a écrit:

NLM76 a écrit:P.S. Je ne pratique pas vraiment les maths ; mais j'obtins jadis un Bac C, et une licence d'économétrie. Je n'ai pas le souvenir d'avoir jamais résolu un problème par "les produits en croix" : je fais toujours une règle de trois, en passant par l'unité.

La règle de trois c'est l'autre nom de la technique avec les produits en croix donc c'est uniquement un problème de vocabulaire, par contre dès qu'on fait un retour à l'unité alors il y a plus que trois nombres puisqu'on rajoute l'unité et le nombre qui lui correspond (qui est égal au coefficient de proportionnalité).

Au passage, je constate que beaucoup de personnes parlent de la règle de trois pour dénommer différentes méthodes pour résoudre les problèmes de proportionnalité. C'est étrange.

En fait ce que je veux dire, c'est que si je sais que 22 kilos de patates coûtent 13€, pour savoir combien coûtent 17 kilos de patates, je sais que je divise 13 par 22 (mais sans "faire" l'opération !), puis que je multiplie par 17. Autrement dit, j'écris et pense (13/22) * 17, en comprenant pourquoi tel nombre est au numérateur, tel autre au dénominateur. Autrement dit, je pense qqch comme (13€/22kg)*17kg. C'est en cela que la règle de trois est pour moi différente du produit en croix. En l'espèce, pour faire le calcul, je multiplie d'abord 13 par 17, parce que je connais mes tables, et il se trouve que la division est ultra facile. Tout ça pour dire que je ne calcule pas le coefficient de proportionnalité, mais que dans ma règle de trois, je sais ce que représentent mes trois nombres, et pourquoi ils sont là.

Et sinon, les élèves sont évalués en CP, CE1, CM1, 6e, 4e puis 3e avec le brevet et Tale avec le BAC ...
Tout ça pour quoi ?

NLM76 a écrit:

Manu7 a écrit:

NLM76 a écrit:P.S. Je ne pratique pas vraiment les maths ; mais j'obtins jadis un Bac C, et une licence d'économétrie. Je n'ai pas le souvenir d'avoir jamais résolu un problème par "les produits en croix" : je fais toujours une règle de trois, en passant par l'unité.

La règle de trois c'est l'autre nom de la technique avec les produits en croix donc c'est uniquement un problème de vocabulaire, par contre dès qu'on fait un retour à l'unité alors il y a plus que trois nombres puisqu'on rajoute l'unité et le nombre qui lui correspond (qui est égal au coefficient de proportionnalité).

Au passage, je constate que beaucoup de personnes parlent de la règle de trois pour dénommer différentes méthodes pour résoudre les problèmes de proportionnalité. C'est étrange.

En fait ce que je veux dire, c'est que si je sais que 22 kilos de patates coûtent 13€, pour savoir combien coûtent 17 kilos de patates, je sais que je divise 13 par 22 (mais sans "faire" l'opération !), puis que je multiplie par 17. Autrement dit, j'écris  et pense (13/22) * 17, en comprenant pourquoi tel nombre est au numérateur, tel autre au dénominateur. Autrement dit, je pense qqch comme (13€/22kg)*17kg. C'est en cela que la règle de trois est pour moi différente du produit en croix. En l'espèce, pour faire le calcul, je multiplie d'abord 13 par 17, parce que je connais mes tables, et il se trouve que la division est ultra facile. Tout ça pour dire que je ne calcule pas le coefficient de proportionnalité, mais que dans ma règle de trois, je sais ce que représentent mes trois nombres, et pourquoi ils sont là.

Ce que tu appelles la règle de trois est un retour à l'unité. La règle de trois c'est la conséquence de l'égalité des produits en croix, mais comme parfois on parle aussi de la règle de trois pour le retour à l'unité c'est plus simple de parler de retour à l'unité et de la technique des produits en croix. Au final quand on maîtrise bien la proportionnalité cela devient un automatisme mais on aimerait bien apprendre l'automatisme avant la maîtrise comme souvent on veut mettre la charrue avant les boeufs.

