Angles 6e : la bissectrice

ycombe a écrit:

ProfMI a écrit:Plus au programme donc ne doit pas être présent dans le cours selon moi.
Pourquoi pas une activité avec une bonne classe, oui.
Avoir au programme des notions pour des notions, ça ne sert à rien. L'essentiel est de transmettre ce qui caractérise la discipline "mathématiques". Et il est encore possible de faire des démonstrations suffisamment intéressantes avec les programmes actuels.
Les remarques de @ycombe sont très intéressantes mais délirantes dans le cadre de l'enseignement en 6ème. Je ne pense pas me tromper en pariant que certaines de ces remarques sont déjà limite pour certains reçus au CAPES récent.

Je découvre qu'il est délirant de donner en sixième la définition de la bissectrice et sa construction au compas. Les sixièmes ont beaucoup changé depuis que j'ai commencé à enseigner, manifestement.

«il est encore possible de faire des démonstrations suffisamment intéressantes avec les programmes actuels»
Tout est dans le encore… mais la géométrie n'est pas un prétexte à faire des démonstrations pour faire plaisir aux gens qui ont écrit les programmes. La géométrie est une construction scientifique dont la démonstration est l'outil de base pour l'étude. Les démonstrations en dehors d'une construction cohérente n'ont pas de sens en mathématiques et ne sont que des exercices sur le raisonnement sans plus d'intérêt que le «2+2=5 implique que je suis le pape» de Russel.

Franchement, il ne reste plus tellement de propriétés pour travailler réellement les démonstrations nous avons perdus un sacré paquet :

- triangle inscrit dans un demi-cercle
- la médiane et tous ses théorèmes
- la bissectrice et tous ses théorèmes (équidistances, etc...)
- orthocentre
- la moitié des propriétés des quadrilatères
- la droites des milieux (3 propriétés)
- la tangente à un cercle
- cercle circonscrit au triangle


Nous avons gagné les triangles semblables et égaux qui étaient déjà très pénibles au lycée... On a regagné la translation et la rotation mais on ne doit pas donner de définition ponctuelle, bref c'est pour faire de la déco avec des frises et plus c'est flou plus c'est bien.

Si bien qu'arrivé en 3ème, dès qu'on demande une démonstration, les élèves hésitent entre Thalès et Pythagore et il ne faut surtout pas espérer plusieurs étapes.

J'ai vu qu'on parlait des systèmes plus haut, là je serai tout de même étonné qu'un prof même très volontaire puisse encore s'écarter des textes jusqu'à voire les systèmes d'équations car c'était un vrai chapitre avec les 3 méthodes (combinaison, substitution, intersection de droites). J'aimais beaucoup ce chapitre et les élèves aussi, ils étaient contents de trouver le couple solution en suivant une méthode complexe mais pour une fois, on ne demandait pas un truc évident ou que la calculatrice donnait directement.
Cela préparait aussi les équations de droites.

Pour le calcul littéral par contre, je n'ai jamais lâché les identités ni l'entraînement continu. Factoriser avec 3 identités, ok mais factotiser avec une seule, c'est comme inventer le jouet pour enfant où on emboite des formes avec une seule forme... Ou bien le QCM avec uniquement la réponse a)

Attention pour l'exemple du QCM avec une seule réponse car nous avons eu le cas au DNB, pour la formule du volume d'une boule, il y avait trois réponses, mais nous devions mettre des points pour les réponses fausses car finalement elles ressemblaient beaucoup à la bonne réponse !!!
Si bien que la seule possibilité d'avoir zéro était de ne pas répondre et même avec 2 ou 3 réponses alors qu'on en demandait qu'une on avait des points !!!

Pour revenir sur la bissectrice, quand on est en 6ème, il y a vraiment de nombreux exercices sur les angles adjacents qui sont intéressants, et rien que les deux constructions c'est très utile et cette prise de conscience que la construction au compas est finalement très précise et évite les questionnements sur la moitié de 79° alors que le rapporteur n'a pas de demi-degré, etc... Et d'un autre côté, on travaille aussi les moitiés ce qui n'est jamais inutile...

