Aide exercice (sujet de concours)

Bonjour à toutes et à tous,

Je m'entraine actuellement pour l'oral du concours CAER. J'ai assisté à une formation, j'ai déjà préparé plusieurs sujets mais là je suis face à un sujet donc l'exercice lui même me pose problème...

Voici le sujet de l'exercice proposé à des 6ème (correction à faire pour ce niveau) puis à des 5ème (correction différente à faire pour ce niveau) et... Je sèche... J'ai bien connaissance d'un POINT à égale distance des trois maisons (par médiatrice de chaque segment le 6ème et par médiatrices du triangle en 5ème => déjà la différence est très légère je trouve...). Mais une DROITE ??

Voici l'énoncé : (Tournoi de Mathématique du Limousin 2000)
Thomas, Martine et Lucie habitent trois maisons T, M, L.

x T
x M






x L

Une route rectiligne doit être construite. Les trois maisons doivent être à la même distance de la route.
Dessinez une route. Justifier votre construction. Plusieurs tracés sont-ils possibles ?


Merci d'avance...

Avec l'énoncé complet, ce sera surement plus simple : http://capes-math.org/interne/data/uploads/college2017_part1.pdf



Tout dépend ce qu'on entend par distance de la route... si c'est un chemin qui mène à la route, il faut que le chemin mène en effet au centre du cercle circonscrit à ce triangle, si on parle de la plus petite distance entre la route et les maisons, on peut tracer (MT), la parallèle à (MT) qui passe par L et enfin, la route qui sera la parallèle à ces deux droites qui sert d'axe de symétrie pour passer de l'une à l'autre.

Tout ceci est écrit en même temps que je cherche une réponse parfaite donc d'autres néos feront surement mieux que moi

Bon courage dans ta préparation au concours

Je suppose que les trois maisons ne sont pas alignées (sinon c'est pas drôle). Partir de la distance d'un point à une droite cad la distance entre le point et le projeté orthogonal sur la droite, voir ce qui se passe pour deux points, construire l'ensemble des points situés à une distance donnée des deux points, puis faire intervenir le troisième point. Bon je ne connais pas les programmes des classes de collège donc je ne peux pas différencier les réponses.

Edit : penser à faire tourner le rôle des points pour trouver plusieurs réponses.

Voilà, on commence par construire une route qui serait à 3 unités de la première maison. Puis on réfléchit sur une route qui serait à 3 unités de deux maisons.

Merci RequiemForADream !! J'ai essayé de mettre une image mais elle a été refusée à chaque fois :| En plus mes points ne se sont pas mis à l'endroit où je les avais placé donc merci c'est en effet bien mieux ! Et merci pour l'encouragement. Je suis motivée mais c'est mon 1er essai concours donc j'essaie aussi de me dire que j'ai déjà réussi l'objectif que je m'étais fixée : les écrits.

Le soucis c'est que tu parles de notion qui ne sont du tout de niveau 6ème et 5ème :/ Cercle circonscrit.


Pour les autres je ne comprends pas bien car nicole 86 tu penses comme moi à la "distance entre un point et une droite" mais pour ça il faut supposer une droite et tâtonner... Ca me parait étrange à ce niveau, surtout avec trois points. Et Hélips tu parles de 3 unités, je ne comprends pas... On n'a pas de distance entre les points et la route... Sur les copies d'élèves à analyser dans le sujet complet du concours beaucoup font plusieurs traits et/ou des cercles (même rayon). D'habitude quand il y a des copies d'élèves, ça m'aiguille car certains ont quand même la bonne idée (surtout en lycée puisque pour ma part je n'y enseigne pas, je n'ai pas la rapidité pour voir de quoi ça parle) mais là... Rien ! Et pourtant j'ai enseigné en 6ème et là en 5ème...

Ce sujet me prend la tête et j'ai du mal à le laisser de côté sans trouver une solution. Où alors pour le concours je peux peut être partir d'une modification d'énoncé en précisant qu'on fixera un point unique qui servira à déterminer la distance entre les maisons et la route. Ce point est unique mais après les droites sont infinies. Mais ça me dérange en 6ème où on leur apprend que "la distance d'un point à une droite est la distance la plus courte entre le point et l'intersection de la droite et de sa perpendiculaire passant par ce point". Grrr il m'agace ce sujet ! J'avais bloqué sur un autre mais il manquait un morceau donc après j'ai débloqué mais celui là est bien complet et il m'agace. Je veux bien modifier l'énoncé (ce que j'aurais fait au concours ne voyant pas d'autre possibilité) mais reste la peur de "louper" quelque chose !