Dans ta méthode il est clair que dans un premier temps on passe par des étapes car au primaire les élèves ne savent pas écrire des calculs du type 15/3 * 8. Donc on recherche d'abord le prix de 1 kg puis on calcule celui de 8 kg. Quand on maîtrise bien ces techniques alors on peut passer à une technique où on enchaîne les calculs mais à mon avis pas avant la cinquième et avec la calculatrice.

Peut-être qu'à une époque on voyait la règle de trois (calcul direct ou produits en croix) en primaire, mais avec des bases solides en calcul mental et posé. Et aussi une rigueur pour éviter toute confusion. En général on passait par une sorte de tableau où on alignait les quantités de même unité. A cette époque on voyait aussi les divisions décimales en primaire.

On a fait des "règles de trois" (à partir de 3 valeurs et d'une situation de proportionnalité on trouve la quatrième valeur - avec ou sans passage par l'unité) et c'était un grand moment de l'école primaire, qui a laissé des souvenirs à énormément de gens. Après, peu importe le nom et la méthode, du moment qu'on arrive au résultat. On m'a enseigné la règle de trois traditionnelle, mais ce que j'utilise personnellement c'est le produit en croix (en particulier pour résoudre les équations avec des fractions où l'inconnue est au dénominateur).
C'est pareil pour les identités remarquables ou le discriminant, ça reste un des souvenirs vivaces même chez les non matheux. Devoir réinventer à chaque fois la formule de (a + b)^2 par la double distributivité alors qu'il y a une formule ne me semble pas un progrès. Apprendre des formules simplifie les calculs et libère de l'énergie pour la réflexion. Apprendre sans comprendre permet quand même d'utiliser, et souvent la compréhension vient de cet usage, ce n'est pas un préalable à l'apprentissage. Il faut comprendre avant d'apprendre est (parfois) devenu une excuse de fainéant. J'ai appris à faire une division (posée) au primaire, mais je n'ai vraiment compris ce que je faisais que bien plus tard. Mes enfants ont appris tout un tas de procédures bien compliquées censées les aider à comprendre mieux, mais le fait est que procéduralement ils étaient au même âge, beaucoup moins efficaces que moi. Et à l'âge adulte, je reste meilleure procéduralement, et ... en compréhension aussi.
Les formules et méthodes sont là pour simplifier la vie de ceux qui comprennent, et pour permettre à ceux qui ne comprennent pas (ou pas encore) de "faire" quand même, en automatisant les tâches.
Je sors brouter avec mes copains dinosaures

chmarmottine a écrit:Et sinon, les élèves sont évalués en CP, CE1, CM1, 6e, 4e puis 3e avec le brevet et Tale avec le BAC ...
Tout ça pour quoi ?

Ah ça ne sert à rien ! Vous n'avez pas complété l'enquête que nous avons reçue après coup ? Une sorte de questionnaire au sujet des.modalites.et du contenu des tests.
J'y ai exprimé tout ce qui n'allait pas.

Je suis d'accord, dans une certaine  mesure évidemment avec la maxime "on ne comprend pas les maths, on s'y habitue", qui vaut aussi pour l'informatique à mon avis. L'impression d'etrangeté se mue en familiarité réconfortante à coup d exercices systématiques. On dit aussi qu'on apprend les maths avec les doigts...
Pour la proportionnalité j'ai decouvert avec mes élèves la règle de trois. Du fatras de tableaux avec des fleches que j'ai étudié je n ai rien retenu et je revenais toujours al'unitésauf pour des cas simples genre recette pour 6 vers pour 8. J'ai decouvert aussi avec mes eleves, bien plus tardivement, cette incroyable technique du triangle pour les relations genre u= rxi avec u en haut et r et i en bas, technique qui en dit long sur leur absence totale de compréhension des fractions ( je parle d eleves de terminale)

Je suis revenue aux "produits en croix" quand plus aucun de mes élèves de lycée ne savait résoudre (ou résoudre dans un temps raisonnable) une équation du genre 1/5 = 3/(2 x - 1) ...

Voltaire a écrit:Je suis revenue aux "produits en croix" quand plus aucun de mes élèves de lycée ne savait résoudre (ou résoudre dans un temps raisonnable) une équation du genre 1/5 = 3/(2 x - 1) ...