Je trouve que les inéquations étaient très utiles car cela permettait de revenir sur les résolutions d'équations quelques mois après et cela aidait beaucoup d'élèves il me semble.

Rubik a écrit:Je trouve que les inéquations étaient très utiles car cela permettait de revenir sur les résolutions d'équations quelques mois après et cela aidait beaucoup d'élèves il me semble.

+1
Et en plus on préparait la notion d'intervalle. Et on voyait aussi "inférieur ou égal", alors que maintenant les collègiens débarquent au lycée sans savoir que cela existe et pour eux inférieur se note encore < ...

Oui petit à petit, il ne reste plus grand chose des maths...

Inférieur ou égal je le fais encore en 6e et j'en parle aux autres niveaux quand les énoncés de problèmes sont imprécis et qu'on ne sait pas trop ce qu'il faut répondre.

Le problème n’est pas tant que ce ne soit plus assez travaillé au collège, le problème est qu’en Seconde on prétend qu’en 4 heures par semaine on peut rattraper le tir ET faire ce qu’on faisait avant. Il eût fallu simplement que le programme de Seconde soit beaucoup plus modeste.

Faire le chapitre sur les angles en sixième sans parler (et définir dans le cours évidemment) la bissectrice, c'est complètement idiot. Je n'arrive même pas à croire qu'un prof de maths digne de ce nom puisse l'envisager.

ylm a écrit:Faire le chapitre sur les angles en sixième sans parler (et définir dans le cours évidemment) la bissectrice, c'est complètement idiot. Je n'arrive même pas à croire qu'un prof de maths digne de ce nom puisse l'envisager.

Je n'arrive pas à croire qu'on puisse dire ça, alors que c'est hors programme. Qu'on s'y aventure pourquoi pas, mais que ce soit un passage obligé : non.

Badiste75 a écrit:Le problème n’est pas tant que ce ne soit plus assez travaillé au collège, le problème est qu’en Seconde on prétend qu’en 4 heures par semaine on peut rattraper le tir ET faire ce qu’on faisait avant. Il eût fallu simplement que le programme de Seconde soit beaucoup plus modeste.

Moi je dirais qu'au contraire, si on veut former des gens un peu calé en maths et science, ce n'est pas le programme de lycée qu'il faut alléger, c'est celui de collège qu'il faut renforcer. En virant les trucs "cosmétiques" ou non mathématiques et en remettant des bases solides en calcul littéral, équations, et un peu plus de démonstrations en géométrie. (on peut, par exemple, réserver scratch au cours de techno, peut-être enlever les triangles semblables qui n'ont pas un gros intérêt au niveau du raisonnement, et ces histoires de frises devraient être réservées au CM2 ou à des activités sympas d'avant vacances...).
Et effectivement, les inéquations c'était très bien de les faire peu après les équations, parce que ça permettait d'expliquer pourquoi on insiste sur "faire la même opération des deux côtés" plutôt que sur le magique "je change de côté / je change de signe"

Je n'arrive pas à croire que les concepteurs de programme aient pu élaborer ces programmes. (Collège 2016). Et que ceux de la réforme du lycée aient simplement ajouté tout ce qu'il manquait dans le programme de seconde, comme si c'était faisable de tout rattraper correctement en 4h par semaine en classe entière.
Illusion, j'écris ton nom....

Pat B a écrit:...peut-être enlever les triangles semblables qui n'ont pas un gros intérêt au niveau du raisonnement...

Ce que j'apprécie avec les triangles semblables, c'est qu'on peut jouer sur la réduction et l’agrandissement pour remettre une couche sur la proportionnalité. Et démontrer Thalès avec ça (mes droites sont parallèles, donc les triangles sont semblables, donc proportionnels, donc j'ai mes égalités). Bien sûr, on cache le problème sous le tapis, mais je trouve que c'est très agréable. Bien plus que passer par un passage à la limite.

montjoie-saintdenis a écrit:

ylm a écrit:Faire le chapitre sur les angles en sixième sans parler (et définir dans le cours évidemment) la bissectrice, c'est complètement idiot. Je n'arrive même pas à croire qu'un prof de maths digne de ce nom puisse l'envisager.