RequiemForADream a écrit:Avec l'énoncé complet, ce sera surement plus simple : http://capes-math.org/interne/data/uploads/college2017_part1.pdf



Tout dépend ce qu'on entend par distance de la route... si c'est un chemin qui mène à la route, il faut que le chemin mène en effet au centre du cercle circonscrit à ce triangle, si on parle de la plus petite distance entre la route et les maisons, on peut tracer (MT), la parallèle à (MT) qui passe par L et enfin, la route qui sera la parallèle à ces deux droites qui sert d'axe de symétrie pour passer de l'une à l'autre.

J'ai eu assez vite le même genre d'idée et je dirais qu'il y a trois possibilités qui sont en fait les trois "droites des milieux" dans le triangle LTM, mais je ne connais pas bien le programme du collège.

Avec les propriétés de la symétrie axiale en 6e peut être ?

En phase de recherche tu peux aussi prendre le problème autrement. tu traces la droite (LM), L et M sont à la distance zero de cette droite. Tu trace le projeté orthogonal de T sur (LM), tu matérialises ainsi la distance entre T et (LM). Admettons qu'on trouve 4 cm.
L est à la distance 0, M est à la distance 0, T est à la distance 4. Considère toutes les parallèles à (LM) et vois ce qui se passe pour les distances de chacun des trois points avec chacune de ces droites ... Expérimente avec une règle ou avec un logiciel de géométrie (ce que je déteste !!!!)

Bien sûr qu'on n'a pas de distance. C'est une façon d'apprivoiser le problème. Le cercle circonscrit n'a rien à voir avec le problème. Donc prends une feuille ou GeoGebra, place un point, et trace une droite à une distance de 3 cm de ce point, puis une autre.
Ensuite, tu recommences, mais en plaçant deux points et une droite à 3 cm des deux points.

Edit : plein de réponses le temps que je rédige.

RequiemForADream a écrit:Avec les propriétés de la symétrie axiale en 6e peut être ?

Merci pour la figure, ça va me permettre d'expliquer mon idée.

On commence par supposer que la droite est tracée et alors, vu qu'on ne va pas faire passer la route au beau milieu d'une maison, soit les trois points L, T et M sont du même côté de cette droite, soit il y en a deux d'un côté et un de l'autre.

Si T et M sont du même côté et L de l'autre alors la figure proposée par RequiemForADream, avec quelques considérations sur les rectangles et sur la symétrie axiale, montre que la route est bien l'axe de symétrie proposé (qui dans le triangle LTM joint les milieux des côtés [LT] et [LM], mais ça doit être hors-programme à ce niveau).
En permutant les points L, M et T, on trouve deux autres droites similaires.

Si les trois points sont du même côté, alors comme ils sont à la même distance de cette droite, on trouve une figure avec plusieurs rectangles et on arrive assez vite à voir que L, M et T seraient alignés. Dans ce cas, n'importe quelle parallèle convient.

Merci ! En effet la droite parallèle avec la vraie définition de distance d'un point à une droite ! Super !

Après la correction en 6ème et en 5ème je ne vois toujours pas trop de différence si ce n'est qu'en 5ème on peut rajouter la "parallèle passant par le point d'intersection des médiatrices du triangle".

Merci à tous, vraiment. J'ai carrément bloqué sur ce sujet et ça me prenait bien la tête de passer à côté de quelque chose.

Fleur.de.Lys a écrit:Merci ! En effet la droite parallèle avec la vraie définition de distance d'un point à une droite ! Super !

Après la correction en 6ème et en 5ème je ne vois toujours pas trop de différence si ce n'est qu'en 5ème on peut rajouter la "parallèle passant par le point d'intersection des médiatrices du triangle".

Merci à tous, vraiment. J'ai carrément bloqué sur ce sujet et ça me prenait bien la tête de passer à côté de quelque chose.

Euh... non : en orange, les droites solutions, en noir les médiatrices.

Oui en effet l'intersection des médiatrices ne marche pas avec les droites parallèles. Ca donne juste un point mais ça ne respecte pas l'idée de distance d'un point à une droite.

Du coup faut que je vois ce qui serait nouveau pour des 5ème.