Tiens cette remarque m'intéresse car je me demande souvent l'intérêt des autres méthodes.

J'ai vu des profs de seconde interdire d'utiliser l'égalité des produits en croix, mais ils demandent dans ton exemple de multiplier chaque membre par 5 puis ensuite par 2x-1. Pour moi c'est exactement pareil. dans les deux cas, il faut étudier le cas 2x - 1 = 0.

On arrive à 2x - 1 = 5*3
2x = 16
x = 8

D'autres profs imposent de passer par 1/5 - 3/(2x-1) = 0 puis on obtient  : [(2x - 1) - 3*5] / 5(2x-1) = 0

et on retrouve la même équation 2x - 1 - 3*5 = 0 équivalente avec 2x - 1 = 5*3
mais avec bien plus d'étapes et certains profs disent que c'est mieux car on voit bien le dénominateur et on n'oublie pas d'étudier le signe de 2x - 1 .

Sauf que quand on applique bien l'égalité des produits en croix, on n'oublie pas non plus la règle de multiplication par un nombre non nul.

Le risque serait d'appliquer la technique rapide des produits en croix en faisant :

2x - 1 = (5*3)/1 sans vraiment savoir qu'on a multiplié par 5 et 2x - 1. Mais dans ce cas, on peut dès le départ remarquer qu'il y a un dénominateur qui est possiblement nul : 2x -1 et étudier ce cas car d'une manière ou d'une autre on y passera.

Je note que j'ai vu des profs imposer la méthode qui se termine par [(2x - 1) - 3*5] / 5(2x-1) = 0 car pour eux c'est plus rigoureux sauf qu'il oublient totalement que la question de la nullité intervient normalement quand on dit que 1/5 = 1(2x-1) / 5(2x-1) donc j'avoue ne pas bien comprendre toutes ses directives.

Pour ma part, passer par l'égalité des produits en croix est une méthode très simple qui évite de manipuler inutilement des fractions.

Je parle bien de a/b = c/d <=> a * d = b * c avec b et d différents de 0.

C'est clair qu'au niveau collège avec les rapports de Thalès, on va plus vite en passant directement de 14/AB = 5/8 à AB = 14 * 8 / 5.

Manu7, Voltaire quand je vous lis on se demande à quoi pensent les concepteurs des programmes ...

Manu7 a écrit:

Voltaire a écrit:Je suis revenue aux "produits en croix" quand plus aucun de mes élèves de lycée ne savait résoudre (ou résoudre dans un temps raisonnable) une équation du genre 1/5 = 3/(2 x - 1) ...

Tiens cette remarque m'intéresse car je me demande souvent l'intérêt des autres méthodes.

J'ai vu des profs de seconde interdire d'utiliser l'égalité des produits en croix, mais ils demandent dans ton exemple de multiplier chaque membre par 5 puis ensuite par 2x-1. Pour moi c'est exactement pareil. dans les deux cas, il faut étudier le cas 2x - 1 = 0.

On arrive à 2x - 1 = 5*3
2x = 16
x = 8

D'autres profs imposent de passer par 1/5 - 3/(2x-1) = 0 puis on obtient  : [(2x - 1) - 3*5] / 5(2x-1) = 0

et on retrouve la même équation 2x - 1 - 3*5 = 0 équivalente avec 2x - 1 = 5*3
mais avec bien plus d'étapes et certains profs disent que c'est mieux car on voit bien le dénominateur et on n'oublie pas d'étudier le signe de 2x - 1 .

Sauf que quand on applique bien l'égalité des produits en croix, on n'oublie pas non plus la règle de multiplication par un nombre non nul.

Le risque serait d'appliquer la technique rapide des produits en croix en faisant :

2x - 1 = (5*3)/1 sans vraiment savoir qu'on a multiplié par 5 et 2x - 1. Mais dans ce cas, on peut dès le départ remarquer qu'il y a un dénominateur qui est possiblement nul : 2x -1 et étudier ce cas car d'une manière ou d'une autre on y passera.