Je n'arrive pas à croire qu'on puisse dire ça, alors que c'est hors programme. Qu'on s'y aventure pourquoi pas, mais que ce soit un passage obligé : non.

Pour moi ça n'est pas hors programme : il y est question de partages d'angles. Peut-on parler de partages d'angles sans évoquer le plus basique et évident d'entre eux, en deux parts égales ? Je dis que non.

Il faut bien reconnaître que statistiquement, parmi tous les partages d'angle possibles, celui de la bissectrice est un cas si particulier qu'il en est négligeable, et la géométrie n'a pas vocation à s'intéresser à des cas particuliers.

Oh wait !! :diable:

ylm a écrit:Pour moi ça n'est pas hors programme : il y est question de partages d'angles. Peut-on parler de partages d'angles sans évoquer le plus basique et évident d'entre eux, en deux parts égales ? Je dis que non.

Partage d'angles ? Peux-tu me dire où ça dans le BO, car ce n'est pas dans le mien ?

montjoie-saintdenis a écrit:

ylm a écrit:Pour moi ça n'est pas hors programme : il y est question de partages d'angles. Peut-on parler de partages d'angles sans évoquer le plus basique et évident d'entre eux, en deux parts égales ? Je dis que non.

Partage d'angles ? Peux-tu me dire où ça dans le BO, car ce n'est pas dans le mien ?

Vous avez raison.

Les seuls partages d'angles restants dans le holy BO sont celui du partage de l'angle plat en deux angles droits et de l'angle droit du carré par la diagonale en deux angles égaux (ce sont des bissectrices mais chuuut).

Le partage d'angles a disparu quand ont disparu du programme les angles complémentaires et supplémentaires et donc les angles opposés par le sommet (et forcément les angles au centre).

Je note malgré tout que ce même BO nous invite à additionner trois angles pour reconstituer un angle plat afin de démontrer la somme des angles du triangle, et donc finalement à partager un angle plat en trois.

Si l'on fait abstraction de ce dernier exemple, on n'a en effet plus besoin du partage d'angles mis à part ces deux cas particuliers, même si c'est quelque chose de tout à fait basique, plutôt naturel et tout à fait accessible à de jeunes élèves (ils tracent parfois des diagonales). D'après Saint-BO-priez-pour-nous bien sûr.

Je remarque que ces derniers ont tendance à ne pas pouvoir s'empêcher de s'interroger sur le cas général lorsque l'on leur présente un cas particulier, avec la fâcheuse tendance à simplement transposer ce cas particulier au cas général, d'autant plus quand ils n'ont pas été confrontés à autre chose que celui-ci.

Je vous laisse deviner ce que ça peut donner pour la diagonale du rectangle. En fait non je vous le dis : deux angles de 45° ou même deux angles égaux dont la somme ne fait même pas 90°, mais who cares ?

Moins on étudie des situations basiques comme le partage d'un angle, plus on va être amené à admettre de nombreuses propriétés. C'est contre-productif si l'on a encore comme moi l'espoir de développer l'esprit critique de nos élèves.

Bien sûr on peut admettre nombre de propriétés comme autant de postulats, ce qui n'interdit pas de belles démonstrations, mais c'est un peu dommage et c'est s'éloigner de l'esprit de la construction scientifique de la géométrie comme le rappelle si bien et toujours @ycombe.

J'ai en tête une vidéo postée naguère par ce dernier sur l'excellent fil consacré à des problèmes de maths, mettant en scène un mathématicien et son fils, où les angles et leur partage interviennent (ou pas   ), comme souvent. En voyant les raisonnements développés par ce garçon, avec toutes ses hésitations, j'ai réalisé que c'était tout à fait ce à quoi j'aspirais pour mes élèves en leur enseignant la géométrie, ce que la Bible Officielle ne permet effectivement pas en l'état.

J'ai fait le choix de m'en détacher un peu, et pour vous aider à franchir ce pas, dans le marasme que fut #Collège2016, j'ai retenu cette phrase qu'ont prononcée les IPR, et qui n'est pas tombée dans l'oreille d'un sourd : le programme n'est ni un minimum, ni un maximum.

