[Maths BTS (et terminale)] EDL y'=ay ou y'+ay=0

Une question pour les collègues de maths qui enseignent en BTS et qui concerne aussi ceux qui enseigneront en terminale l'année prochaine.

Pour la résolution des équations différentielle linéaires d'ordre 1 à coefficients constants, en classe de BTS, j'ai tendance à me ramener à la forme y'=ay qui débouche directement sur y=k*exp(ax).
Dans le programme (et souvent dans les sujets lorsqu'une formule de cours est rappelée), c'est plutôt ay'+by=0 qui donne y= k*exp(-(b/a)x).
Enfin, la forme y'+ay=0 a le côté sympathique que dans le cas d'une équation avec second membre y'+ay=h(x), la vérification d'une solution particulière g se débute de façon agréable par g'(x)+a*g(x)=...

Bien sûr mathématiquement tout ça est équivalent, mais ma question est d'ordre pédagogique : laquelle des trois présentations utilisez-vous, quels avantages lui trouvez vous ?

Dans les sujets de mon groupement B, ça a été y'+ay=0 souvent, mais l'an dernier on est passé à "ay'+by=0" : je vais rester sur cette dernière.
Je préfère un début de démarche rassurant avec une formule qui fonctionne dans tous les cas sans adaptation pour E0. Ensuite, comme il est très rare que g' comporte 2 termes, avoir g' ou ag' ne change pas grand chose.
Ce n'est pas une partie très agréable du programme.

En groupement B tu as aussi du deuxième ordre, non ?
Ça justifie l'écriture ay'+by=0, plus cohérente avec ay''+by'+cy=0.

J'ai regardé les derniers sujets groupement B, il y a la même chose que dans mon BTS, un rappel de la formule (chez moi on reste au premier ordre par contre).

Sur g', elle ne comporte qu'un terme une fois que tu as factorisé ! Avec du g(x)=(ax+b)exp(kx), un étudiant qui ne factorise pas la dérivée par l'exponentielle a tort a une déivée qui est une somme.

Pourquoi tu n'aimes pas ce chapitre ? Parce que les exercices sont toujours les mêmes ?

ben2510 a écrit:
Dans le programme (et souvent dans les sujets lorsqu'une formule de cours est rappelée), c'est plutôt ay'+by=0 qui donne y= k*exp(-(b/a)x).

Dans cette dernière expression, la lettre a 5 différents statuts : y, k , e (pour exp), x puis a avec b (je ne détaille pas , on n'est pas en ESPE).
C'est pour cela que j'ai toujours trouvé que les formules, au lieu de les aider, étaient des pièges pour les élèves.
Il y a aussi l'effet "formule magique" qui est anti-mathématique (on remarque que les élèves qui décrochent au niveau du sens, ce sont ceux qui se rabattent sur les formules).
C'est pourquoi j'évite l'utilisation des lettres a et b mais je résous sur un même tableau :
2y'+3y= 0
5y'+6y= 0
etc ...
et le travail d'abstraction dévolu aux lettres a et b est fait par les élèves.
La formule peut arriver à la fin pour ceux qui ont compris, elle les aide à formuler ce qu'ils ont compris.

my 2 cents

Je dirais que l'abstraction, ça se construit.
Je commence parfois par des exemples numériques, mais je passe très vite à la forme abstraite (que des lettres),
en revenant ensuite à des exemples numériques.

Je suis d'accord sur le fait que l'abstraction entraîne une perte de sens, mais ça ne me semble pas être un problème, au contraire.

ben2510 a écrit:En groupement B tu as aussi du deuxième ordre, non ?
Ça justifie l'écriture ay'+by=0, plus cohérente avec ay''+by'+cy=0.

Oui. Après une 4ème option serait d'accentuer le parallèle en donnant une formule pour le 1er ordre contenant "r0", solution de l'équation caractéristique ar+b=0.

ben2510 a écrit:
Sur g', elle ne comporte qu'un terme une fois que tu as factorisé ! Avec du g(x)=(ax+b)exp(kx), un étudiant qui ne factorise pas la dérivée par l'exponentielle a tort a une déivée qui est une somme.

Le niveau est trop ras des pâquerettes, ceux qui savent dériver un produit forment le haut du panier et peuvent gérer ce genre de souci. Sinon la quasi totalité des cas sont de la forme g(t) = a ou a×exp(-bt) ou at+b.

ben2510 a écrit:
(chez moi on reste au premier ordre par contre)
Pourquoi tu n'aimes pas ce chapitre ? Parce que les exercices sont toujours les mêmes ?