Je note que j'ai vu des profs imposer la méthode qui se termine par [(2x - 1) - 3*5] / 5(2x-1) = 0 car pour eux c'est plus rigoureux sauf qu'il oublient totalement que la question de la nullité intervient normalement quand on dit que 1/5 = 1(2x-1) / 5(2x-1) donc j'avoue ne pas bien comprendre toutes ses directives.

Pour ma part, passer par l'égalité des produits en croix est une méthode très simple qui évite de manipuler inutilement des fractions.

Je parle bien de a/b = c/d <=> a * d = b * c avec b et d différents de 0.

C'est clair qu'au niveau collège avec les rapports de Thalès, on va plus vite en passant directement de 14/AB = 5/8 à AB = 14 * 8 / 5.

La résolution des équations quotients est une absurdité des programmes usuels.

En seconde, seul les cas du type A(x)/B(x)=0 sont officiellement au programme. Pour résoudre 1/5=3/(2x-1), il faut donc tout faire passer "du même côté" pour se ramener à un second terme égal à zéro comme tu le fais ci-dessus.

Par ailleurs, on doit prendre garde au cas où B(x) s'annule, mais la notion d'ensemble de définition n'est plus au programme. On trouve donc dans les manuels des formations du type "A(x)/B(x)=0 si et seulement si A(x)=0 et B(x) différent de zéro", qui n'expliquent pas le pourquoi de cette seconde condition et sont à peu près incompréhensibles pour les élèves. Par ailleurs, cette réflexion n'est utilisée que dans ce chapitre et jamais réutilisée par la suite, puisqu'en première et terminale les élèves ne sont confrontés qu'à des fonctions dont l!ensemble de définition est déjà donné. La recherche à priori d'ensemble de définition est hors programme, même si elle serait bien utiles ne serait-ce que pour résoudre une équation du type ln(x^2)=1.

Quant à la résolution des équations du type A(x)/B(x)=C(x)/D(x) par produit en croix, il semble que les élèves soient censés la maîtriser à partir d'un certain niveau, sans jamais qu'on leur ait appris.

J'entends bien que le produit en croix est peut-être une méthode trop magique en primaire/début collège si on n'a pas suffisamment travaillé au préalable le retour à l'unité, mais  y a aussi un moment oû il faudrait l'introduire et le maîtriser.

Manu7 a écrit:

jojo a écrit:La seule écriture que je fais en ligne c'est l'expression euclidienne.

Je ne vois pas pourquoi ce serait déconseillé d'écrire les divisions qui tombent juste en ligne ?

Il serait sans doute très utile qu'on utlise aussi une notation dans le style 32 : 5 = 6 R 2 ou bien quelque chose qui y ressemble.

Ecrire une division euclidienne sous la forme : 32 = 5*6 + 2 me semble ajouter du brouillard à la compréhension car c'est tout de même très génant d'écrire une division sans utiliser le signe de la division. On ne va tout de même pas préférer 30 = 5*6 à la place de 30 : 5 = 6, non ?

Si on déclare que l'écriture 32 : 5 = 6 R 2 est équivalente à 32 = 5*6 + 2 alors il n'y a plus aucun problème à mes yeux tout comme on utilise le modulo finalement.

Le problème de cette écriture par quotient et reste est qu'à droite de l'égalité on a deux objets mathématiques, ce qui déroge à la sémantique usuelle de = et renforce la conception de ce signe comme résultat d'un calcul plutôt que comme la désignation d'un même objet mathématique par ce qui est à gauche et ce qui est à droite.
Dans les langages de programmation on s'affranchit de ce genre de problème en fournissant deux opérateurs distincts qui calculent respectivement le quotient entier et le reste, en plus de la division usuelle qui donne un résultat en virgule flottante.

Ce qui est théoriquement appris en 6ème, c'est la définition d'une fraction (a/b) qui est un nombre qui multiplié par b donne a soit :
b x (a/b)=a ( pour b non nul bien sur ).