Dont acte, faisons preuve de bon sens.

montjoie-saintdenis a écrit:

ylm a écrit:Pour moi ça n'est pas hors programme : il y est question de partages d'angles. Peut-on parler de partages d'angles sans évoquer le plus basique et évident d'entre eux, en deux parts égales ? Je dis que non.

Partage d'angles ? Peux-tu me dire où ça dans le BO, car ce n'est pas dans le mien ?

Page 207 de la version pdf :

BO a écrit:établir des relations entre des angles (sommes, partages ...

ylm a écrit:

montjoie-saintdenis a écrit:

ylm a écrit:Pour moi ça n'est pas hors programme : il y est question de partages d'angles. Peut-on parler de partages d'angles sans évoquer le plus basique et évident d'entre eux, en deux parts égales ? Je dis que non.

Partage d'angles ? Peux-tu me dire où ça dans le BO, car ce n'est pas dans le mien ?

Page 207 de la version pdf :

BO a écrit:établir des relations entre des angles (sommes, partages ...

Merci, mais le lien est pour un BO datant de 2015 ? Le plus récent (2020) ne parle pas de ça, voici juste ce qu'il dit :

BO cycle 3 a écrit:
Angles
Identifier des angles dans une figure géométrique.
Comparer des angles, en ayant ou non recours à leur mesure (par superposition, avec un calque).
Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.
Estimer qu’un angle est droit, aigu ou obtus.
Utiliser l’équerre pour vérifier qu’un angle est droit, aigu ou obtus, ou pour construire un angle droit.

Utiliser le rapporteur pour:
 -déterminer la mesure en degré d’un angle;
 -construire un angle de mesure donnée en degrés.
Notion d’angle.
Lexique associé aux angles:angle droit, aigu,obtus.
Mesure en degré d’un angle.

Anda91 a écrit:

Pat B a écrit:...peut-être enlever les triangles semblables qui n'ont pas un gros intérêt au niveau du raisonnement...

Ce que j'apprécie avec les triangles semblables, c'est qu'on peut jouer sur la réduction et l’agrandissement pour remettre une couche sur la proportionnalité. Et démontrer Thalès avec ça (mes droites sont parallèles, donc les triangles sont semblables, donc proportionnels, donc j'ai mes égalités). Bien sûr, on cache le problème sous le tapis, mais je trouve que c'est très agréable. Bien plus que passer par un passage à la limite.

Franchement j'ai un gros doute, pour moi la proportionnalité des côtés des triangles semblables c'est une conséquence du théorème de Thalès donc je ne pense pas qu'on puisse démontrer Thalès avec les triangles semblables. Et d'une manière générale, c'est très compliqué de démontrer Thalès au collège, il y a une histoire avec la densité de Q dans R. En IUFM, le grand spécialiste nous avait mis en garde, il disait qu'à l'oral de CAPES on ne devait jamais dire qu'on démontrait Thalès.

Le problème des théorèmes pour les triangles semblables c'est qu'ils sont souvent ambigus et on peut les comprendre de travers.

D'ailleurs, même si c'est pas le sujet du fil, vu qu'on en parle, vous introduisez comment le théorème de Thalès en 4ème ?

Oui, il y a BO collège 2016, mais aussi les version 2017, 2018, etc... Nous avons choisi un livre en juin qui est devenu hors programme en juillet l'année où on a viré les inéquations !!!

Donc plus aucun prof n'a une idée commune des programmes de collège, quand je lis plus haut qu'on a viré les angles supplémentaires et complémentaires, je me dis que je le savais mais quand on dit que c'est aussi le cas pour les angles angles opposés par le sommet, je ne savais pas !!! Pourtant il y a encore les angles alternes internes et correspondants et j'utilise les angles opposés par le sommet dans ce chapitre, pas vous ? Et je n'ai pas envie de faire sans.