Au début c'est répétitif (donc certains s'ennuient), puis je pars sur des problèmes (et là beaucoup -trop- ont des difficultés). Enfin bref : c'est technique et l'intérêt n'est pas évident pour eux, qui n'ont pas besoin d'aller aussi loin en maths.

Un truc qui marche assez bien (enfin je trouve) c'est d'arriver avec un café et un thermomètre,
de noter a température du café à t=0, t=5, t=10, et demander à t=fin du cours (moins trois minutes histoire d'avoir le temps de valider le modèle).

Avant j'ai fait les moindres carrés, y compris avec changement de variable, et quelques études de fonctions (ras des pâquerettes, affines et k*exp(at) ).
A t=0 je ne dis rien, je me contente de noter t=0 et T=... ;
à t=5, je mesure et je note au tableau, et je demande "ça fait combien de degrés par minute ?".
A t=10 ils ont eu le temps de calculer une équation de droite et de voir qu'à la fin de la séance prévoir une température de -30°C est quand même très discutable.

Après on tente l'ajustement exponentiel (avec décalage de la température ambiante), puis je parle de la loi de refroidissement de Newton et c'est moi qui fais la mise en ED,
y compris la résolution y'=ay+b ssi y=k*exp(at)+c avec c=-b/a. Je leur laisse déterminer les paramètres, prévoir la température à t=100, et en attendant la validation on fait quelques exos d'application directs.

Dans mon BTS, il n'y a jamais de mise en ED à faire par les élèves, seulement parfois un peu d'habillage et de contextualisation,
la pratique est plutôt "partie A résolvons l'ED sans second membre, vérifions une solution particulière de l'ED avec second membre, déduisons-en la solution générale de l'ED avec second membre puis la solution particulière vérifiant la CI, partie B tiens si on étudiait cette fonction f".

Un souvenir sur ce type de problème : BTS groupe D 2001
La partie A de l'exercice 1 n'a pas beaucoup inspirée les candidats.

Il y a une diagonalisation de matrice qui s'est dissimulée dans cet exercice.
C'est sûr que si les candidats n'ont jamais vu de système différentiel ça pique un peu.

C'est plutôt une trigonalisation, vu que dans les équations du système différentiel en beta et f, beta' ne dépend pas de beta mais de f.
On aurait fait une vraie diagonalisation si on avait utilisé une autre combinaison linéaire de alpha et beta qui eût été vecteur propre de l'opérateur dérivée (et donc, ici, constante, puisque la matrice du système différentiel est de rang 1).

Ouaip, genre 21 alpha + 11 bêta
Ça commence à devenir sympa ce type d'exercices (j'aime bien l'analyse, j'avoue).

Dans le programme de spé maths de TS (celui qui disparaît à le fin de cette année),
il y avait quelques propositions de résolution de systèmes différentiels (après linéarisation autour du point d'équilibre).
Je ne suis pas sûr que beaucoup de collègues se soient aventurés sur ce terrain là (dommage).

Bien sur l'idée de base est une diagonalisation.
Ce n'est pas possible à faire avec le programme des BTS groupe D.
L'idée était de manipuler des équations différentielles comme n'importe quelle équation.

Je ne connais pas bien tous les programmes de tous les BTS ; il me semble qu'il y a un peu d'algèbre linéaire dans certains BTS, sans aller jusqu'à la diagonalisation.
Pour le sujet 2002 du groupement D, les candidats avaient sans doute déjà vu ce genre de systèmes et ce genre de méthodes ?

ay' + by = c est généralisable à a, b, c non constants. Mais les élèves s'emmêlent avec les a, les b, les - b/a ...
Donc on revient à une forme y' = alpha y pour l'homogène, qui permet de trouver facilement la SG (même si alpha n'est pas constant, avec la pirouette y'/y = alpha, qui s'intègre facilement).
Par contre des exercices intensifs (tableaux à compléter sur des exemples) pour reconnaitre a, b, c et calculer alpha ... un peu comme pour l'équation du second degré, reconnaitre a, b, c et calculer delta et les racines n'a rien d'une évidence pour de plus en plus en plus d'élèves. Et même pour les fonctions affines, y = ax + b, avec y = 2x + 3, que vaut a, que vaut b, est devenu bien difficile ... les formules sont sues, mais il y a tellement peu de maitrise du calcul littéral que les appliquer relève de l'exploit.

Oui, j'ai le même genre de problème, des 2y'=y qui se transforment en y'=y-2, un sens du calcul atrophié, ce qui pose de nombreux problèmes aux étudiants.
Tu mets le doigt sur ce qui me convient bien avec le y'=ay, qui donne immédiatement la solution générale.