A partir de là, la démonstration du produit en croix est facile et l'on peut toujours multiplier une égalité par un même nombre sans modifier l'égalité (si de plus le nombre par lequel on multiplie est non nul, on à équivalence )
ainsi si a/b=c/d
b x d x (a/b)=b x d x (c/d)
avec un peu de commutativité de la multiplication on a :
d x b x (a/b)=b x d x (c/d) on reconnait que b x (a/b)=a et que d x (c/d) = d
d'où ad=bc

Je ne vois pas, ce qui peut empêcher un élève ou son professeur de multiplier de chaque côté, par le produit des dénominateurs, puis "simplifier" ( toujours si ils sont non nuls ).
Tout d'un coup, les équations avec des fractions deviennent plus simple.
Ce que je vois en seconde et première c'est la non maîtrise voir l'ignorance de ce qu'est une fraction:
presqu'aucun élève quand la question est posée me répond : "un nombre"... je trouve cela bien triste.

Mathador a écrit:

Manu7 a écrit:

jojo a écrit:La seule écriture que je fais en ligne c'est l'expression euclidienne.

Je ne vois pas pourquoi ce serait déconseillé d'écrire les divisions qui tombent juste en ligne ?

Il serait sans doute très utile qu'on utlise aussi une notation dans le style 32 : 5 = 6 R 2 ou bien quelque chose qui y ressemble.

Ecrire une division euclidienne sous la forme : 32 = 5*6 + 2 me semble ajouter du brouillard à la compréhension car c'est tout de même très génant d'écrire une division sans utiliser le signe de la division. On ne va tout de même pas préférer 30 = 5*6 à la place de 30 : 5 = 6, non ?

Si on déclare que l'écriture 32 : 5 = 6 R 2 est équivalente à 32 = 5*6 + 2 alors il n'y a plus aucun problème à mes yeux tout comme on utilise le modulo finalement.

Le problème de cette écriture par quotient et reste est qu'à droite de l'égalité on a deux objets mathématiques, ce qui déroge à la sémantique usuelle de = et renforce la conception de ce signe comme résultat d'un calcul plutôt que comme la désignation d'un même objet mathématique par ce qui est à gauche et ce qui est à droite.
Dans les langages de programmation on s'affranchit de ce genre de problème en fournissant deux opérateurs distincts qui calculent respectivement le quotient entier et le reste, en plus de la division usuelle qui donne un résultat en virgule flottante.

Oui, mais pourtant cela n'empêche d'autres pays d'utiliser une telle notation mais on pourrait aussi utiliser une notation dans le style :

32 : 5 -> 5 R 2

En 3ème en arithmétique j'utilise une notation avec une accolade :

32 : 5 { Q=5 R=2  en écrivant les deux égalités l'une au-dessus de l'autre. Il me semble que cela illustre bien le fait qu'il y a deux résultats attendus dans une division euclidienne. Et je me refuse à utiliser la notation 32 : 5 = 6 R 2 car je ne veux pas transgresser les règles de l'égalité qui est une relation d'équivalence. Mais on n'étudie plus des propriétés de l'égalité comme a=a (reflexivité), a=b implique b=a (symétrique) et la plus belle, la transitivité a=b et b=c implique a=c (les amis de mes amis sont mes amis).

Mais ce petit écart ne me choquerait pas sachant que dans le primaire malheureusement le "=" est malméné comme dans l'exemple :

4 + 5 = 9 - 7 = 2  Je lutte encore contre ce genre d'erreurs mais pour combien de temps ???

Prezbo a écrit:En seconde, seul les cas du type A(x)/B(x)=0 sont officiellement au programme. Pour résoudre 1/5=3/(2x-1), il faut donc tout faire passer "du même côté" pour se ramener à un second terme égal à zéro comme tu le fais ci-dessus.

C'est en effet assez ridicule car avec Thalès en 3ème on rencontre des équations du style x/x+5 = 5/8 et on passe par l'égalité des produits en croix.

A la limite si j'étais élève en seconde je pense que je dirais carrément que 1/5 = 3/(2x-1) n'est pas une équation du type A(x)/B(X) = 0 donc j'utilise la méthode vue en 3ème qui nous autorise à multpiler par 5 puis par (2x-1) à condition que 2x-1 ne soit pas nul.

En troisième les élèves voient la règle : "On peut multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre non nul".

En math, j'ai toujours trouvé étrange qu'on puisse imposer une méthode alors que plusieurs sont possibles sans aucune précision dans l'énoncé.