Avec la réforme de 2016, les profs de maths au collège font des progressions très différentes. Je passe bien 15 jours sur les identités remarquables (et plus...) alors que d'autres passent 1h voire pas du tout (l'année où c'était hors programme). Pendant une correction DNB, j'ai découvert des collègues qui n'avaient pas eu le temps de faire le chapitre arithmétique, mais ils avaient sans doute mieux vu les probas que moi (j'avais fait 3h...) et je ne vois pas le ratio, les coordonnées sur une sphère, etc...

montjoie-saintdenis a écrit:Merci, mais le lien est pour un BO datant de 2015 ? Le plus récent (2020) ne parle pas de ça, voici juste ce qu'il dit :

BO cycle 3 a écrit:
Angles
Identifier des angles dans une figure géométrique.
Comparer des angles, en ayant ou non recours à leur mesure (par superposition, avec un calque).
Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.
Estimer qu’un angle est droit, aigu ou obtus.
Utiliser l’équerre pour vérifier qu’un angle est droit, aigu ou obtus, ou pour construire un angle droit.

Utiliser le rapporteur pour:
 -déterminer la mesure en degré d’un angle;
 -construire un angle de mesure donnée en degrés.
Notion d’angle.
Lexique associé aux angles:angle droit, aigu,obtus.
Mesure en degré d’un angle.

Tiens oui. En fait ce sont tous les exemples de situations, d'activités et d'outils pour l'élève qui ont disparu, et c'est la même chose pour le cycle 4. Ça doit faire un bon tiers du programme de maths du collège qui a disparu l'été dernier.

Mais ça ne doit pas être qu'en maths, je vois qu'on est passé d'un pdf de 386 pages à un pdf de 138 pages pour les programmes du cycle 4. Quelque chose m'échappe, comment une réforme des programmes aussi importante a-t-elle pu se faire aussi discrètement (en tout cas je n'en avais pas entendu parler) ?

montjoie-saintdenis a écrit:D'ailleurs, même si c'est pas le sujet du fil, vu qu'on en parle, vous introduisez comment le théorème de Thalès en 4ème ?

Vu que tu en parles , là encore je regrette vraiment d'avoir respecter le programme 2016 qui demandait d'aborder Thalès en 3ème, car avant je voyais Thalès en 4ème dans la version triangles puis la version "papillon' et la réciproque en 3ème. Cela marchait bien.
L'an dernier nous avions décidé de revenir en arrière puisque le BO demande la marche arrière (même chose pour le calcul fractionnaire). Mais nous n'avons pas eu le temps avec le covid.

Mais sinon, ma manière de découvrir Thalès n'est pas très ambitieuse, je fais construire différentes configurations et je fais observer la proportionnalité ou pas, finalement on observe que la configuration avec parallèle est la plus proche de la proportionnalité et on admet le théorème. C'est aussi intéressant de l'observer avec un logiciel de géométrie. Mais j'insiste sur le fait que ce n'est pas une preuve et souvent je zappe le logiciel car le logiciel a disparu de l'ordi ou bien le vidéoprojecteur quand il fonctionne déforme tellement les figures que cela n'a pas de sens... J'utilise l'ordi principalement quand je suis inspecté car ensuite, même si le cours est pourri avec un ordi qui rame alors l'IPR est toujours admiratif...

Manu7 a écrit:
Mais sinon, ma manière de découvrir Thalès n'est pas très ambitieuse, je fais construire différentes configurations et je fais observer la proportionnalité ou pas, finalement on observe que la configuration avec parallèle est la plus proche de la proportionnalité et on admet le théorème.

Tu dis ça comme si c'était obligatoire. Pourquoi s'embêter à le faire découvrir ? Ça n'a aucun intérêt et ça prend un temps qui peut être mieux utilisé ailleurs. On l'admet directement et on passe à l'étude d'exemples d'utilisation.

La dernière fois que j'ai traité Thalès avec des quatrièmes (en une heure évaluation comprise), le déroulé avait ressemblé à ça :
* position du problème (10 minutes) : "tracez deux sécantes et deux parallèles, mesurez les angles et les longueurs" ; le truc est de nommer les points de façon uniforme, et de disposer le résultat des mesures de façon à faire apparaître les côtés homologues ; l'enjeu essentiel est de rappeler le vocabulaire des angles (correspondants, alternes-internes, opposés par le sommet) et de préciser que des égalités d'angles servent en particulier à coder le parallélisme sur une figure (en France du moins, en Angleterre ils procèdent différemment) ; évidemment on en profite pour vérifier qui sait mesure à la règle/au rapporteur (les erreurs classiques : zéro pas en face d'une extrémité du segment, ou bien lecture à l'envers au rapporteur du genre 42° au lieu de 38°)
* énoncé de l'astuce qui tue (les élèves aiment bien) : écrire les noms des deux triangles l'un au-dessus de l'autre, en partant du sommet commun, et en tournant dans le même sens pour les deux triangles (le sens trigo évidemment mais sans utiliser ce vocabulaire) ; alors on obtient les trois couples de côtés homologues en cachant une colonne de dux lettres à la fois, plutôt de la droite vers la gauche afin de finir par les côtés parallèles (cette astuce fonctionne très bien sur 80% des élèves mais il y a 20% qui préfèrent ne pas s'en servir et repartir de la figure, en général ces 20% appartiennent aux bons élèves d'ailleurs)
* le résultat (2 minutes) et la rédaction "standard" (2 minutes) : "deux sécantes et deux parallèles déterminent des triangles proportionnels (semblables, de même forme)" et la rédaction "(AB) et (CD) sont sécantes en E, (AC)//(BD), donc (Thalès) EA/EB=EC/ED=AC/BD"
* une demi-douzaine d'exercices rédigés (30 minutes), en insistant sur les techniques calculatoires (PEMR, proportionnalité, aplatissement d'équations du type x/(x+3)=5/7)
* une éval de dix minutes.

L'avantage d'aller ainsi droit au but est que les élèves sont chauds bouillants le temps d'arriver à l'évaluation, qui est en général extrêmement bien réussie, ce qui permet ensuite de désamorcer les discours de feignasses à la "gépacompri" ; "ah bon mais comment tu as fait pour avoir 9,5/10 à l'éval alors ? Tu veux dire que tu n'as pas appris plutôt non ?".

On remarquera que le cas papillon est inclus dans la démarche, on peut lors de la position du problème décider qu'on se limite en quatrième au cas où le point d'intersection est à l'extérieur de la bande des parallèles ("un petit triangle dans un grand triangle"), ou pas, peu importe en fait.

Pour la démonstration, utiliser celle d'Euclide avec le théorème du papillon, basée sur les aires, permet d'éviter cette histoire de construction des réels, non ?
Et plutôt que la densité des rationnels dans les réels, on peut pour ces aires se contenter de la densité des décimaux dans les réels, ce qui me semble plus facile à concevoir (dès le primaire, bien sûr). On peut se reporter à l'excellent article de Demailly sur le sujet, d'ailleurs (avec des logarithmes en troisième, comme dans les pays développés ; j'ai testé, ça marche bien).

D'ailleurs sur la construction des nombres je suis un peu mal à l'aise je dois l'avouer, il me semble qu'il y a au collège un manque entre l'approche primaire (on mesure en cm puis en mm et on imagine qu'avec une règle plus précise ou un microscope on pourrait sortir une ou deux décimales de plus) et le supérieur (enfin des trucs qui devraient être au lycée) Cauchy, Riemann, Dedekind...

Du point de vue du prof de lycée (seconde) il n'y a plus aucune culture mathématique commune entre élèves venant de collèges différents, que ce soit le contenu ou les méthodes. Et avec des élèves plutôt rebelles face aux nouveautés, c'est devenu extrêmement compliqué de recaler tout ça.

Ben, je crois qu'il faut être sérieux : le densité de certains ensembles dans R, vraiment ? Lorsque la plupart des élèves moyens sont en PLS devant le fait que x^2 n'est pas égal à 2x ?
Qu'on ne s'y trompe pas, je n'aime pas le nivellement par le bas qui est instauré de façon systématique dans l'EN... Mais pour enseigner, il faut savoir hiérarchiser les difficultés et même avec une bonne classe, je ne vois pas vraiment d'élèves de quatrième qui serait en mesure de comprendre une histoire de densité (il faudrait déjà qu'il comprennent les calculs avec les fractions...).