Au DNB, quand on attendait une résolution d'équation pour résoudre un problème on voulait toujours retirer des points à ceux qui avaient trouvé sans passer par des équations. C'est absurde, si on veut passer par des équations et bien il suffit de faire un énoncé adapté.

En CM1, le manuel "J'apprends les maths" de Brissiaud propose la présentation suivante :

17:5 ?
q = 3
r = 2  car 17 = 5 x 3 + 2

Voir ICI  page 58 par exemple.

Quelques égalités à méditer : 17 = 5 x 3 + 2 et 17 = 5 x 2 + 7 mais aussi 17 = 5 x 4 - 3 : laquelle est une division euclidienne ? Il ne faut pas oublier la condition 0 <= reste < diviseur ...

Oui bien sûr.

Je trouve ça très bien comme présentation ! Si tous les élèves arrivaient en 6e en ayant compris cela, on avancerait bien plus vite !
Et effectivement, la notation "30 : 4 = 7 r 2", que je trouve régulièrement et qui se transforme de temps en temps en "30 : 4 = 7 + 2", m'insupporte.
En revanche, je ne vois pas pourquoi on n'utiliserait pas la notation "28 : 4 = 7" lorsque le reste est égal à 0.

Sinon 30:4=7r2 peut être écrite 30/4=7+2/4 (bon je préfère 7+1/2 évidemment, mais cela change le sens), avec des fractions anglaises ("mixed fractions").

Rubik a écrit:Je trouve ça très bien comme présentation ! Si tous les élèves arrivaient en 6e en ayant compris cela, on avancerait bien plus vite !
Et effectivement, la notation "30 : 4 = 7 r 2", que je trouve régulièrement et qui se transforme de temps en temps en "30 : 4 = 7 + 2", m'insupporte.
En revanche, je ne vois pas pourquoi on n'utiliserait pas la notation "28 : 4 = 7" lorsque le reste est égal à 0.

Oui !
Globalement, je trouve très bien le travail sur la division dans cette approche Brissiaud.

chmarmottine a écrit:En CM1, le manuel "J'apprends les maths" de Brissiaud propose la présentation suivante :

17:5 ?
q = 3
r = 2  car 17 = 5 x 3 + 2

Voir ICI  page 58 par exemple.

Cette notation ressemble beaucoup à celle que j'utilise avec une accolade en plus. Par contre le "car" est surprenant puisqu'en posant la division on trouve q et r avant d'écrire l'égalité. Ce "car" me fait penser aux élèves qui cherchent un quotient en testant plusieurs nombres au lieu de réellement diviser surtout quand on sort du cadre des tables.

J'aurai tendance à ne pas trop apprécier le "?" car on mélange les notations mathématiques avec le français. Mais j'avoue qu'il m'arrive souvent de mettre un "?" au-dessus du "="...

Manu7 a écrit:

chmarmottine a écrit:En CM1, le manuel "J'apprends les maths" de Brissiaud propose la présentation suivante :

17:5 ?
q = 3
r = 2  car 17 = 5 x 3 + 2

Voir ICI  page 58 par exemple.

Cette notation ressemble beaucoup à celle que j'utilise avec une accolade en plus. Par contre le "car" est surprenant puisqu'en posant la division on trouve q et r avant d'écrire l'égalité. Ce "car" me fait penser aux élèves qui cherchent un quotient en testant plusieurs nombres au lieu de réellement diviser surtout quand on sort du cadre des tables.

J'aurai tendance à ne pas trop apprécier le "?" car on mélange les notations mathématiques avec le français. Mais j'avoue qu'il m'arrive souvent de mettre un "?" au-dessus du "="...

De mémoire, cette notation est utilisée rapidement, avant l'apprentissage de la division posée.

L'idée de la méthode est de percevoir la division de 17 par 5 comme étant la recherche de "dans 17 combien de fois 5 et combien il reste" et de comprendre que cette recherche répond à deux problèmes (division-partage et division-quotition). En réalité, l'égalité est trouvée en premier.

Le ? est là pour rappeler la question à se poser quand on tombe sur le signe de la division.